§4 . Функції багатьох змінних
1. Означення 1. Нехай задано множину D упорядкованих пар (х;у) . Якщо кожній парі чисел (х;у) D за певним законом відповідає число z , то кажуть , що на множині D визначено функцію z від двох змінних х і у і записують z = f ( x ,y ).
Функція двох змінних , як і функція однієї змінної , може бути задана різними способами . Ми користуватимемося , як правило , аналітичним способом , коли функція задається за допомогою формули .
Множину пар (х;у) , для яких функція z = f ( x ,y ) визначена , називають областю визначення цієї функції і позначають D(f).
110
Для зручності їх групують у класи за розмірами і відмічають , скільки значень вибірки містить кожний клас .
Розмір пальта |
42 |
44 |
46 |
48 |
50 |
52 |
54 |
Кількість чоловіків |
3 |
4 |
5 |
9 |
15 |
8 |
6 |
Такі таблиці називають частотними . В них числа другого рядка – частоти ; вони показують , як часто зустрічаються у вибірці ті чи інші її значення . Відносною частотою значення вибірки називають відношення його частоти до числа всіх значень вибірки .
Вибірки характеризують центральними тенденціями : середнім значенням , модою і медіаною . Середнім значенням вибірки називають середнє арифметичне усіх її значень . Мода вибірки – це її значення , яке трапляється найчастіше . Медіана вибірки – це число , яке « поділяє » навпіл упорядковану сукупність усіх значень вибірки .
Вправи
202. Маємо один білет лотереї „6” із „45”. Подія А полягає в тому, що він виграшний, а подія В − в тому, що він невиграшний. Чи є ці події несумісними?
203. В коробці знаходиться 30 пронумерованих кульок. Встановіть, які із наступних подій є неможливими, вірогідними, протилежними: дістали пронумеровану кульку (А); дістали кульку з парним номером (В); дістали кульку з непарним номером (С); дістали кульку без номера (D). Які із них утворюють повну групу?
10
Бали |
1-3 |
4-5 |
7-9 |
10-12 |
Кількість студентів |
2 |
7 |
12 |
4 |
Кількість студентів у % |
8 |
28 |
48 |
16 |
Наочно зобразити ці дані можна за допомогою стовпчастої діаграми .
Стовпчасті діаграми у статистиці називають гістограмами .
Приклад . Швейній майстерні треба знати , скільки чоловічих пальт і яких розмірів треба пошити . Як це з’ясувати?
Опитати всіх надто дорого і довго . Тому роблять вибірку : опитують вибірково кілька десятків чи сотень чоловіків . Припустимо , що, опитавши 50 чоловіків , їх розміри записали в таблицю . Це – вибірка 50 значень ( даних ) .
11
Функцію двох змінних можна зобразити графічно у вигляді деякої поверхні .
Приклад 1. Площа S прямокутника із сторонами довжини яких х і у , є функцією від х і у , яка задається формулою S = x∙y
Областю визначення цієї функції є множина
Приклад
2.
Згідно закону Ома
.
Струм І є функцією від двох змінних –
електрорушійної сили і опору в колі .
2. Означення 2. Нехай задано множину D упорядкованих трійок (х; у, z ) . Якщо кожній точці (х; у, z) D за певним законом відповідає число u , то кажуть , що на множині D визначено функцію u від трьох змінних х , у і z , і записують u = f ( x ,y, z).
Область визначення функції трьох змінних можна геометрично зобразити у вигляді деякої частини тривимірного простору .Але саму функцію u = f ( x ,y, z) геометрично зобразити вже не можна , тому що наш простір тривимірний і четверту координатну вісь для значень u зобразити неможливо .
Приклад 3. Об’єм V прямокутного паралелепіпеда з ребрами , довжини яких дорівнюють x, y і z , є функцією від x, y і z , яка задається формулою V = xyz .
3. Означення 3. Якщо кожній точці ( х1 , х2 ,…, хn ) D за певним законом відповідає єдине число u , то кажуть , що на множині D визначено функцію u від n змінних : х1 , х2 ,…, хn і записують u = f ( х1 , х2 ,…, хn ) .
Область
визначення D
цієї функції у випадку
геометрично зобразити не можна .
Надалі ми розглядатимемо лише функції двох змінних .
109
Вправи
13.
Дано функцію
.
Знайти :
1) f(1,0) ; 2) f(0,1) ; 3) f(3,-1) ; 4) f(1,-3) ; 5) f(-х , -у).
14.
Дано функцію :
.
Знайти :
1)
f(1,0) ; 2) f(1,
)
; 3) f(4,
)
; 4) f(
)
15. Знайти та зобразити області визначення функцій :
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
7)
8)
;
9)
10)
; 11)
