Глава 4. Комплексні числа

§ 12 . Означення комплексних чисел і дій над ними

▪ Поняття уявної одиниці

▪ Степені уявної одиниці

▪ Означення комплексного числа

▪ Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі

▪ Геометрична інтерпретація комплексного числа

▪ Тригонометрична форма комплексного числа

▪ Показникова форма комплексного числа

▪ Дії над комплексними числами в тригонометричній і показниковій формі

Число, квадрат якого дорівнює -1 називається уявною одиницею і позначається буквою і.

Приклад 1. і.

Якщо показник степеня числа і ділиться на 4, то значення степеня дорівнює 1; якщо при діленні показника степеня на 4 в остачі 1, то значення степеня дорівнює і ; якщо при діленні показника степеня на 4 в остачі 2, то значення степеня дорівнює -1 ; якщо при діленні показника степеня на 4 в остачі 3, то значення степеня дорівнює -і.

Означення1. Числа виду a+bі , де a і b − дійсні числа, і − уявна одиниця, називаються комплексними.

Запис комплексного числа у вигляді a+bі називається алгебраїчною формою комплексного числа.

Додавання, віднімання, множення комплексних чисел в алгебраїчній формі виконують за правилами відповідних дій над многочленами.

Означення2. Два комплексних числа називаються спряженими, якщо вони відрізняються один від одного тільки знаками перед уявною частиною.

78

Розв’язання . Обчислимо визначник системи ∆ і визначник ∆_х і ∆_у : ∆ = , ∆_х = , ∆_у=

Знайдемо значення х і у за формулами Крамера : ,

Отже , розв’язком системи є ( 3; -1).

Вправи

119. Розв’язати за формулами Крамера системи рівнянь :

1. 2. 3.

4. 5. 6.

120. Розв’язати системи рівнянь :

N – номер варіанта

7. 8 .

42

118. Знайти ЕА, якщо Е= , А = .

§21. Розв’язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера

Система лінійних рівнянь з двома невідомими має вигляд

Введемо позначення : ∆ = , ∆_х= , ∆_у=

Якщо ∆ ≠ 0, то система має єдиний розв’язок і справедливі формули Крамера , .

Якщо ∆=0 , ∆_х ≠ 0 або ∆_у ≠ 0, то система немає розв’язків .

Якщо ∆ = ∆_х = ∆_у =0, то система має безліч розв’язків .

Приклад . Розв’язати систему рівнянь :

43

Щоб виконати ділення двох комплексних чисел , треба помножити чисельник і знаменник на комплексне число спряжене знаменнику.

Комплексне число z=a+bі можна зобразити точкою М на площині з координатами (a,b) ( див. рис.13 а ). Вісь абсцис називають дійсною віссю, вісь ординат− уявною. Комплексне число можна зобразити у вигляді вектора з початком в точці О(0,0) і кінцем в точці М(a,b) ( див. рис. 13 б ).

Y

Y

М(a,b)

M(a,b)

b

a

X

O

X

O

a

b

Рис. 13.

Вправи

61. Знайти: і²⁸, і³³, і¹³⁵.

62. Обчислити: 1) і⁴³+ і⁴⁸+і⁴⁴+ і⁴⁵; 2) (і³⁶ + і¹⁷)і²³;

3) (і⁶⁴+і¹⁷+і¹³+і⁸²)(і⁷²-і³⁴).

63. Виконати додавання і віднімання комплексних чисел:

1) (3+5і)+(7-2і); 2) (6+2і)+(5+3і);

3) (-2+3і)+(7-2і); 4) (5-4і)+(6+2і);

5) (3-2і)-(5+і); 6) (4+2і)-(-3+2і);

7) (-5+2і)-(5+2і); 8) (-3-5і)-(7-2і).

64. Виконати множення комплексних чисел:

1) (2+3і)(5-7і); 2) (6+4і)(5+2і);

3) (3-2і)(7-і); 4) (-2+3і)(3+5і);

77

5) (1-і)(1+і); 6) (3+2і)(3-2і);

7) (6+4і)3і; 8) (2-3і)(-5і).

65. Виконати дії: а) (2+3і)²; б) (3-5і)²; в) (5+3і)³

66. Виконати ділення:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

67. Виконати дії:

а) ; б) в)

68. Розв’язати квадратні рівняння:

а) х²-4х+13=0; б) х²+3х+4=0;

в) х²-8х+20=0; г) 4х²-20х+26=0.