6.5. Предельная погрешность
Из рассмотренных свойств случайных погрешностей следует, что о появлении отдельной погрешности заранее что-либо определенное сказать невозможно. Однако когда число этих погрешностей все время возрастает, становится возможным установить определенные закономерности для всей совокупности погрешностей данного ряда измерений.
Знаменитым немецким математиком и геодезистом К. Ф. Гауссом (1777-1855 г.г.) было установлено, что погрешности распределяются по нормальному закону в виде колоколообразной кривой (рисунок 6.2).
Площадь, ограниченная кривой Гаусса и осью результатов измерений (осью абсцисс), принимается равной единице. Часть этой площади, соответствующая какому-либо отрезку оси абсцисс, дает числовую характеристику попадания случайного результата из серии измерений li в этот интервал. Чем
больше число измерений, тем надежнее определяется интервал или размер площади. Основная масса измеренных величин группируется около наиболее вероятного значения измеряемой величины - центра рассеивания, называемым математическим ожиданием mx. Этот параметр еще называют центром группирования случайных величин.
Теорией ошибок измерений доказывается (рисунок 6.2), что абсолютное большинство случайных ошибок составляет около 68,3% (или 0,6827) ряда измерений и находится в интервале от 0 до m. В интервал от 0 до 2m попадает 95,5% (0,9545), а в промежуток от 0 до 3m – 99,7% (0,9973). Таким образом, из 100 погрешностей измерений данного ряда только около 30 по абсолютной величине превышают среднюю квадратическую погрешность (|30|m) и 5 больше или равны 2m (|5|m), а из 1000 погрешностей измерений всего лишь 3 превышают утроенную среднюю квадратическую погрешность (|3|3m).
Поэтому
для решения практических задач в качестве
предельной
погрешности
принимается утроенная средняя
квадратическая погрешность
.
(6.12)
При более ответственных измерениях, когда необходимо повысить требования к точности измерений, предельную погрешность принимают равной удвоенной средней квадратической погрешности
.
(6.13)
В строительных нормах предельная ошибка называется допускаемым отклонением.
Погрешность измерений, величины которых превосходят предельную величину , считаются грубыми.
6.6. Оценка точности равноточных измерений
Имея ряд равноточных измерений одной и той же величины, нужно оценить точность как одного измерения, так и арифметической средины. Для этого необходимо установить такой критерий оценки точности измерений, который не зависел бы от знаков отдельных погрешностей и наиболее заметно отражал наличие в ряде отдельных сравнительно крупных погрешностей.
Ниже рассмотрим оценку точности как непосредственно измеренных величин, так и величин, являющихся функцией других непосредственно измеренных величин.
6.6.1. Средняя квадратическая погрешность измерений известной
величины. Формула Гаусса
Выбор критерия для оценки точности равноточных измерений произведем на примере, рассмотрев два ряда погрешностей измерений.
Пусть одна и та же величина семикратно измерялась двумя наблюдателями независимо друг от друга и погрешности измерений соответственно равны
I ряд 5, 6, 8, 9, 10, 12 и 13;
II ряд 3, 4, 5, 8, 10, 15 и 18.
Оценку точности измерений можно произвести по средней погрешности , вычисляемой как среднее арифметическое из абсолютных величин погрешностей
.
(6.14)
Для двух представленных рядов средние погрешности будут
.
Средние погрешности этих рядов равны, что свидетельствует об одинаковой квалификации обеих наблюдателей.
В теории погрешностей применяется другой критерий оценки точности ряда равноточных измерений, введенный Гауссом - средняя квадратическая погрешность (отклонение), равная корню квадратному из суммы квадратов абсолютных погрешностей, деленной на число измерений
(6.15)
Для представленных рядов средние квадратические погрешности будут
.
Как видно m2>m1, что является следствием наличия во втором ряду больших погрешностей, как, например, 15 и 18. Влияние этих погрешностей на величину 2 не сказалось, тогда как на m2 заметно отразилось.
Таким образом, средняя квадратическая погрешность лучше характеризует точность измерений и имеет преимущества по сравнению со средней погрешностью, а именно:
на величину средней квадратической погрешности сильнее влияют большие по абсолютной величине погрешности;
средняя квадратическая погрешность обладает достаточной устойчивостью, и поэтому при сравнительно небольшом числе измерений ее величина получается с большей достоверностью.