2. Обчислення об’єму тіла.
Нехай треба знайти об’єм тіла, якщо відомі площі S перерізів цього тіла площинами, перпендикулярними до деякої осі, наприклад Ох: S=S(x),
.
84
132 . а) Дано вектори (3;-1;5) і (-2;-3;0) . З’ясуйте , який кут між векторами і .
б)
Дано вектори
(4;-3;7)
і
(-1;-3;2).
З’ясуйте , який кут між векторами
і
.
133
.
Дано точки А(8;-2;5) , В(2;3;7), С(-3;9;4) , D
(3;4;2) Чи рівні вектори
і
?
134
.
а) Обчисліть довжину вектора
,
якщо
(1;1;-1)
і
(2;0;0)
.
б) Обчисліть довжину вектора , якщо (3;1;0) і (0;1;-1) .
135.
а) Дано куб ABCDA1B1C1D1
. Обчисліть кут між векторами
і
,
де К —
середина ребра DD1
.
б)
Дано куб ABCDA1B1C1D1
. Обчисліть кут між векторами
і
,
де М —
середина ребра АD
.
136
.а) Дано :
=13
;
=
19 ;
= 24 . Обчисліть
.
б) Дано : =11 ; = 23 ; = 30 . Обчисліть .
137 . а) При яких значеннях m і n вектори (-1;4;-2) та (-3;m;n) колінеарні ?
б) Вектори (n;-2;1) та (n;1;-n) перпендикулярні . Знайдіть n .
138. а) Перевірте колінеарність векторів (3;-1;2) і (-9;3;-6) 139. Встановіть :
а) який із них довший і в скільки разів ,
б) як вони напрямлені — однаково чи протилежно ?
140.
Знайти векторний добуток
:
1)
,
;
36
б)
Від точки А відкладено вектор
.
Знайдіть координати точки В , якщо
А(-2;7;0) ,
(-2;-5;0)
.
124
.а) Дано вектори
(4;-2;-4)
та
(6;-3;2)
. Обчисліть
.
б)
Дано вектори
(4;-2;-4)
та
(6;-3;2)
.Обчисліть
.
125
.
а) Дано вектори
(-2;2;-3)
та
(3;1;2)
. Знайдіть
.
б)
Дано вектори
(4;-4;2)
та
(3;2;2)
. Знайдіть
.
126
.
а) Знайдіть довжину вектора
, якщо
(1;2;2).
б)
Знайдіть довжину вектора
,
якщо
(2;2;-1)
127 . а) Чи колінеарні вектори (2;3;8) та (-4;6;-16) ?
б)
Чи колінеарні вектори
(8;3;-2)
і
(16;6;-4)
.
128 . Знайдіть значення m і n , при яких дані вектори колінеарні :
а) (15;m;-3) і (18;12;n) .
б)
і
129. а) Чи перпендикулярні вектори (2;3;6) та (3;2;-1)?
б) Чи перпендикулярні вектори (1;1;-2) і (2;2;2
130. а) При якому значенні z вектори (6;0;12) та (-8;13;z) перпендикулярні ?
б) При якому значенні x вектори (6;0;12) та (x;13;4) перпендикулярні ?
131
. а) Дано вектори
(3;-1;2)
і
(-1;-5;7)
. Знайдіть
.
б)
Дано вектор
(5;6;3)
. Знайдіть
.
37
Перетнемо тіло двома площинами, які проходять через точки x та x+dx , перпендикулярно до осі Ох. Тоді утворену між перерізами фігуру можна вважати циліндром з основою S(x) і висотою dx, тому диферентціал об’єму dV=S(x)dx і якщо х змінюється від а до b, то об’єм тіла
(1)
Формула (1) називається формулою об’єму тіла площами паралельних перерізів.
Розглянемо, зокрема, об’єм тіл обертання. Нехай криволінійна трапеція обмежена зверху графіком неперервної функції y=f(x), а ≤ х ≤b.
Якщо
цю трапецію обертати навколо осі Ох,
то утвориться просторова фігура, яка
називається тілом обертання . Оскільки
площа паралельного перерізу S=
,
то згідно з формулою (1), об’єм тіла,
утвореного обертанням даної трапеції
навколо осі Ох,
(2)
Вправи