Запитання для самоконтролю
1. Яке рівняння називається диференціальним? Наведіть приклади.
2. Яка функція називається розв’язком диференціального рівняння?
3. Який розв’язок диференціального рівняння називається загальним і який − частинним?
4. Який геометричний зміст загального і частинного розв’язку диференціального рівняння?
5. Чи може диференціальне рівняння мати скінчене число розв’язків?
6. Що таке порядок диференціального рівняння і як його визначити?
7. Чи можуть інтегральні криві диференціального рівняння перетинатися?
8. Як перевірити чи правильно знайдено розв’язок диференціального рівняння чи ні?
9. Перевірте чи є розв’язком диференціального рівняння
y′ ctgx + y = 2 функція y = cos x + 2.
10. Визначить, які із вказаних функцій є розв’язками, загальними розв’язками рівняння у′ = у: а) у=℮2х; б) у=℮х;
в) у= ℮х+С; г) у=С℮х.
66
§ 16. Функціональні ряди. Степеневі ряди.
1. Функціональні ряди.
Нехай u1(x), u2(x), …, un(x) ,… ─ деяка послідовність функцій.
Означення1.
Вираз виду:
u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…(1)
називається функціональним рядом.
Якщо
в ряді (1) покласти х=х0,
де х0─
деяке число, то одержимо числовий ряд
(х0)
(2)
Означення 2. Функціональний ряд (1) називається збіжним в точці х0, якщо числовий ряд (2) збігається. При цьому х0 називається точкою збіжності ряду (1).
Означення 3. Множина всіх точок збіжності функціонального ряду (1) називається областю його збіжності.
Приклад1.
Знайти область збіжності ряду
Розв’язання
:
Застосувавши ознаку Даламбера до
ряду
,
для будь-якого х маємо
.
Отже, даний ряд збігається абсолютно на всій числовій прямій.
2.Степеневі ряди.
Означення 4. Степеневим рядом називається функціональний ряд виду:
54
(
8
)
збігається , то й даний ряд (7) також збігається.
Існують такі знакозмінні ряди (7) , котрі збігаються , а ряди , складені із абсолютних величин їх членів , розбігаються. В зв’язку з цим вводяться поняття абсолютної та умовної збіжності.
Означення. Знакозмінний ряд (7) називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд (8), складений із абсолютних величин його членів. Якщо ж знакозмінний ряд (7) збігається , а ряд (8) ,складений із абсолютних величин його членів, розбігається , то даний знакозмінний ряд називаєть-
ся умовно збіжним.
За допомогою поняття абсолютної збіжності теорему 2 часто формулю-
ють так: всякий абсолютно збіжний ряд є збіжним рядом.
Приклад5.
Доведіть , що ряд 1-
абсолютно збігається.
Розв’язання. Ряд , складений із модулів його членів
1+
є збіжним .
Отже, ряд збігається абсолютно .
Вправи
102. Дослідити збіжність знакозмінного ряду:
1)
2)
3)
4)
55
11. Чим відрізняється диференціальне рівняння від алгебраїчного рівняння?
12. Назвіть відомі вам типи диференціальних рівнянь.
13. Який загальний вигляд диференціальних рівнянь першого порядку з відокремленими змінними і з відокремлюваними змінними?
14. Як розв’язуються рівняння з відокремленими змінними?
15. В якій послідовності розв’язують диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними?
16. В чому полягає задача Коші? Який її геометричний зміст?
17. Який загальний вигляд лінійних диференціальних рівнянь першого порядку? Як розв’язуються такі рівняння?