Глава 9. Елементи аналітичної геометрії

Аналітична геометрія – це розділ математики , в якому властивості геометричних об’єктів ( точок , ліній , поверхонь, фігур тощо ) вивчаються засобами алгебри на основі методу координат .

Основоположником аналітичної геометрії вважають Р. Декарта , який вперше в 1637р. у своїй книзі « Геометрія » дав чіткий виклад методу координат на площині .

Основним методом аналітичної геометрії є метод координат .

§ 25. Рівняння лінії на площині

1. Поняття про лінію та її рівняння .

Нехай задано рівняння з двома змінними

F( x; y) = 0 (1)

Розв’язком цього рівняння є пара дійсних чисел , які при підстановці їх в дане рівняння воно перетворюється в тотожність .

Якщо побудувати на координатній площині всі точки , що відповідають всім парам чисел , які є розв’язками цього рівняння , то получимо множину точок , яка називається графіком цього рівняння .

Рівнянням лінії на площині називається рівняння з двома змінними х і у , якому задовольняють координати будь-якої точки , що лежать на лінії, і не задовольняють координати будь-якої точки , що не лежать на цій лінії .

2. Знаходження відстані між двома точками .

Нехай задано дві точки М₁ і М₂ .Якщо вони лежать на площині хОу , то кожна з них має дві координати М₁(х₁, у₁) , М₂(х₂, у₂) . Якщо вони із тривимірного простору , то кожна з них має три координати М₁( х₁, у₁, z₁) , M₂ ( x₂ ,y₂ , z₂).

34

2) , ;

3) , ;

4) ,

141. Обчислити площу паралелограма , побудованого на векторах

і :

1) ; ;

2) ; ;

3) ; .

142. Обчислити площу трикутника АВС , заданого вершинами А, В і С, якщо :

1. А( 4;2;3) , В( 5;1;2) , С(6;5;8),

2) А( -1;-1;-1) , В(0;1;2) , С(2;1;0),

3) А(0;-1;3) , В(-5;0;4) , С(1;4;3).

Запитання для самоконтролю

1. Що називається вектором ?

2. Що називається довжиною вектора?

3. Які вектори називаються рівними ?

4. Як додати два вектори ?

5. Як знайти різницю двох векторів ?

6. Як помножити вектор на число ?

7. Які вектори називаються колінеарними?

8. Як знайти координати вектора , заданого двома точками?

9. Як обчисляється довжина вектора , заданого своїми координатами?

10. Яку властивість мають координати колінеарних векторів?

35

Якщо фігура ,розміщена під віссю Ох , є криволінійною трапецією ( рис. 10 ) , то її площа обчисляється по формулі :

У

a

b

Х

y=f (x)

Рис. 10

Якщо треба обчислити площу фігури , обмеженої кривими y= f₁(x) , y = f₂(x) та прямими х = а , х = b ( див. рис. 11) , то при

f₁(x) ≥ f₂(x) її можна знайти за формулою :

y=f₁(x)

y=f₂(x)

Y

b

a

X

85

Рис. 11

Якщо фігура , яка розглядається не є криволінійною трапецією , то шукану площу треба представити як суму площ криволінійних трапецій S₁ і S₂ ( див. рис. 12) і знаходити по загальному правилу .

Y

y = f₁(x)

y = f₂(x)

S₂

S₁

a

b

с

X

Рис. 12

Задачі на обчислення площ плоских фігур зручно розв’язувати по наступному алгоритму

1⁰. По умові задачі зробити схематичний рисунок.

2⁰. Представляють шукану площу як суму або різницю площ криволінійних трапецій. Із умови задачі і рисунка визначають межі інтегрування .

3⁰. Записують кожну функцію у вигляді y=f(x).

4⁰. Обчисляють площі кожної криволінійної трапеції і площу шуканої фігури.