§ 28. Криві другого порядку .

1. Рівняння другого степеня з двома змінними.

Рівняння другого степеня з двома змінними визначає на площині криву другого порядку і при тому єдину .

Таке рівняння має вигляд Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0.

В цьому рівнянні коефіцієнти можуть приймати будь-які дійсні значення при умові , що коефіцієнти А, В, С одночасно не дорівнюють нулю ( інакше рівняння не буде рівнянням другого степеня ) .

2. Коло і його рівняння .

29

табличного інтеграла, то для його знаходження застосовують інші способи, одним із яких є спосіб підстановки (заміни змінної).

Спосіб підстановки полягає в слідуючому: замінюють новою змінною таку частину підінтегральної функції, при диференціюванні якої одержується частина підінтегрального виразу, що залишилася ( не враховуючи сталого множника).

Приклад1. =

Вправи

41. Знайти невизначений інтеграл:

1) ∫ (2х+3)⁴dx; 2) ∫(7-2t)³dt; 3) ∫

4) 5) 6)

8) 9) 10) 12) 13) 14)

15) 16) 17) 18) 19) 20)

91

21) 22) 23)

24)

При інтегруванні функцій, що містять добуток, логарифми і обернені тригонометричні функції, буває зручно скористуватися способом інтегрування по частинах.

Формула інтегрування по частинах: (1)

Вкажемо деякі типи інтегралів, які зручно обчислювати методом інтегрування частинами:

1) інтеграли виду де Р(х)─ многочлен.

У цих інтегралах за u слід взяти множник Р(х), а за

dv ─ вираз ,що залишився;

2) інтеграл виду де Р(х)─ многочлен. У цих інтегралах слід взяти dv=P(x) dx;

3) інтеграли виду: де ─ дійсні числа. Тут після двократного застосування формули (1) утворюється лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла. Розв’язуючи це рівняння, знаходять інтеграл.

90

Умова паралельності : .

Умова перпендикулярності : А₁А₂+В₁В₂=0.

6. Відстань від точки до прямої .

Нехай задано пряму l рівнянням Ах + Ву +С = 0 і точку М₀(х₀ , у₀). Відстань d від точки М₀ до прямої l обчисляється за формулою : . (13)

§ 27. Рівняння прямої та площини в просторі.

1. Канонічне рівняння прямої в просторі .

Нехай задана точка М₀( х₀,у₀,z₀) на прямій l та вектор паралельний прямій , тоді рівняння цієї прямої має вигляд : (14)

Рівняння (14) називається канонічним рівнянням прямої з напрямним вектором a=(a₁, a₂ , а₃ ).

2. Рівняння прямої , що проходить через дві точки .

Нехай задано дві точки М₁(х₁, у₁, z₁) і М₂(х₂, у₂, z₂) . Складемо рівняння прямої , що проходить через дві точки :

(15)