2. Гіпербола та її рівняння .

Гіперболою називається множина точок площини , різниця відстаней від кожної із яких до двох заданих точок ( які називаються фокусами ) є величина стала . Ця стала величина додатна і менша відстані між фокусами .

Фокуси гіперболи прийнято позначати буквами F₁ і F₂ , відстань між фокусами – через 2с , суму відстаней від будь-якої точки гіперболи до фокусів – через 2а ( 2а < 2с ).

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд :

27

4) 5) dx; 6) ∫ x^2/3dx;

7) ∫ (5x³-2x²+3x-8)dx; 8) ∫ x³(1+5x)dx; 9) ∫(2x-3)³dx;

10) ∫ ( 11) ∫ 12) ∫

13) 14) 15)

16) ∫ (x⁵+3℮^x)dx; 17) ∫ (x³+2^x)dx; 18) ∫ sin2xdx;

19) 20) 21) 22) ; 23) 24)

25) 26) 27) ∫ tg²dx;

28) 29) 30) .

Запитання для самоконтролю

1. Яка функція називається первісною для заданої функції ?

2. Запишіть первісні для функцій : 3 ; 4х³ ; cos x ; 2/x.

93

3. Чому при інтегруванні функцій появляється довільна стала ?

4. Як записують цілу сукупність первісних ?

5. Що називається невизначеним інтегралом ?

6. Чим відрізняється невизначений інтеграл від первісної функції ?

7. Чому інтеграл називають невизначеним ?

8. Чому дорівнює інтеграл від диференціала деякої функції?

9. Як перевірити результат інтегрування ?

10. В чому полягає геометричний зміст невизначеного інтеграла?

11. Що таке інтегральні криві ? Як вони розміщені одна відносно одної ? Чи можуть вони перетинатися ?

12. Як із сімейства інтегральних кривих виділити одну із них?

2. Інтегрування підстановкою і по частинах

▪ Спосіб підстановки (заміни змінної)

▪ Приклади інтегрування підстановкою

▪ Спосіб інтегрування по частинах

1. Спосіб підстановки (заміни змінної)

Якщо заданий інтеграл за допомогою алгебраїчних перетворень важко або неможливо звести до

92

Колом називається множина всіх точок площини, рівновіддалених від заданої точки яка називається центром.

Позначимо С(а, b) – центр кола радіуса R. Тоді канонічне рівняння кола має вигляд : (х - а)² +(у – b)² = 0.

Якщо центр кола знаходиться в точці О(0, 0) , тоді рівняння кола спрощується і приймає вигляд : х² + у² = 0.

3.Еліпс і його рівняння.

Еліпсом називається множина точок площини , сума відстаней від кожної із яких до двох заданих точок ( що називаються фокусами ) є величина стала, більша ніж відстань між фокусами .

Фокуси еліпса прийнято позначати буквами F₁ і F₂ , відстань між фокусами – через 2с, суму відстаней від будь-якої точки еліпса до фокусів – через 2а (2а > 2с).

Канонічне рівняння еліпса має вигляд : ,

де а ,b ,c зв’язані між собою рівністю ( або ).

28

6. Відстань від точки до площини.

Відстань d від точки М_о(x₀, y₀ , z₀) до площини , заданої загальним рівнянням Ах + Ву + Сz + D = 0 , знаходять за формулою

7 . Кут між двома площинами .

6. Умова паралельності площин :

7. Умова перпендикулярності : А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0