Правило отбора для гармонического осциллятора. Интенсивность излучения

Вероятность поглощения и испускания дипольного электрического излучения в единицу времени определяется матричными элементами дипольного момента . Они определяют матричные элементы радиус-вектора. Некоторые матричные элементы равны нулю, тогда переход под действием света не реализуется и соответствующая частота не излучается, хотя уровни и существуют. В таком случае говорят о правиле отбора, то есть правиле, которое как бы отбирает у всех мысленных переходов только некоторые в действительности реализующиеся. Следует иметь ввиду, что переход невозможен под действием возмущения, матричный элемент которого пропорционален матричному элементу дипольного момента . Он может быть реализован, если учесть следующие члены разложения.

Рассмотрим колебания одномерного гармонического осциллятора массой , собственной частотой и зарядом

Оператор Гамильтона

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Матричный элемент равен

(7)

Отсюда видно, какие матричные элементы координаты будут отличаться от нуля

, (8)

Таким образом дипольные переходы возможны только между соседними уровнями и правило отбора примет вид (9) В частности

Частота равна собственной частоте осциллятора

(11)

Переходы в более высокое состояние возможны лишь при вынужденном излучении. При дипольных переходах возможно только излучение основной гармоники.

Подсчитаем интенсивность квадратичного излучения. Она пропорциональна квадрату матричного элемента так как квадрупольный момент

(12)

(13)

(14)

Дважды применим рекуррентное соотношение (6)

(15)

Соответственно правило отбора для квадрупольного излучения осциллятора

(16)

То есть переходы могут быть либо через изменение квантового числа на два либо без изменения

(18)

Дипольные переходы происходят при , квадрупольные при

Четность состояний гармонического осциллятора определяется квантовым числом n и дипольный переход возможен с изменением четности состояний, а квадрупольный без изменения четности состояний

, где а – классическая амплитуда колебаний осциллятора, , - длина волны излучения

В нерелятивистском приближении энергия значительно меньше энергии покоя, интенсивность квадрупольного момента значительно меньше дипольного

Правило отбора для оптических электронов в атоме

Определим правило отбора для электрона, движущегося в поле центральных сил. Для этого необходимо найти матричные элементы энергии дипольного момента. Поскольку компоненты дипольного момента отличаются от матрицы радиус вектора только зарядом электрона, будем вычислять матричные элементы радиус-вектора

(1)

Волновая функция электронов в поле центральных сил представляет собой произведение радиальной части на угловую часть, которая представляет собой шаровую функцию

(2)

Введем вместо координат XYZ следующие переменные

(3)

С физической точки зрения это эквивалентно разложению движения электрона в атоме на три части: на колебания вдоль оси Z, а также на лежащие в плоскости XY правое и левое вращение, характеризующееся соответствующими составляющими ,

Все составляющие должны описывать полное трехмерное движение электрона в атоме. Определение правила отбора сведется к следующему нахождению матричных элементов

(4)

(5)

(6)

При вычислении учтем рекуррентное соотношение для шаровых функций

(7)

(8)

(9)

(10)

Отсюда получим правила отбора.

Правило отбора, которое соответствуют колебаниям вдоль оси z

(11)

Таким образом, разрешен будут только те переходы, для которых изменение магнитного квантового числа , орбитального квантового числа (12)

Необходимо показать, что интеграл ни при каких числах m и l , таким образом главное квантовое число может меняться произвольно

Правила отбора (12) показывают, что оптические переходы для дипольного излучения возможны лишь между состояниями, являющимися соседними в отношении изменения орбитального квантового числа

l=0 s

l=1 p

l=2 d

l=3 f

Оптические переходы совершаются между соседними уровнями, квантовая механика дает объяснение этому факту

Дадим правило отбора для квадрупольного излучения

Вычислим матричный элемент квадрупольного момента . Все это сводится к вычислению следующих матричных элементов

, ,

При движении в поле центральных сил четность волновой функции определяется орбитальным квантовым числом l, поэтому дипольные переходы только с изменением четности, квадрупольне без изменения четности