§7. Застосування похідної

1.Монотонність функції. Екстремум функції.

Означення 1. Функція y=f(x) називається зростаючою (спадною) на проміжку (a,b) , якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше ( менше) значення функції .

Означення 2. Зростаюча і спадна функції на проміжку називаються монотонними на ньому.

Теорема 1. ( Достатні умови монотонності функції)

а) Якщо при будь-яких х з (a,b) , то f(x) зростає на (a,b).

б) Якщо при будь-яких х з (a,b) , то f(x) спадає на (a,b).

За допомогою похідної можна знаходити проміжки зростання і спадання функції. Для цього слід:

1) Знайти область визначення, якщо вона не вказана.

2) Знайти похідну і критичні точки функції. Критичними точками область визначення функції розбивається на проміжки, на кожному із яких похідна зберігає свій знак.

3) Визначити знак похідної на кожному із знайдених проміжків. Якщо на даному проміжку похідна функції додатна (від’ємна), то на цьому проміжку функція зростає (спадає).

99

Означення 3. Говорять ,що функція f(x) має екстремум (максимум або мінімум) в точці х₀, якщо f(x₀) є найбільшим або найменшим значенням функції в деякому околі цієї точки .

Теорема 2. ( необхідна умова екстремуму).

Якщо диференційована функція y=f(x) має в точці х₀ екстремум , то її похідна в цій точці дорівнює нулю .

Теорема 3. (достатня умова екстремуму).

Якщо функція f(x) неперервна в точці х₀ і має в деякому околі точки х₀ скінченну похідну і при переході х через х₀ зліва направо

1) змінює знак з « +» на « - », то f(x₀ )= y_max ;

2) змінює знак з « - » на « + », то f(x₀ ) =y_min ;

3) не змінює знак , то екстремуму немає .

Вправи

34. Знайдіть проміжки зростання (спадання) і точки екстремуму функції:

1) у=15-х²-2х; 2) у=4х³-9х²+6х; 3) у=2х³-6х²-18х+7;

4) у=х⁵-5х-4; 5) у= ; 6) у= х- ;

7) у= ; 8) у=х+1/х; 9) у = 2х² - lnx.

35. При яких значеннях а функція : 1) зростає на ; 2) спадає на .

2. Випуклість графіка функції. Точки перегину.

Означення 4. Крива називається опуклою вгору ( вниз) якщо вона розташована під (над) дотичною , проведеною до кривої в будь-якій точці цього проміжку .

98

3) 2х + 3у - 4z =0 і 2x + y + z - 13 =0 .

172. Визначити при яких значеннях k перпендикулярні наступні площини :

1) 3х + k у +4z – 5 =0 і 4x - 3y + 4z +2 =0 ;

2) 3х + 4 у + k z – 6 =0 і 4x - 3y + 4z +1 =0 ;

173. Знайдіть відстань від точки до площини :

1) М(1;2;4) , 2х+2у – z – 11= 0 ;

2) М(7;0;-7) , 18х - 6у +9z + 14= 0 ;

3) М(0;1;-3) , 3х - 6у - 2z + 35= 0 .

174. Складіть рівняння кола :

1) радіуса R = 4 з центом в початку координат ;

2) радіуса R = 5 з центром в точці С(-4;2) ;

3) радіуса R = 2 з центром в точці В(0;-7) .

175. Назвіть центр і радіус кола :

1) х² + у² = 36; 2) х² + у² = 7 ;

3) (х – 5)² + (у – 3)² = 49 ; 4) (х – 2,5)² + у² =50.

176. Дано точки М₁ (2; 3;) і М₂ (10;9) . Напишіть рівняння кола , діаметром якого є відрізок М₁М₂ .

177. Напишіть рівняння кола , центр якого знаходиться в точці С(3;7) , якщо відомо , що воно дотикається осі Ох.

178. Напишіть рівняння кола , що проходить через точку N(2;3) з центром в точці С(2;-1).

179. Еліпс заданий рівнянням . Знайдіть координати фокусів еліпса , фокусну відстань і ексцентриситет .

180. Напишіть канонічне рівняння еліпса , якщо :

1) його півосі дорівнюють 7 і 3 ;

2) його більша піввісь дорівнює 5, а фокусна відстань дорівнює 6 ;

3) його мала вісь 4 , а фокусна відстань 6.

181. Для кожного із наступних еліпсів визначить його півосі , координати вершин і фокусів :

22

3) 5х – у +4=0 і х + 5у -1 =0.

163. Знайдіть відстань від точки М(6; 8) до прямої 4х+3у+2=0.

164. Знайдіть відстань між двома паралельними прямими 4х+3у-8=0 і 4х+3у- 33=0.

165. При якому значенні параметра k прямі у= 5х-4 і у= kх-2 перпендикулярні ?

166. Складіть канонічне рівняння прямої , що проходить через точку М₀ і має напрямний вектор a , якщо :

1) М₀ ( -2;0;1) , a (2;-3;4);

2) М₀ ( 3;0;-3) , a (0;1;0).

167. Напишіть канонічне рівняння прямої , що проходить через точки М₁ і М₂ , якщо :

1) М₁ (3; -1;0) , М₂ (-2;-5; 4) ;

2) М₁ (1; -1;4) , М₂ (4;-1; 2) ;

3) М₁ (0; 1;-5) , М₂ (-2;1;- 5) .

168 . Скласти рівняння площини , що проходить через точки М₁ , М₂ , М₃ ,якщо :

1) М₁(-2;3;5) , М₂(4;-3;0) , М₃(0;6 ;-5);

2) М₁(2;0;4) , М₂(3;1;-2) , М₃(0;-3 ;-1);

3) М₁(3;1;-5) , М₂(8;3;3) , М₃(-2;-1 ;4).

169. Складіть рівняння площини , що проходить через точку М₀ і перпендикулярна вектору n , якщо

1) М₀(2;3;5) , n (4;6;0);

2) М₀(0;0;0) , n (0;-7;4);

1) М₀(1;2;3) , n (0;1;0).

170. Обчисліть кут між площинами :

1) х – 4у – 8z+1=0 і x+20y+7z=0 ;

2) 6х + 3у – 2z – 7=0 і x+2y+6z – 5 =0 ;

3) х – z – 7 =0 і y - z + 5 =0 .

171. Перевірте , які із наступних пар площин паралельні , перпендикулярні , співпадають :

1) 2х + 3у +4z – 12 =0 і 6x+9y+12z – 12 =0 ;

2) 3х + 4у - z +1 =0 і x - 2y - 5z + 3 =0 ;

23

Теорема 4. Графік диференційованої функції y=f(x) опуклий вгору ( вниз) на проміжку (a,b), якщо на цьому проміжку

Означення 5. Точка , яка розділяє інтервали опуклості графіка функції, називається точкою перегину.

Для знаходження проміжків опуклості графіка функції треба:

1) Знайти область визначення функції, якщо вона не вказана.

2) Знайти другу похідну функції і точки, в яких в яких вона рівна нулю або не існує.

3) Визначити знак другої похідної на кожному із проміжків.

Якщо на даному проміжку друга похідна додатна, то на цьому проміжку графік функції опуклий вниз, якщо друга похідна від’ємна, то ─ опукла вгору.

Вправи

36. Знайти проміжки опуклості вверх (вниз) і точки перегину графіка функції:

1) у=х³-10х+1; 2) у = х³-6х²+2х-6; 3) у=(х-1)⁴(3х+7);

4) у = х+ ; 5) у= ; 6) у= ;

7) у=-х³+3х²; 8) у=х⁴-6х²+5; 9) у= ⅓х³-2х² +3х-3.

2. При яких значеннях а крива у=х⁴+2ах³+6х²+1 опукла вниз на проміжку ?