Решение уравнения Дирака для свободных частиц
В качестве простого примера рассмотрим движение свободной частицы описывающееся следующим уравнением
(1)
В стационарном состоянии зависимость
ВФ от времени рассматривается в виде
(2)
Подставим в уравнение (1) и получим
(3)
Далее будем рассматривать состояние с
определенным значением импульса. В этом
случае решение уравнения (3) будем искать
в виде
(4). Подставляя в (3) получим следующее
(5)
(6) четырехкомпонентная функция,
представленная в виде двух компонент
(7)
Такое представление обычно называют приближением Паули. Мы получили в итоге систему двух алгебраических однородных уравнений с двумя неизвестными. Очевидно оно имеет решение, когда определитель будет равен нулю
(8)
(9)
- матрицы Паули
(10)
А и В – два произвольных оператора, коммутирующий с оператором
(11)
(12)
Этим двум значениям энергии соответствуют
два типа решений уравнений Дирака.
Величине энергии
соответствует решение, которое мы будем
называть положительным решением
уравнения Дирака для свободного движения
частицы, а решение -
отрицательным решением уравнения Дирака
(13)
Подставляя это решение в систему
уравнений (7) мы можем выразить
через
(14)
не зависит от координат, двухкомпонентная функция, спиновая функция, спинор Дирака. Произвольная функция
Спиновую функцию на которую действует оператор можно нормировать следующим образом
(15)
Тогда функция Дирака соответствующая
состоянию с определенным значением
импульса
,
энергией
и значением энергии
будет иметь вид
(16)
N – нормировочный множитель, который находится из условия нормировки
(17)
Рассмотрим положительные решения
и перейдем к нерелятивистскому пределу,
то есть
,
где
кинетическая энергия
В этом случае из (14) мы видим
(19)
Спинор
значительно меньше спинора
в отношении
.
Таким образом при малых скоростях
две из четырех компонент ВФ станут
малыми по сравнению с двумя другими.
Поэтому в связи с этим
и
называются большими функциями, а
и
малыми функциями, но это только для
положительных решений
Для состояний с отрицательной энергией
которые соответствуют отрицательному
решению
(20)
Таким образом
и
становятся малыми функциями, а
и
большими так как
.
Таким образом при переходе к релятивистскому
приближению две компоненты ВФ становятся
малыми по сравнению с другими компонентами
при этом для +
,
а при -
.
Общее решение уравнения Дирака можно
записать в виде суперпозиции ВФ. Состояния
с определенным значением импульса могут
различаться значением еще одной
физической величины, обусловленной
наличием спина у электрона
(21) (матрица 4 порядка)
Этот оператор коммутирует с оператором
Гамильтона свободного движения частиц
соответствующая ей физическая величина
будет являться интегралом движения.
Поскольку при свободном движении частицы
импульс является интегралом движения,
то отсюда интегралом движения является
величина
,
где ось z направлена вдоль
оси импульса
(22)
Из математики известно, что собственные
значения матрицы, заданной в виде
диагональной матрицы совпадает со
значениями диагональных элементов.
Таким образом СЗ оператора (22) будет
.
СФ этого оператора соответствующие СЗ
и
являются следующие функции
(23)
Говорят, что в состоянии
спин частицы направлен вдоль импульса,
так как
.
В состоянии, характеризующемся ВФ
спин антипараллелен импульсу
.
Проекция спина имеет определенное
значение. Возможны 4 состояния в которых
проекции спина имеют неопределенное
значение
В общем случае спиновые функции изображают двухмерные одностолбцовые матрицы или функции от переменной, пробегающей два значения