2.Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами.

Означення 2. Рівняння виду y″ + py + q = 0, де p і q− дійсні числа, називається лінійним однорідним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами.

Функція виду у=℮^кх є розв’язком даного рівняння тоді і тільки тоді, коли число k є розв’язком квадратного рівняння k²+pk+q=0, яке називається характеристичним рівнянням.

Розв’язок рівняння в залежності від значень коренів k₁ і k₂ характеристичного рівняння мають наступний вигляд:

, якщо k₁ , k₂− дійсні і k₁≠k₂;

63

y = (C₁+ C₂x) ℮^kx , якщо k₁=k₂=k;

у = ℮^ax (C₁ cosbx + C₂ sinbx), якщо k₁=a+bi, k₂=a-bi.

До лінійних диференціальних рівнянь другого порядку приводить описання коливальних процесів. Гармонічні коливання, наприклад малі коливання маятника, описуються диференціальним рівнянням гармонічних коливань

у″ + у=0, де − частота гармонічних коливань.

Вправи

91. Серед даних диференціальних рівнянь вкажіть лінійні однорідні другого порядку із сталими коефіцієнтами:

1) у″+2у′-у=0; 2) у″-у=0; 3) у″-у²=0; 4) у″+2у=0;

5) у″-у′+3у=х.

92. Чи є дані функції розв’язками даного рівняння:

1) у=С₁℮^-3х + С₂℮^2х , у″+2у′+2у=0;

2) у = (С₁+С₂х)℮^-3х , у″+6у′+9у=0;

3) у = ℮^х(С₁cosx+C₂sinx), y″-2y′+2=0?

93. Розв’яжіть рівняння:

1) у″+3у′=0; 2) у″-2у′-8у=0; 3) у″+14у′+49у=0;

4) у″+6у′+25у=0; 5) у″+8у′+15у=0; 6) у″-2у=0;

7) у″-4у′+13у=0; 8) у″+2у′+5у=0.

94. Розв’яжіть задачу Коші:

1) у″-2у′=0, у(0)=3/2, у′(0)=1;

2) у″+3у′+2у=0, у(0)=-1, у′(0)=3;

3) у″+8у′+16у=0, у(0)=у′(0)=1;

4) у″+9у=0, у(0)=1, у′(0)=6;

5) у″+2у′+5у=0, у(0)=у′(0)=1;

6) у″-у=0, у(0)=2, у′(0)=1.

62

v₁+v₂+v₃+…+v_n+…, v_n ≥ 0, (5)

і для всіх n виконується нерівність u_n ≤ v_n. Тоді, якщо ряд (5) збіжний, то збіжний і ряд (4). Якщо ряд (4) розбіжний, то розбіжний і ряд (5).

Приклад1. Дослідити збіжність ряду

Розв’язання. Даний ряд додатний. Для дослідження його на збіжність використаємо ознаку порівняння: u_n= і ряд

збігається ( тут а =2 >1 ) , а тому за першою ознакою порівняння даний ряд збігається.

Теорема 2(гранична ознака порівняння). Якщо існує границя ( k , (6)

то ряди одночасно збіжні або розбіжні.

Теорема 3 (ознака Даламбера ).Якщо для ряду (1) з додатними членами існує границя , то: 1) при l<1 ряд (1) збігається; 2) при l >1 ряд (1) розбігається.

Приклад2. Дослідити збіжність ряду

Розв’язання. Використовуючи ознаку Даламбера, одержимо

отже, даний ряд збігається.

Теорема 4 (ознака Коші). Якщо для ряду з додатними членами існує границя то: 1) при l < 1 ряд (1) збігається: 2) при l > 1 ряд (1) розбігається.

58