Теория упругого рассеяния

Упругим рассеянием называется отклонение частиц от начального направления, вызванное взаимодействием с некоторой системой, которую будем называть рассеивателем. Изучение процессов рассеяния является одним из основных методов изучения атомов.

Рассеяние потока частиц характеризуется дифференциальным эффективным сечением рассеяния. Эта величина определяется, как отношение числа частиц , рассеянных в единицу времени, в телесный угол , к плотности потока падающих частиц .

Ось направлена по направлению движения падающих частиц. Очевидно, число рассеянных частиц в единицу времени равно плотности потока рассеянных частиц по .

. связывая с величиной соотношение

.

Отсюда дифференциальное сечение рассеяния

.

Здесь под плотностью потока подразумевается плотность потока вероятности. При взаимном рассеянии двух квантовых систем следует разложить упругое и неупругое рассеяния. При упругом рассеянии внутреннее состояние и состав сталкивающихся частиц остаётся постоянным, при неупругом - изменяется. Вначале рассмотрим упругое рассеяние, при котором можно не интересоваться внутренним состоянием и структурой. При рассмотрении имеет место взаимодействие двух частиц, причем, как правило, энергия взаимодействия зависит только от расстояния между частицами. В этом случае задача о взаимодействии двух частиц всегда может быть сведена к изучению движения одной частицы приведённой массы, в поле неподвижного центра сил и движение центра инерции систем. Напишем ВФ частицы, рассеивающей на силовом центре. Поместим неподвижный рассматриваемый центр в начало координат. Направление потока примем за . Вдали силового центра частица движется, как свободная. Её ВФ имеет вид .

Вблизи силового центра вид ВФ изменится. Однако когда частица уйдёт далеко от центра сил, она снова будет двигаться как свободная, т.к. поток рассеянных частиц на больших расстояниях будет направлен от центра рассеивания, то движение частиц должно описываться расходящейся волной.

Полную ВФ, описывающую движение частиц на больших расстояниях от рассеивающего центра

(4)

Первый член описывает движение падающих частиц, а второй рассеянных.

– величина, которая называется амплитудой рассеяния. В общем случае зависит от углов . Для изучения дифференциального сечения нужно знать плотность потока

(5)

В этом случае

(6)

Для дифференциального сечения рассеяния получим

(7)

→видно, что эффективное сечение рассеяния полностью определяется величиной амплитуды рассеяния. Найдём решение УШ для движения частицы в поле рассеивающего центра и это решение на больших расстояниях будет иметь вид

(8)

→задача сводится к решению УШ

(9)

Это уравнение представлено в следующем виде:

(10)

(финитное движение)

При этом частица с энергией движения из бесконечности к силовому центру, согласно теории движения частиц, в поле центральных сил также возможно если .

При решения (10) мы должны взять также решения, которые для больших расстояний представляют поток падающих и рассеянных частиц. Соответственно

(11)

Где представляет потока падающих частиц, а - поток рассеянных.

Чтобы найти нужно считать малым, т.е. представлять её малым возмущением и к уравнению (10) будем применять метод теории возмущений. Подставляя (11) в (10) и пренебрегая членом , мы получим

(12)

Теперь нужно найти решение этого уравнения, которое принимает асимптотическую форму. Для нахождения этого решения воспользуемся известным решением из ЭД, а именно рассмотрим функцию

(13)

Скалярный потенциал, созданный электрическими зарядами распространяется в пространстве с плотностью

(14)

Из ЭД известно, что потенциал вида (13) удовлетворяет уравнению Даламбера, имеющего вид

(15)

скорость распространения электромагнитной волны.

Решение уравнения (15) известно. Если брать волны, излучаемыми зарядами распространяется в точке , то электрический потенциал в точке в момент времени равен

(16)

-расстояние от точки, в которой распространяется заряд до точки наблюдения .

Если в выражение (16) подставить

(17)

Мы видим, что они совпадают, если положить

(19)

Отсюда из уравнения (17) получим решение уравнения (12)

(20)

Это уравнение содержит лишь расходящиеся, т.к. решение (16) есть решение для излученных волн. Найдём теперь функции вдали от рассеивающего центра, в начале которого

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)- амплитуда рассеяния

(26)

(27)

(28)

(29)

Полагая и подставляя получим условие применимости выражения

(31)

(32)

(33)

- 82 -