3. Рівняння площини , що проходить через задану точку

М₀( х₀,у₀,z₀) перпендикулярно заданому вектору

n = ( A, B, С ).

А(х-х₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀) = 0 (16)

4. Загальне рівняння площини.

Ах + Ву + Сz + D = 0

5. Рівняння площини , що проходить через через три точки m1(x1, y1, z1) , m2(x2, y2, z2) , m3(x3, y3, z3) .

30

4. Загальне рівняння прямої .

Прямі – самі прості лінії на площині . Їм відповідають і самі прості рівняння – рівняння першого степеня .

Рівняння Ах + Ву +С = 0 (9) називається загальним рівнянням прямої . Коефіцієнти А, В, С прийнято записувати у вигляді цілих чисел .

5. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом .

Рівняння виду : у=kх+ b називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом . k = tg , де - кут нахилу прямої до осі Ох, b – відрізок , який відтинає пряма від осі Оу. При х =0 ця пряма перетинає вісь Оу в точці В(0; b).

Кутовий коефіцієнт прямої можна обчислити, якщо відомі координати будь-яких двох точок прямої М₁(х₁, у₁) і М₂(х₂, у₂) . (10)

Якщо дві прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом у = k₁x+b₁ та y=k₂x+b₂ , то кут між цими прямими знаходять за формулою:

(11)

Умова паралельності має вигляд : k₁= k₂ , а

умова перпендикулярності : k₁ ∙k₂ = -1.

6. Кут між двома прямими.

Кутом між двома прямими називається величина меншого із кутів , утворених цими прямими.

Нехай прямі задані загальними рівняннями :

А₁х+В₁у+С₁=0 і А₂х+В₂у+С₂=0.

Кут між двома прямими можна знайти за формулою:

(12)

31

Приклад 2.

Вправи

42. Знайти інтеграли:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9) 10)

§9. Визначений інтеграл

Нехай на відрізку [a,b] визначена функція f(x) . Розіб’ємо відрізок [a,b] на n частин точками a = x₀<x₁<…<x_n = b. На кожному проміжку ( х_і-1, х_і ) візьмемо довільну точку і складемо суму , де ∆ х_і =х_і –х_і-1. Така сума називається інтегральною.

Означення. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при , то вона називається визначеним інтегралом від функції f(x) в межах від а до b і позначається

, а функція f(x) називається інтегрованою на [a,b].

1. Формула Ньютона-Лейбніца. Основні властивості визначеного інтеграла.

Визначений інтеграл від неперервної функції y=f(x) дорівнює приросту первісної y=F(x) для цієї функції на вказаному проміжку, тобто

89

(формула Ньютона-Лейбніца).

Властивості визначеного інтеграла:

1) , де к─ стала;

2)

3) де

4)

5)

Приклад 1 . Обчислити

Вправи

43. Обчислити визначені інтеграли:

1) 2) 3)

4) 5) 6) 7) 8) 9)

88

Будь-який вектор n ≠ 0 , перпендикулярний прямій l , називається нормальним вектором прямої .