Состояния с отрицательной энергией. Понятие об электронно-позитронном вакууме
(1)
ВФ с положительной энергией не образуют
полную систему. Но также невозможно
доказать отрицательную энергию. Частица
с отрицательной энергией
могла бы переходить в другое состояние
с меньшей энергией
.
При этом она совершала бы работу
Но такой переход она могла бы совершать
непрерывно, таким образом был бы возможен
вечный двигатель.
Дирак ввел понятие вакуума - такого состояния пространства, в котором все состояния с отрицательной энергией заняты электронами, а с положительной энергией свободны. В каждом состоянии с отрицательной энергией может находиться лишь один электрон с определенным значением спина. Предположим что под воздействием электрон удален из положения с отрицательной энергией. Освободившееся состояние с отрицательной энергией будет проявлять себя как нечто с положительной энергией, так как для уничтожения такого состояния, то есть для его заполнения нужно поместить электрон с отрицательной энергией. Таким образом незаполненное состояние следует трактовать как частицу, имеющую положительную энергию
Означает число электронов, находящихся
соответственно в состоянии с отрицательной
и положительной энергией, обладающей
определенным импульсом. В состоянии
вакуума
(2) для всех значений импульса при этом
энергия и заряд в вакууме определяются
соотношениями
(3)
(4)
Так как импульс ничем не ограничен, то значение E и q бесконечно велики, однако согласно Дираку эти величины принципиально не наблюдаемы. Наблюдаемыми являются также такие величины, которые характеризуют лишь отклонение от состояния вакуума
(5)
(6)
Наблюдаемо лишь отклонение
(7)
(8)
Если некоторое состояние с отрицательной
энергией свободно
,
то оно соответствует положительному
вкладу, наблюдаемые значения энергии
и заряда
Таким образом мы видим, что отсутствие электрона с индексом p в сплошном фоне заполненных отрицательных состояний эквивалентно появлению наблюдаемой частицы с положительной энергией и импульсом р
Такая частица была обнаружена Андерсоном в космических лучах и была названа позитроном
Момент количества движения электрона в теории Дирака. Спин. Полный момент импульса. Шаровые спиноры.
Состояние движения с определенным значением импульса можно охарактеризовать знаком энергии, проекцией вектора спина, оператор которой
Введем по аналогии 2 другие компоненты
(1)
(2)
Определим свойства коммутации. Пользуясь свойствами матриц Паули можно определить следующие перестановочные соотношения
(3)
Таким образом операторы проекции спина удовлетворяют перестановочным соотношениям аналогичным перестановочным соотношениям между операторами проекции момента импульса
(4)
поэтому S- оператор момента импульса, который называется внутренним угловым моментом частицы или спиновым моментом
Квадрат оператора спинового момента сводится к диагональной матрице
(5)
(6)
СЗ квадрата спинового момента всегда
равно одной и той же величине. Оператор
проекции спинового момента
коммутирует с
(7) одновременно являются СФ оператора
Известно, что в нерелятивистской теории
Шредингера оператор орбитального
момента количества движения
коммутирует с операторами Гамильтона
свободного нерелятивистского движения
без спина. В этом случае сохраняется
орбитальный момент импульса, однако в
теории Дирака, где учитывается спиновый
момент, оператор спинового момента не
коммутирует с оператором Гамильтона
уравнения Дирака
(8)
Из определения
(9)
Аналогично для других компонент оператора
орбитального момента. Таким образом
момент количества движения не является
интегралом движения в релятивистской
теории. Существование двух одинаковых
решений соответствующих данному значению
энергии указывают на то что оператор,
коммутирующий с
должен существовать
Определим такой коммутатор
оператор
в общем случае не является интегралом
движения. Является интегралом движения
только с определенным значением импульса,
направленного вдоль оси z
(11)
Таким образом сохраняющейся величиной
будет сумма проекций орбитального и
спинового момента. Этой проекцией будет
соответствующий оператор
(12)
По аналогии можем рассмотреть и другие
проекции
(13)
Они также коммутируют с
.
Из этих проекций можем составить
оператор, который называется оператором
полного момента частицы
.
Следует отметить, что операторы
орбитального и спинового момента
коммутируют между собой, так как имеют
разную структуру. Учитывая это
обстоятельство можно получить
перестановочные соотношения
(14)
Квадрат полного момента количества
движения
,
(15)
Проекция полного момента количества
движения на ось z
,
(16)
Найдем СФ и СЗ операторов квадрата
полного момента количества движения и
проекции полного момента количества
движения на ось z, то есть
найдем угловую часть ВФ, которая
удовлетворяет закону сохранения для
полного момента. Поскольку полный момент
является суммой, подобная задача
называется задачей на сложение моментов.
Для простоты ограничимся приближением
Паули, когда спин определяется двухрядной
матрицей
.
В этом случае необходимо искать решение
в виде двухкомпонентных матриц
(18)
(19)
(20)
Сохраняется лишь квадрат орбитального момента, но не его проекция на ось z, то есть
(21)
Из уравнения (18) следует, что если возвести в квадрат
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
Соотношение между шаровыми функциями носит название коэффициентов Клебши-Гордона
Для решения 1 типа
мы имеем
(30)
(31)
Условие ортонормированности для шаровых спиноров
(32)
соответствует случаю, когда спиновый и орбитальный момент параллельны
соответствует случаю, когда спиновый и орбитальный момент антипараллельны
Шаровые спиноры (31) и (32) являются спинорным обобщением обычных шаровых функций и представляют собой угловую часть решения для любых задач, связанных с движением частицы с полуцелым спином в поле центральных сил
Подставляя эти решения в функцию
,
я ее в уравнение
,
мы можем найти
,
где
- магнитное квантовое число (проекция
момента импульса на некоторую выделенную
ось)
В случае когда
(спиновый и орбитальный момент параллельны)
В случае когда
(спиновый и орбитальный момент
антипараллельны)
