1. Параметричне і канонічне рівняння прямої

(5)

Рівняння (5) називається параметричним рівнянням прямої.

Змінна t в формулі (5) , яка приймає різні числові значення називається параметром.

(6)

Рівняння (6) називається канонічним рівнянням прямої з напрямним вектором a=(a₁, a₂).

2. Рівняння прямої , що проходить через дві точки .

Нехай задано дві точки М₁(х₁, у₁) і М₂(х₂, у₂) . Складемо рівняння прямої , що проходить через дві точки :

(7)

3. Рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно даному вектору .

А ( х – х₀ )+ В ( у – у₀ ) = 0 (8)

Рівняння (8) є рівняння прямої l , що проходить через дану точку М₀(х₀ , у₀) перпендикулярно даному вектору n = ( A, B ).

Задача. Скласти рівняння прямої , що проходить через точку А(2;-3) перпендикулярно вектору n = ( -1, 5 ).

Користуючись формулою (8), знаходимо рівняння даної прямої : -1∙(х -2)+5∙(у+3) =0 , спростивши одержимо

х – 5у – 17=0.

32

(2) формула відстані між двома точками .

3. Ділення відрізка у даному відношенні .

Нехай заданий відрізок М₁М₂ , тобто відомі координати його кінців – точок М₁ і М₂ .

Поділити відрізок М₁М₂ у відношенні означає , що треба знайти координати точки М , такої , що виконується відношення . Отже , у тривимірному просторі координати точки М ( х, у, z) , що поділяє відрізок М₁М₂ , у відношенні , знаходять за формулами :

, , . (3)

Якщо точка М поділяє відрізок М₁М₂ навпіл , тоді вона знаходиться у середині відрізка , =1 і формули (3) приймають вигляд : , , (4)

§ 26. Різновиди рівнянь прямої на площині .

Положення прямої на площині може бути задано наступним чином :

1. пряма l проходить через точку М₀ паралельно вектору a;

2. пряма l проходить через точки М₁ і М₂ ;

3. пряма l проходить через точку М₀ перпендикулярно вектору n ;

4. пряма l проходить через точку М₀ і утворює з вектором і кут .

Будь-який вектор a ≠ 0 , паралельний прямій l , називається напрямним вектором цієї прямої .

33

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17)

§10. Застосування визначеного інтеграла

Фігуру ABCD , обмежену з боків прямими x=a , x=b , знизу відрізком [a,b] вісі Ох , зверху графіком функції y=f(x) ( див. рис. ) , назвемо криволінійною трапецією з основою на вісі абсцис.

87

Рис. 9

1. Обчислення площ плоских фігур.

Як відомо, визначений інтеграл від неперервної невід’ємної функції дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції

( геометричний зміст визначеного інтеграла):

За допомогою визначеного інтеграла можна також обчисляти площі плоских фігур, оскільки ця задача завжди зводиться до обчислення площі криволінійної трапеції.

Площа будь-якої фігури в прямокутній системі координат може бути складена із площ криволінійних трапецій, що прилягають до осі Ох або до осі Оу.

Якщо фігура, розміщена над віссю Ох ,є криволінійною трапецією ( див. рис . 9 ) , то її площа обчисляється по формулі

86