Вариационный метод Ритца

В ряде случаев приближенное вычисление первых дискретных состояний квантовых систем может быть проведено с помощью вариационного метода. Вариационный метод вычисления

первых собственных значений оператора Гамильтона не использует теории возмущений и не требует знания всех решений более простых уравнений. Вариационный метод вычисления энергии основного состояния системы сводится к использованию неравенства

(1)

(2)

произвольная функция, которая удовлетворяет условию нормировки (2).

Докажем неравенство (1). Пусть представляет совокупность собственных волновых функций оператора Гамильтона. Тогда любую функцию можно разложить в ряд по СФ оператора Гамильтона.

(3)

(4)

Подставим в разложение, найдём сопряженную ВФ

(3’)

Таким образом, мы доказываем неравенство (1)

Таким образом, вычисление энергии основного состояния квантовой системы сводится к вычислению минимума интеграла при выполнении условия

(5)

Практическое вычисление энергии основного состояния с помощью выражения (5) сводится к выбору «пробной функции», содержащей некоторое число неизвестных параметров

После вычисления интеграла (6)

получают выражение , зависящее от этих параметров. Определение искомых значений параметров, вследствие (5) , сводится к отысканию минимума , т. е. к решению системы уравнений

(7)

При удачном выборе вида пробной функции, получаемое значение

(8)

будет близко к истинному значению даже при сравнительно малом числе использованных параметров. Волновая функция основного состояния системы будет приближенно совпадать

с функцией

Указанный выше метод отыскания энергии основного состояния носит название прямого вариационного метода, или метода Ритца. Выбор пробных функций базируется на качественном

анализе решений с учетом симметрии задачи. В случае удачного выбора пробной функции хорошие результаты для энергии получаются уже при использовании одного параметра.

Если обозначить через волновую функцию основного состояния системы, то вычисление энергии первого возбужденного состояния сводится к решению вариационной задачи

(9) при дополнительных условиях (10)

Доказательство этого утверждения можно провести таким же образом, как и для случая основного состояния, если мы учтем, что, в силу условия ортогональности (10), разложение функции пo собственным функциям оператора не содержит функции , т. е.

Вычисление второго возбужденного уровня сводится к решению вариационной задачи

при дополнительных условиях (14).

Вычисление третьего возбужденного уровня сводится к решению вариационной задачи при четырех дополнительных условиях. Следовательно, при вычислении высоких возбужденных состояний вариационная задача значительно усложняется. В некоторых случаях требуемые условия ортогональности выполняются при подходящем выборе пробных функций просто в силу свойств симметрии. Например, при исследовании состояний движения частицы в центрально-симметричном поле ортогональность состояний, соответствующих разным угловым моментам, обеспечивается ортогональностью соответствующих сферических функций.