Релятивистские поправки к движению электрона в электромагнитном поле. Уравнение Паули. Спиновый магнитный момент
Уравнение Дирака для частицы в электромагнитном поле
(1)
Если э/м поле не зависит от времени, то в этом случае необходимо перейти к стационарным решениям
(2)
(3)
(4)
(5)
Такое приближение называется приближением Паули
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
В итоге мы получим
(12)
(13)
Уравнение (13) было получено Паулив 1927 году
Сравнивая это уравнение с нерелятивистским
уравнением для случая стационарного
состояния, мы видим, что здесь присутствует
дополнительный член
(14)
константа, которая называется магнетоном
Боря. Это выражение можно интерпретировать
как энергию взаимодействия с магнитным
полем магнитного момента частицы
соответствующего оператору
(15) Этот магнитный момент частицы
называется спиновым магнитным моментом
который называется так потому что он
наблюдается только у частиц, обладающих
спином. Учитывая внутренние магнитные
свойства электрона
(16)
Спин-орбитальное взаимодействие
Рассмотрим движение частицы в
электромагнитном поле с точностью до
- скалярный потенциал
(1)
(2)
(3)
(4)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
Поправка Дарвина
В случае кулоновского поля когда
(18) Оператор контактного взаимодействия.
Он определяет дополнительную энергию
взаимодействия электрона с ядром в s
состоянии. Соответствующая дополнительная
энергия
которая пропорциональна квадрату
волновой функции в нуле
(20)
(21) поправка, возникающая при изменении
массы частиц при изменении скорости
(22) описывает взаимодействие магнитного
момента движения частицы с электромагнитным
полем
(23)
(24)
В s состоянии среднее
значение от добавки
равно нулю. В этом смысле оператор
контактного взаимодействия определяется
выражением (18) который не равен нулю в
s состоянии, рассматривается
как оператор спин-орбитального
взаимодействия для s
состояния.
Поэтому 1 и 3 поправки выражения (17) характеризуют спиновые свойства электрона. В некоторых случаях выражение для оператора спин-орбитального взаимодействия удобно записать в другом виде
(25) , где
напряженность электрического поля
(26)
Атом водорода с учетом спина электрона. Энергетические уровни. Правила отбора с учетом спина электрона. Тонкая и сверхтонкая структура
Исследуем движение электрона на основе уравнения Дирака с учетом релятивистских поправок порядка . Состояние электрона в кулоновском поле ядра с энергией . Необходимо решить следующее уравнение
(1)
оператор Гамильтона уравнения Дирака
Ранее из уравнения (1) в релятивистском приближении порядка было получено, что это уравнение будет иметь вид
(2)
(3)
(4)
(5)
Волновую функцию с учетом спина возьмем в следующем виде
(6)
Решение относится к нулевому приближению, однако можно использовать для определенных энергетических уравнений порядка
Это связано с тем что определенному
набору компонент
соответствует лишь состояние
Шаровые спиноры так же как и ВФ удовлетворяют уравнению
,
- угловая часть оператора Лапласа
Подставляя решение (6) в уравнение (2) после сокращения на шаровую функцию мы получим уравнение для радиальной части ВФ стационарного состояния для водорода
(8)
С учетом этого соотношения это уравнение в точности совпадает с нерелятивистской теорией атома водорода без спина
(9)
В нулевом приближении мы получим
(10)
В этом случае энергия E принимает дискретные значения зависящие только от квантового числа n
(11)
Найдем теперь поправку к энергии (11) в первом приближении. Эта поправка
Первое слагаемое обусловлено оператором контактного взаимодействия и равно
(13)
постоянная тонкой структуры
(14)
(15)
(16)
Выражение для спектра водородоподобного атома не зависит от l, хотя снимается вырождение, но не полностью, таким образом остаются двукратно вырожденные уровни
Они обладают одинаковой энергией.
Система уровней, соответствующая разным
значениям
но одинаковым значением
называется тонкой структурой
энергетическая разность
,
Абсолютная величина тонкой структуры. Форма квантового числа быстро уменьшается, поэтому число переходов обусловлено расщеплением уровней. Эксперименты с оптическими металлами подтверждают выводы теории Дирака о тонкой структуре.
Лэмб, Резерфорд: линии расщепляются друг относительно друга на 10% от величины тонкой структуры.
Лэмбовское смещение было объяснено с
помощью квантовой электродинамики.
Оказалось, что это расщепление было
обусловлено радиационными поправками,
суть которых обусловлена взаимодействием
электрона с электромагнитным вакуумом.
При движении в атоме электрон
взаимодействует не только с ядром но и
с нулевыми колебаниями электромагнитного
поля (электромагнитным вакуумом). Это
связано с тем что в отсутствии реальных
фотонов флуктуации электромагнитного
поля отличны от нуля. Взаимодействие с
вакуумом приводит к тому что электрон
в атоме начинает как бы дрожать на
орбите, в результате он как бы размывается
в пространстве, в результате чего сила
взаимодействия электрона с ядром
ослабевает, уровни энергии стационарных
состояний повышаются. Особо сильное
влияние электронно-позитронный вакуум
оказывает на электромагнитные свойства
электрона. Благодаря этому взаимодействию
магнитный момент электрона становится
несколько больше магнетона Бора
,
постоянная тонкой структуры
магнитный момент протона
спиновая матрица протона
создается собственное магнитное поле, векторный потенциал которого
(19)
Магнитный момент электрона
(20)
(21)
(22)
(23)
В первом приближении взаимодействие магнитных моментов так же как и контактное взаимодействие оказывает влияние лишь на S состояние. Дополнительная энергия, обусловленная взаимодействием атомных ядер и атомов
В 1000 раз меньше расщепления, вызванного спин-орбитальным взаимодействием
1.
2.
Разность между этими уровнями характеризует расщепление S-терма благодаря взаимодействию магнитного момента электрона с магнитным моментом ядра. Для этого вычисление этих поправок в нулевом приближении мы использовали ВФ
Эта ВФ полностью определяет правила отбора для всех квантовых чисел водородоподобного атома. В теории водородоподобных атомов с учетом спинового эффекта приходят к следующим правилам отбора
