Внезапное изменение взаимодействия

В течении короткого времени , малого по сравнению с периодом колебаний в атомной системе

(5)

Если теперь посмотреть на выражение (2) (коэффициенты первого порядка), то при внезапном выключении взаимодействия производная становится сколь угодно большой. Соответствующий вклад в интеграл только за счет множителя . За промежуток времени он практически не изменяется. Поэтому экспонента выносится за знак интеграла.

Интегрируя, получаем, что вероятность перехода

(6)

; - размер атома, - скорость света

За это время происходит распад. Для вычисления вероятности перехода можно воспользоваться тем обстоятельством, что волновая функция в начальный момент времени (момент включения взаимодействия) не меняется. Пусть в момент времени система находится в состоянии соответствующем ВФ которая является СФ оператора Гамильтона . Предположим что при происходит внезапное изменение оператора Гамильтона и далее он остается неизменным и равным , а разница значительна. Обозначим СФ оператора через , а СЗ через . По условию в момент времени система описывалась волновой функцией , которая сохраняется и при включении взаимодействия. Разложим ее в ряд по СФ

(1)

- коэффициенты разложения, которые представляют собой интеграл, имеющий вид:

(2)

Квадраты модулей коэффициентов разложения представляют собой вероятность перехода : (3). Дальнейшие изменения состояние системы с течением времени будут описываться волновыми уравнениями Шредингера

(4)

(5)

В качестве примера вычислим вероятность возбуждения электрона в атоме при внезапном изменении заряда ядра. Для упрощения расчетов предположим, что атом содержит 1 электрон (водородоподобный атом). Предположим, что первоначальное состояние было состояние (невозбужденное основное)

(6)

После внезапного изменения заряда ядра ВФ стационарного состояния будут соответствовать водородоподобным ВФ

(7)

В соответствии с формулой (2) (3) вероятность возбуждения уровня с индексами будет определяться квадратом модуля коэффициента

(8)

Интеграл по угловым переменным в силу ортогональности шаровых функций будет в случае если будет составлять состояние

Запишем ВФ для состояния

(9)

(10)

Вероятность перехода под влиянием возмущения, зависящего от времени

Определим вероятность перехода квантовой системы из состояния под действием возмущения , которое имеет вид (1)

Мы считаем, что матричный элемент оператора возмущения очень мал, поэтому первое приближение верно для времен . Тогда получим, что коэффициент разложения

(2_

Полученное выражение для коэффициента разложения имеет простой смысл. Возмущение мы можем разложить в интеграл Фурье

(3)

- Фурье-образ (4)

Матричный элемент оператора возмущения мы представим в следующем виде:

(5)

- матричный элемент от Фурье-образа оператора возмущения

Применим теорему Фурье и получим выражение для матричного элемента

(6)

Сравнивая выражение (6) с выражением (2) мы видим, что коэффициенты разложения 1 порядка теории возмущения равны

(7)

Отсюда вероятность перехода из состояния с энергией будет равна

(8)

Полученная формула для вероятности квантового перехода содержит важный результат. Из нее видно, что вероятность перехода когда матричный элемент Фурье-компоненты, то есть переход возможен лишь в том случае, когда в спектре возмущения содержится частота перехода (9), то есть квантовый переход носит резонансный характер. Положение выглядит так, как если бы квантовая система являлась совокупностью осцилляторов с собственными частотами равными частотам Бора. При действии внешнего переменного воздействия возбуждаются только те осцилляторы, частоты которых совпадают с частотами, присутствующими во внешнем возмущении.

Вероятность перехода под влиянием возмущения, не зависящего от времени

Рассмотрим случай, когда оператор возмущения имеет постоянное значение, равное , между моментами включения и выключения взаимодействия и скачком изменяется до нуля вне пределов этого интервала.

(1)

Так как матричный элемент оператора возмущения не зависит от координат, его можно вынести в выражении для коэффициентов разложения первого порядка теории возмущения

(2)

А вероятность перехода за время действия возмущения будет определяться формулой (3), где функция (4)

Рассмотрим подробнее эту функцию. При возникает неопределенность , раскрываемая по правилу Лопиталя функция принимает максимальное значение

либо …

Функция обращается в ноль

При малых значениях вероятность перехода пропорциональна . При достаточно больших значениях по сравнению с (характерное время) эта функция (5)

(6)

При предел равен нулю, а при имеем , так что предел равен бесконечности. Интегрируя же по в пределах от до (делаем подстановку ) получим (7)

Отсюда формула для вероятности

(8)

(9)

Под влиянием постоянного возмущения переходы происходят лишь между состояниями с одинаковыми значениями энергии

, то есть вероятность пребывания системы в состоянии с энергией равна единице при

, где - время жизни состояния , поэтому формула для вероятности квантового перехода из для времен значительно меньше времен жизни состояния

для времен , удовлетворяющих неравенству .

Во всех системах либо конечные, либо начальные состояния принадлежать непрерывному спектру. Измерения же сводятся к определению полной вероятности перехода во все состояния , обладающие почти одинаковой энергией и одинаковыми матричными элементами оператора возмущения. Для получения такой вероятности нужно просуммировать выражение (9) по всем состояниям и усреднить по начальным состояниям , обладающим одинаковыми значениями матричных элементов. Этим и оправдываются введения этого выражения с использованием функции. Если обозначить число конечных состояний данного типа, приходящихся на единичный интервал энергии за , то полная вероятность перехода в единицу времени будет определяться выражением

(11)

Это условие выражает закон сохранения энергии при квантовом переходе. Выражение носит называние «Золотое правило Ферми»