2. Диференціал функції. Застосування диференціала до наближених обчислень.
Якщо
функція y=f(x)
диференційована в точці х0,
то вираз виду
де ∆х=х-х0
, називається диференціалом
функції в точці х0
і позначається df
(x0)
або dy
(x0).
Диференціал незалежної змінної dx
вважають рівним його приросту ∆х,
тому
df(x0)=
.
Якщо провести дотичну до графіка функції y=f(x) в точці (x0; f(x0)), то диференціал дорівнює приросту ординати цієї дотичної.
Якщо
то значення функції y=f(x)
в точці х
близькій
до х0
, можна наближено обчислити по формулі
:
Приклад. Обчислити значення функції у=х3+х2-2х при х=3,02.
х=3+0,02, звідки х0= 3 , ∆х=0,02.
103
Знайдемо похідну функції: y/ =3x2+2x-2, знайдемо значення функції і похідної в точці х0=3. у(3) =33+32-2 ∙3=30,
y/(3)= 3∙32+2∙3-2=31. Дані обчислень підставимо у формулу і отримаємо: у(3,02) ≈ 30+31∙0,02=30,62.
Вправи
17. Знайти похідні наступних функцій:
1) у= 3х-2
; 2) у= 2х1/4
; 3) у= 3
;
4) у= 5
;
5) у=
;
6) у=
7) у=
;
8) у=
9) у=
;
10) у=
11) у=
12) у=
13) у=(9-х2)4
; 14) у=(х4-х-1)4;
15) у=
16) у= sin5x;
17) y= sin23x; 18) y= lnx3; 19) y= ln(x2-1);
20)
y= lnsin3x;
21)
y=ln2sin2x;
22)
y=
;
23) y= 3x; 24) y= x3+2x; 25) y= 2sin5x; 26) y= 32sin2x ;
27) y= 3sinx – 22x + x2; 28) y= sin (x3-3x2); 29) y= sin4x;
30) y=sin25x ; 31) y= lnsinx; 32) y= lnsin23x;
102
Число
сполук можна обчислити за формулою:
Задача . Скільки екзаменаційних комісій , що складаються із 7 членів , можна утворити із 14 викладачів ?
Розв’язання
.
.
Вправи
194. Обчислити:
1)
2)
3)
195. Спростити:
1)
;
2)
3)
4)
196. В змаганнях брали участь чотири команди. Скільки варіантів розподілу місць між ними можливо?
197. Обчислити:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
198. Скільки різних чотиризначних чисел можна скласти із цифр 0,1,2,...,9?
199. Скільки варіантів розкладу можна скласти на один день, якщо є 8 учбових предметів, а в розкладі на один день можуть бути включені тільки три з них?
200. Скількома способами можна заповнити лотерейний білет „5 із 36”?
201. Скількома способами можна вибрати трьох чергових, якщо в групі 25 студентів?
18
Глава 10. Елементи теорії ймовірностей
§ 29. Основні поняття комбінаторики
1.Поняття факторіала.
Добуток всіх натуральних чисел від 1 до n включно називається п-факторіалом і пишуть п!=1∙2∙3...(п-1)∙п.
Приклад. Обчислити 3! .
3!=1∙2∙3=6.
2.Перестановки.
Комбінації із п елементів, які відрізняються один від одного тільки порядком елементів, називаються перестановками.
Число перестановок можна обчислити за формулою: Рп=п!
Задача . Скільки різних п’ятизначних чисел можна скласти із цифр 1, 2, 3, 4,5 при умові ,що ні одна цифра не повторюється ?
Розв’язання . 5! = 1 ∙ 2∙3∙4∙5 = 120.
3.Розміщення.
Комбінації із т елементів по п елементів, які відрізняються один від одного або самими елементами або порядком елементів, називаються розміщеннями.
Число
розміщень можна обчислити за формулою:
Задача . Скільки існує варіантів розподілу трьох призових місць , якщо в розіграші беруть участь 7 команд .
Розв’язання
.
4. Сполуки.
Комбінації із т елементів по п елементів, які відрізняються один від одного хоча б одним елементом, називаються сполуками.
19
33) y=cos(x2-3x); 34) y=cos35x ; 35)y=sin23x-cos23x;
36) y=3 lncos2x; 37) y=tgx5; 38) y=ctg3x; 39) y=tglnx; 40) y= lntg3x; 41) y=cosx4;
42)
y=(z2+1)sin3x;
43)
y= (x+2)ln5x;
44)
y=
;
45)
y=tg52x-cos32x+sinx2;
46)
y= (x3-2)(x2+x+1);
18. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до кривої у=х3 в точці С(-2; -8).
19. Скласти рівняння дотичної до параболи у=х2-4х в точці з абсцисою х0=1.
20. Знайти кути, під якими парабола у=х2-х перетинає вісь абсцис.
21. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до параболи у=х2-3 при х=1/2.
22. Шлях, пройдений матеріальною точкою, задається наступною функцією часу: s=3t2-2t+4. Знайти швидкість руху точки в кінці 5-ї секунди.
23. Точка рухається прямолінійно по закону s=2t3+t2-4. Знайти її швидкість в момент часу t=4.
24. Точка рухається прямолінійно по закону s=6t-t2. В який момент її швидкість буде рівною нулю?
25. Два тіла рухаються прямолінійно: одне по закону s=t3+t2-27t, а друге ─ по закону s=t2+1. Визначить момент, коли швидкості цих тіл будуть рівними.
26. Кількість електрики, що протікає через провідник, починаючи з моменту часу t=0, задається формулою
Q=3t2-3t+4. Знайти силу струму в кінці 6-ї секунди.
101
27. Зміну сили струму I в залежності від часу t задано рівнянням I=2t2-5t . Знайти швидкість зміни сили струму в кінці 10-ї секунди.
28. Температура тіла T змінюється в залежності від часу t по закону T=0,5t2-2t. З якою швидкістю нагрівається це тіло в момент часу t=5c?
29. Знайти диференціали функцій:
1)
у=
;
2) у=
3) у=(х2-1)(х+2);
4) у=sin5x ; 5) y= cos2x; 6) y=lncosx .
30. Користуючись поняттям диференціала функції, обчисліть наближено значення функції у=х3-7х2+80 при зміні аргументу х від 5 до 5,01.
31. З допомогою диференціала знайти приблизно приріст функції у=lnx при х=10 і ∆х=0,01.
32. Обчислити наближено значення функції f(x)=x5+2x4-x3-1 в точці х=1,01.
33.
Знайти наближене значення :
.