книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

И . В . С К Р Ы П Н И К

НЕ Л И Н Е Й Н ЫЕ

ЭЛ Л И П Т И Ч Е С Н И Е УРАВНЕНИЯ

В Ы С Ш Е Г О П О Р Я Д Н А

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА» КИЕВ — 1.973

Естественными при изучении уравнений вида (1) принято счи­ тать условие эллиптичности в виде

Дивергентная форма уравнения (1) позволяет определить обоб­

Регулярность обобщенных решений

Проблема регулярности решений квазилинейных эллиптических уравнений идет от Гильберта (девятнадцатая проблема), которым ставился вопрос, должны ли быть все решения регулярной вариа­ ционной задачи необходимо аналитическими функциями. В даль­ нейшем, по мере перехода от уравнений с аналитическими функция­ ми к уравнениям с дифференцируемыми функциями, постановка проблемы регулярности расширялась: «Дифференциальные свой­ ства решений эллиптического уравнения внутри области их суще­ ствования определяются дифференциальными свойствами функций, образующих эти уравнения, и не зависят ни от гладкости гранич­ ных значений, ни от того функционального пространства, в кото­ ром эти решения первоначально найдены» [84].

Первой работой, посвященной девятнадцатой проблеме Гиль­ берта, была работа С. Н. Бернштейна [8], в которой доказывалась аналитичность всех трижды непрерывно дифференцируемых реше­ ний нелинейных эллиптических уравнений второго порядка, зада-

4

ваемых аналитическими функциями, с двумя независимыми пере­ менными. Позже требование существования третьей производной решения ослаблялось различными авторами (Л. Лихтенштейн,

Э.Хопф, Ч. Морри).

И.Г. Петровский выделил [123] класс систем дифференциаль­ ных уравнений, которые теперь принято называть системами, эллип­ тическими по И. Г. Петровскому, все достаточно гладкие решения которых аналитичиы. Требование на минимальную априорную глад­ кость решения было ослаблено С. Агмоном, А. Дуглисом, Л. Ниренбергом [1]. Например, для уравнения вида (1) из работы [1] сле­ дует, что всякое принадлежащее Ст (Q) решение является анали­

тическим в Q, если Аа, / а аналитичны.

Все эти результаты сводят девятнадцатую проблему к доказа­ тельству определенной гладкости решения задачи. Но вместе с тем не дают ее полного решения, так как нет способа построения реше­ ния с требуемой априорной гладкостью.

Полное решение для многомерной задачи в случае уравнений второго порядка получили для специального функционала де Джор­ джи [56] и Нэш и в общем случае О. А. Ладыженская и Н. Н. Уральцева (см. монографию [84], где дается обзор работ по уравнениям второго порядка).

Проблеме регулярности для квазилинейных уравнений высшего порядка посвящено небольшое число работ.

Для уравнений высшего порядка Морри доказал [105], что для

В работах [57, 59, 97] приводятся контрпримеры, показывающие, что уравнения высшего порядка существенно отличаются по свой­ ствам решений от уравнений второго порядка, и при п > 3, т > 2 можно построить примеры уравнений вида (1) с аналитическими Аа, но имеющими не принадлежащие С" (Q) обобщенные решения.

Гладкость обобщенного решения в случае двух аргументов изу­ чал И. Нечас [109] при ряде существенных дополнительных огра­ ничений (предполагалось, что уравнение можно включить в пара­ метрическое семейство уравнений специального вида, единствен­ ность решения задачи Дирихле и т. д.).

вая и вторая главы, в которых излагаются результаты, получен­ ные автором в работах [133—138].

В § 1 главы I строятся примеры эллиптических вариационных квазилинейных уравнений вида (1), которые имеют нерегулярные

5

обобщенные решения, не принадлежащие к определенным классам функций. Все эти примеры показывают, что приводимые ниже ре­ зультаты неулучшаемы.

В связи с контрпримерами, построенными В. Г. Мазья, де Джор­ джи, Джусти, Миранда, автором, основным в проблеме регуляр­ ности стал вопрос: установить минимальную гладкость решения, обеспечивающую его регулярность.

Этот вопрос решается в первой главе, где доказывается, что при естественных предположениях всякое обобщенное решение и (х) уравнения (1) принадлежит Cm(Q), если для произвольной функции <p€Co°(Q) выполняется условие

что условие (5) нельзя ослабить. Дальнейшее повышение гладкости и (х) непосредственно следует из работы [1].

Доказательство ограниченности производных m-го порядка ре­ шения уравнения (1) основано на получении равномерных оценок норм этих производных в L r при г ->• оо. Доказательство непрерыв­ ности этих производных основано на том же методе, только приме­ няющемся к вспомогательной функции, при выборе которой исполь­ зовалась идея Ю. Мозера [108].

Контрпримеры, о которых говорилось выше, относятся к случаю трех и более независимых переменных. В § 2 второй главы пол­ ностью исследован плоский случай и показано, что при выполнении естественных предположений всякое обобщенное решение явля­ ется регулярным.

Отсюда, в частности, следует, что девятнадцатая проблема Гиль­ берта имеет положительное решение в случае плоской области: всякое решение регулярной вариационной задачи необходимо аналитично, если функции, образующие уравнение, аналитичны.

В § 3 главы I I I доказывается при слабых предположениях, что при п = тр всякое обобщенное решение уравнения (1) непрерывно. Следующее отсюда утверждение о непрерывности обобщенного ре­ шения линейного уравнения с измеримыми ограниченными коэф­ фициентами обобщает на уравнения высшего порядка известную

всякое обобщенное решение уравнения (1) является классическим. Примеры показывают, что условие п = 2 (т — k) неулучшаемо.

6

Топологические признаки существования решения

Впервые исследование разрешимости задачи Дирихле для уравне­ ний вида (1) (и систем) было проведено в ряде работ М. И. Вишика [32—35], выделившего класс сильно эллиптических квазилиней­ ных уравнений. Для таких уравнений доказана теорема об одно­ значной разрешимости. Также доказана разрешимость для некото­ рых классов уравнений, являющихся сильно эллиптическими лишь по отношению к вариации старших производных и содержащих под­ чиненные члены.

Ф. Браудер в ряде работ (см., например, [17]) изучал разреши­ мость определенных операторных уравнений в банаховых простран­ ствах, к которым оказалось удобным сводить граничные задачи для

Возникающий при этом оператор А обладает свойством монотон­ ности, либо более общим свойством полуограниченности вариации.

Изложение этих результатов содержится в монографии Ф. Браудера [17], обзорных статьях Ю. А. Дубинского [47], Р. И. Качуровского [73], Дж. Иллса [66], где и приведена основная литература по этому вопросу.

Разрешимость некоторых классов уравнений с нечетными опера­ торами, не удовлетворяющими условию коэрцитивности, доказана С. И. Похожаевым [128] (см. также [21, 121]). Им же введено поня­ тие нормальной разрешимости и доказана нормальная разреши­ мость определенных операторных уравнений с дифференцируемым оператором [127, 62, 25].

Разрешимость операторных уравнений с монотонными либо сходными с ними по свойствам операторами в упомянутых выше

7

работах получена в случае коэрцитивных или нечетных операторов. В последнее время для изучения подобных уравнений были приме­ нены топологические методы.

Топологические методы исследования нелинейных уравнений вида и + Ти = 0, где Т—вполне непрерывный оператор, были развиты в работах М. А. Красносельского и его учеников (см. [81]). Они основываются на введенном Лере—Шаудером [91] понятии степени отображения и эквивалентном ему понятии вращения впол­ не непрерывного векторного поля, введенного М. А. Красносель­ ским. Теория вращения вполне непрерывного векторного поля обобщена на поля и + Fu, где F — слабо непрерывный [13] либо уплотняющий оператор [16, 311. Введены топологические инвариан­ ты для фредгольмовых гладких векторных полей [153, 67, 14, 15].

Распространение топологических методов на операторы, не являю­ щиеся возмущениями единичного, проведено в работах [23, 24, 133,

Р.Л. Фрум-Кетковым [1611.

Вработах [133, 139—143] векторное поле аппроксимировалось

конечномерными полями, устанавливалась стабилизация враще­ ний конечномерных векторных полей и предельное значение этих вращений называлось вращением исходного поля. Изучены свой­ ства вращения (например, доказано, что вращение — единственный гомотопический инвариант, получена формула индекса критиче­ ской точки и др.) и даны различные применения этого понятия. Эти результаты излагаются в главе I I I .

Пусть X — действительное сепарабельное рефлексивное банахо­ во пространство, X* — его сопряженное. В § 2 вводится понятие вращения на границе S ограниченной области D cz X векторного поля Аи, где А : S -> Х*\{0}—ограниченный, деминепрерывный (переводящий сильно сходящиеся последовательности в слабо схо­

димость ип к и0.

Класс таких операторов достаточно широк. Всем этим условиям удовлетворяет определяемый равенством (6) оператор. Этим же условиям удовлетворяет оператор С + В + Т, где С — сильно монотонный, В — ортогональный, слабо непрерывный, Т — вполне непрерывный операторы [50; 72], операторы, порождающие норму [47], и др.

В § 2 вводится вращение и при более слабых предположениях

8

на X, А, а также для некоторых классов отображений из X в X. В § 3 изучаются основные свойства вращения. Здесь доказы­ вается классификационная теорема, утверждающая, что вращение является единственным гомотопическим инвариантом. Если опе­ ратор А определен на D и имеет в D только изолированные критиче­ ские точки (в которых Аи — 0), то вращение поля Аи на S равно сумме индексов всех критических точек. Отсюда, в частности, сле­ дует принцип ненулевого вращения: для того чтобы уравнение Лы=

Общий принцип ненулевого вращения применяется в § 5 для получения признаков существования критических точек. Отсюда в качестве следствий получаются известные результаты о разреши­ мости уравнения (6) при условии (8). Обобщаются результаты С. И. Похожаева по разрешимости уравнений с нечетными опера­ торами. Изучается разрешимость асимптотически однородных опе­ раторов. Некоторые признаки получены для операторов А, дей­ ствующих в X. Отметим, что в качестве следствия дано обобщение принципа М. А. Красносельского существования неподвижной точки отображения К + F, где К — строго сжимающий, a F — впол­

В § 6 даются приложения развитых топологических методов к изучению граничных задач для нелинейных эллиптических урав­ нений. В частности, доказана при естественных условиях разреши­ мость нелинейной задачи Неймана для уравнений второго порядка (отметим, что обычный метод Лере — Шаудера к этой задаче не­ применим [84, гл. X]).

Разрешимость и обоснование метода Галеркина для ряда нели­ нейных задач механики дается в § 7.

Задача о собственных функциях

Топологические методы, развитые в третьей главе, позволили в

Здесь А — ограниченный деминепрерывный оператор, удовлетво­ ряющий условию а, Т, F — вполне непрерывные операторы.

Существование собственных функций уравнения вида (8) в слу­ чае потенциальных операторов А, Т (являющихся градиентами не-

9