Переходы под действием периодического возмущения

зависит от периодически, между моментами включения и выключения взаимодействия. (1) и скачком меняется до нуля вне этого интервала. В этом случае коэффициент

(2)

Т.е. мы получили выражение, похожее на выражение, полученное при квантовом переходе под действием постоянного возмущения. Поступим аналогичным образом. Будем вести рассуждение для времен значительно больших , чем время жизни квантовой системы и начального состояния.

, . В этом промежутке вероятность перехода (3)

Вероятность перехода в единицу времени

(4)

Таким образом, при действии возмущения, периодически зависящего от времени, переходы происходят в состояние, обладающее энергией (5)

Следовательно, при возмущении равном при квантовом переходе система теряет энергию, равную , т.к. . А при возмущении система приобретает энергию, равную , так как

Назовем квантовую систему, которая вследствие квантового перехода под действием периодического возмущения теряет или приобретает энергию системой I, а систему, за счет которой происходят изменения в системе I системой II. Суммарная энергия полной системы, состоящей из этих взаимодействующих систем при квантовом переходе системы I из состояния в состояние , остается неизменной. Предположим, что система II это система фотонов (Э/М поле) с энергией . Тогда вероятность перехода в единицу времени из определенного начального состояния в определенное конечное состояние можно записать в следующем виде:

процесс поглощения фотона

процесс испускания фотона

Поглощение и излучение света. Вероятность перехода.

При решении задачи о поглощении и излучении света нас следует подсчитать вероятность перехода атома с одного энергетического уровня на другой под действием излучения света. Нужно определить взаимодействие электрона в атоме с падающей волной.

Мы знаем, что оператор Гамильтона для частицы

(1)

Третий член этого выражения меньше второго в раз, поэтому мы им пренебрегаем. постоянная тонкой структуры

В качестве оператора возмущения (2)

- векторный потенциал излучения, распространяющегося в виде плоской волны с волновым вектором и частотой может быть записан следующим образом

(3)

- единичный вектор, определяющий поляризацию излучения, т.е. напряженность электромагнитного поля.

Напряженность электрического поля (4)

Магнитная составляющая э/м поля действует посредством силы Лоренца , - скорость электрона. Действие магнитного поля в раз меньше, чем действие электрического поля ( , в сто раз слабее мы его отбрасываем). Амплитуду векторного потенциала выберем так, чтобы в объеме в среднем было фотонов с энергией . - объемная плотность электромагнитного поля. С другой стороны она равна (5)

(среднее значение от )

Амплитуда векторного потенциала (6)

Подставляя это выражение в (2) мы получим

(7)

(8)

Согласно золотому правилу Ферми вероятность перехода с испусканием кванта света излучения с энергией будет определяться выражением

(9) (10)

Рассмотрим матричный элемент оператора возмущения входящего в первую часть

(11)

В случае атомных систем волновые функции дискретных состояний отличны от нуля только в области размеров атомов. Следовательно, интегрирование выражения (11) существенно только при , - боровский радиус. Длина волны видимого и УФ излучения значительно больше размеров атома.

Такое же соотношение выполняется и для многих случаев -излучения атомных ядер. В этих случаях мы можем разложить экспоненциальный множитель

(12)

Учтем только 1 член. Тогда матричный элемент будет равен

(13) – длинноволновое приближение

(14)

(15)

(16)

(16) подставим в (13). Получим:

(18) дипольный электрический момент перехода

Э/м излучение обусловленное отличным от нуля матричным элементом (18) называется дипольным электрическим излучением. Для вычисления вероятности перехода нужно определить плотность числа конечных состояний . Число конечных состояний системы, состоящей из атома и внешнего э/м поля при переходе атома в дискретное состояние определяется числом степеней свободы э/м поля. Если учесть квантовые свойства этого поля, то каждый фотон энергией имеет импульс , поэтому число состояний поля в объеме с определенной поляризацией фотона лежит в телесном угле с абсолютной величиной импульса лежащей в интервале от до определяется соотношением

Число состояний определяется фазовым объемом, занимаемым системой. Фазовое пространство это мерное пространство. Состояние в классической физике определяется заданием координаты и импульса. В фазовом пространстве это точка. Изменение состояния это линия.

- элемент объема фазового пространства.

Существует некоторый объем, меньше которого система не может занимать. Этот объем определяется числом

(19) число состояний в объеме с определенной поляризацией фотона, энергией , импульсом , направление которого лежит в телесном угле и меняется до .

(20) Подставляя это в выражение для вероятности перехода находим вероятность испускания фотона в единицу времени в телесном угле с поляризацией и частотой : (21)

Вектор поляризации перпендикулярен вектору распространения света , поэтому если обозначить угол между и направлением дипольного электрического момента перехода через то

(22)

Интенсивность испускания излучения за единицу времени в единичном элементе угла получается путем умножения вероятности на энергию фотона

(23)

Интегрируя (22) и (23) по всему телесному углу получим полную вероятность

(24)

Оценим порядок величины вероятности перехода: