книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

Для

третьего

слагаемого

правой части

(1.63)

получим из (1.62)

о ценку

{[Vy(x + l 2

+ . . . + lk)Y +

[Vv(x

+ lx

+

... +

lk)\r)

I Д(1,) • • •

. . . A (lk) Dyu

К

C{| Л ( I , ) . . . Л {lk) {[Vv (x)}' -Dyu) \ + \R6

\). (1-64)

Неравенство (1.60) следует теперь из (1.63), (1.64) при достаточно

малом

положительном е.

Аналогично

доказывается

такая

лемма.

Лемма 13. Пусть I—произвольный

n-мерный вектор иг

> г 0

>

Имеет

место

оценка

£

[Vv (x))r

IД (/) D\ (х) I <

Cr

£

' {| Д (0 {[Vv

{x))rD*u}

| +

IBl=l7l=m

|p|=|V|=m

+

IД (/) {[Vy

(x)]r • Dyu) 11 Д (I) Deu

\)

(1.65)

с постоянной

С, зависящей

только

от т, п, г0 .

еще

неравен­

При

д о к а з а т е л ь с т в е

(1.65)

пользуемся

ством

[Vry (х) + Vry

{х + I)} I Д (/) Dyu

{x) j <

СIД (I) {Vry (x) Dy

и (x)} \,

непосредственно

следующим

из

соотношения

Д (I) {Vy (х) Dyu

(х)} = 4- {[Vy (х) + Vy

(x + l)] Д (I) Dyu

(x) +

i

_

ложим существование

последовательности

(х),

k=

1 , . . . , 2m-|-1,

такой,

что

(х) g С ~ (Qd) и для .произвольного

У£ЯГ,\у\<

2k~'mkH

: ^0

(х) =

т|> (*), 0 <_i|)ft (х) <

1,

V

i

(*>

<*

l>*-i (*)• I D 4

W I <

< Q

l . I «I <

т.

(1.66)

Можем считать, что Kt >

Применяя

леммы

12 и

13

к интегралу

/ 2

) ,

получим

при

6 {г + - |

2J > 1 индукцией

по

| со" |

оценку

2<?<

ц

*_

/<2><Сг<*< -• • - 2 .

I f J IД (/j,) . .. Д ( О D°u

(х)

X

I L

IOl=lPI=IVl=m I _ Q

J (| A (*„). . . A (lki)

(s-2s,)

2?,

X

([Vy

(x)]Tlr+r,)D*u

(x)) I i|£PV))T ^ +

+

J

l

A ^

^

x

)

] 2

^ " M ^ V ,

W l ^ d *2|ш"|

X

|(0"|

X

j

IA (T„) D p

« ^ ,

W |4 « + I

|

A ( T I 7

) . . . A (T w ) D p « x

2?(

2|ш"|

(1.67)

где lkj,

lkj—некоторые

/г-мерные векторы;

| / f t t /

| , \lkjI

< (2mya> lh, j

пробегает

конечную,

зависящую

лишь от т,

п

последовательность

номеров и постоянная С зависит от т, п,

qr

(1.67)

При дальнейшей оценке интегралов из

правой

части

будет применяться

такая лемма.

Лемма

14. Пусть

—n-мерные

векторы,

q~>\,

<

(2m)kh.

Тогда

для

произвольной

функции

f (х)

j | А ( / , ) . . . A (IJ

If (х)]

(х)\Чх

< С

£

(K^shf^

X

v=0

X j

I A (lh)...

A (ltJ

{f

(x)

i | £ £ > ) } I'd*,

(1-68)

Q

где суммирование

no il t

... ,

i v распространяется

no всем подпоследо­

вательностям последовательности

(1, .

. . ,

X).

Д о к а з а т е л ь с т в о

(1.68) проводится индукцией по X и

используется при этом формула вида (1.13).

Докажем

только

(1.68)

при % =

1,

так

как дальнейшие

рассу­

ждения

проводятся

аналогично.

Непосредственно

проверяется

А (*,)

if

(х) tfk

(х)} — А(/,) [f (х)) г|>* (х) +

1

+

f (х +

I,)s

j

[(1 + /А (I,) грА {x)f-'dt

А (г,) грА (*).

Отсюда

следует

о

\

IА (/,) [/ (х)] tfk

(*)

\Чх <

(|

А (/,) {f (х) яр; (х)}

+

Q

Q

+ С (sK^)"

[!/(*+/,)

»s~]

[х) +

+ /,)] |'dx.

\\f{x

+ ix) w~x (*) + ^ Г 1 (* + ^

\"dx <2"[\f w

чй (*) l

^ .

n

я

откуда

и следует (1.68) при Я,=1.

Из

формул

(1.56), (1.57), (1.67),

(1.68) теперь

получаем,

что

при 6 (г +

>

1 интеграл

Г

' ( , > ли

о

оценивается суммой членов

вида

'o

a

X

(x)} Р Ц

"

*

{ f fc-gL J I A>'A (7,)

. . A (?,,) X

y-ts—2s,)— v,

2q

\ k,

x { [ 1 U * ) ] 2

D^W1>

(х))\к'йхГ

,

где I у I =

I p I = m\

i, +

/,

= fe, > fe2; fe, < 9; i 2

+

/8 = fe2; X, Д 2 <

< 2m; v,, v2

< m; 7(, ^ — n-мерные

векторы,

\lt\,

|

1 < 2 m _ 1 x

^ > = J ^ j | A / a A ( / ] ) . . . A ( w t [ K Y ( x ) ] 2

^ ш р 2 ,

\хУ

J ^ . j | A (

y . . . A , y x

0

J o

Q

1

f"( r + r i>

R |-<s—2s >—V \

x\[Vy(x))2

1

tfu^

\x)\

Я = 1 ,

р = 2,

I = у .

Все условия

леммы 3

выполнены, так

как в данном случае

s =

s =

/е,

s <

j 2 .

Получаем,

выбирая

значение ft в (1.17) равным т-\-т^.

JW

<c\[\[Vy

М Л + ' х > | da

(х) f < " 2

^ ' - 2

^ (х)dx

+

CO

g

dx

У 1 4

) < С Я *2 [$ [F y (x)]«( r + V / D"U (х) |Vf~ 2 s i ) - 2 v * (x) dx ]*> +

+

J l H ^ j | A r m 4 A ) | [ V v ( x ) l 2

D ^ l

(x)| dx

(=i

где

/ 0 ( Я ) =

£

[ 1 +

Н~п

j | Dpu

(х) |2cp0(x)dx

+

п Н

+

£

f ^

f I A " + m i № i D B " W Фп <*» |2 dx J ,

(1.71)

i=i 6

я

/

фп (*) — некоторая

функция

класса CT {Qt),

равная

единице в Qd.

Г

Из

(1.70)

и

(1.71)

получаем оценку

для У( 3 ) и, следовательно,

н

y(l)

rSm^8m+2qm

1

ul+л d h < C

^ l / r

s ( W ) f ,

9

= maxq£ ,

[ / о ( я ) ] е - 2 а

•

где

2m

m

/ , 5 ( Я )

=

£

£

£

H~n

J [V (*)] е ( г + г ' ж

o|>£(s -2s i>~2v

(x) dx +

|p|=|v |=m >.=0

v=0

Q

(1.72)

8

(s—2s,)—v

( Л ) { [ V V W ] 2ir+r.)

+ V f - ~

j

| А Г +

т 1

DV,

•

"

{x)}\4x

i=l

0

Я

Сделаем только

замечание

относительно

последнего члена при

р <

4, так как в этом случае нельзя непосредственно получить для

него оценку вида

(1.56). Представим

Р - 4

iw (х+т

2 2 [Vy(X, п)г

=

Р - 4

=

[w(x + ixh)] 22

{Vy{x +

+

[Vy (x,h) - Vy

(x

+11П)]}[Уу(хМг-[

Отсюда, пользуясь очевидным

неравенством

I Vy (x.li) -Vy(x

+

I <

{[Vy(x,

A)]2 + [Vy

(x + vh)]2 } X

X || A (|ift) Dyu

(x) j - f j I

A (/Yft) Dv u (x) I drj,

Р—4

lw(x

+

1

\Vy(x,h))r<

ph)] ~l

р—Л

<; С [ш (х +

рЛ))2 [Vy(x,

h)]r-[

х

X {W (х +

|*ft) +

IА (и*) £>7« | 2 + [ IА (У0 D T uW | 2 Л} .

'm

И, следовательно, по неравенству Юнга

[ш (x 4-

uA)] 2

ft)]'

| AW D6 «

I И ^ ~ 2 m

(x) <

p-2

2gf +i

a?j

< [ш {x + fxft)]~ [Vy

{x, / l )] r - I {|A w D u u (x) | N

+ |

А ш О в « | ^ +

+ IA (uA) DY u

J

I A (tyh) Dyu

(x) fi+idt}

^~2m{x).

Теперь уже в правой части все слагаемые подобны подынтеграль­

ной функции в J<1)

и оценка

интегралов

от них проводится точно

так же, как и для

Оставшиеся члены j'r-s

(Н,

оцениваются

одинаково, поэтому

остановимся еще только на интеграле

"

+

-

—

У ( 5 ) =\-tfZk)[W(x

VA)]''

[Vy(x,h)]r+1\^D6u(x)\^s-2m(x)dx

при

| б | < т,

1 <

| со | < qt.

Возможны два случая:

а)

|со +

б|

< т ;

б)

| со +

б | >

т.

В первом

случае,

представляя

&(*Dbu(x)

по

формуле (1.15)

Д м / Л (х) =

Л м j

£>ш + 6 и (х +

ih)di

Vl

и применяя

неравенство Юнга,

получим оценку

^(5)

< С

£

$[Vy

(*)]'+ '»фГ2 и * (х) dx,

(1.73)

lvl=m a

r a =

P +

* +

• Применим к последнему интегралу

неравенство

Гельдера и

воспользуемся

легко

проверяемым

соотношением

г+-

IVу

(х)}

2<Cr{l

+

[Vy (x)YI Dyu

(x)\).

Имеем

J[b)<Cr(l+

£ \\{Vy(x)]r3%(x)dx\l

»г°Х

X {J [fVy (x)f^

I D 4 (x) I ф

r ( - * t > (x)l^ dx]^"),

(1.74)

/

I N

<7.e

где ^

такое же,

как

в

(1.47),

r3 =

^r2 — rx—

^-J

9 X _ г

Оба ин­

теграла

справа в

(1.74)

можем

оценивать по

неравенству

(1.18) и

в результате придем

к

оценке

/Б>

< Сг {10Щ)У

{Irs(H)f

(1-75)

Если

же

в У ( 5 ) | ю + б | > т ,

то оценим

У ( 5 ) по

неравенству

Юнга

Jl5) <

[Лгп

\{[w(x+

т

2

[Vy (х, h)\r~x

I Д ^ У * )

ОТ1*- +

+

[о; (х +

pJi)UVy

(х, h)]r+7h2q'\

tf-2m(x)dx,

конечна величина J'

(Я, т|з) ы имеет

место

4

оценка

(1.76)

J'r,s

Ф) < С (гКяГ{10

(Я)}

{/„ (Я)}е .

Здесь J'r s (Я, i]>),

/ 0 (H),

Jrs(H)

определяются

соответственно по

фюрмулам {1.54),

(1.71),

(1.72),

qt те же числа,

что и в теореме 1,

q, т зависят только от т, п.

Неравенства

(1.47),

(1.76) будут основными

при доказательстве

ничений на г:

r>\,

е(г + | - 2 ) > 1 .

(1.77)

н

j

; .

s (Л, ф)

=

j -jj+-nJr_s

(h,

tydh+^

[w (x)\r+~pf-2m(x)

dx +

0

Q

H

r + £ _ 2

l 2 j

2(m +m,+/)

Ш=тй

£i

/=iL]v<nj+m,

+ J ; № ! | I - M ) ]

1< uKm+nij

I A W > » « < * + V A ) I

+

" ц Г

s

| И |

+

j J Л (t&h) D p u (x)

fm+m>+i)dt +

£—2

p

+

£

[w 2

(x

+

цА) (wr~l

(x) +

wr~l (x,

A)) + ш + 2 ~ ~ ( x + u A ) +

(1.78)

+

w 2

(x+iLh)

-(wr (x) + wr (X,ft))]X

2jm+m1)

X["

£

|A>)Dp u(x+vft)|

m

+^\A(t^h)D^u{x)\2{'n+mi)dt'\\^-2m

dx.

|v| <m+m,

-*

Покажем,

как оценивать

входящие в Tr_s

(Н, 1|э) члены

при выпол­

нении

второго

условия в (1.77). При г <

1 и оценке,

например,

интеграла

Р- 2

2 ?г

7( 1 >

=

Г [ ю ( х +

цА)] 2

А ) Г ~ ' 1 р а

А т »

^-m^-2m(x)dx,

J

I

/j/n—|а|

аналогичного

мы не

можем,

пользуясь

неравенством

Юнга,

получить оценку

вида (1.56). Поэтому представим

~2~

г—L

2 +

[ОУ (х + цЖ)1

[си [х, A)]

=

[w (х, h)\

+ {[w (х + рЛ)]

—

Р - 2

2

(1.79)

и оценим разность в фигурной скобке с помощью уже часто приме­

нявшегося приема:

Р - 2

Р - 2

|

I

2

г . . . / „

г.м

2

|

=

^±[tw(x

+

vli) + ( 1 -

|[ю(* + цА)1 "

— [ш (х, Л)]

Р - 2

р—3

р—3

-t)w(x,h)]

2

dt

< С

J

{[ш(х + рЛ)]2

+ [ш(х,А)] 2

} х

|al=m

X { | Д(цА) Da a | +

J

I А tfaft) Da u

Отсюда и из (1.79) получаем

[w(x +

Р—2

£+г—2

[w(x,h))2

-+V—3

[ih)}2

[ w ( x , / i ) ] ' - ' < С £ [ [w(x, h)]2

+

X

lal

=m

X (

I A (\ih) D

u(x)\

+^

I A (tah) D

u

(x) \*dt)

+

£—4

y

[w [x +

a

2

a

2

'm

X

[w (x, h)]r-\

IA (pii) Da a (x) | 2

+ j | A «a /i) Da u (*) |2 Л)) •

Продолжая аналогичную оценку

для

последнего слагаемого

в фигурной скобке, придем после j^-|-J шагов

к оценке

Р=1

,

Р+Г-2

l2'<

I А И ) Dau (x)f

+

[w (х + рЛ)] 2

[w(х, h)]r <C[w(x,h)}2

S

In,

J

Р - 2

Dr t Am u

2<7£

[w{,x +

\iA)\ 2

[а»(х,

А)]' - 1

| и + а 1-'"<С[йУ(л:, Л)]

х

дт—|а|

х

О а Д ш и

|а>+а|^-т

S

Л т — | а |

+

\A^h)Dau(x)\2U!l+i)+

+ [|А (feA)

Dau (х) |

d/

(1.80)

Тем самым

получим для JW оценку

вида (1.56).

Остальные

оценки для

получаются дословным повторением

оценок JM. Аналогично оцениваются остальные входящие в

Tr,s(H,

дующая

лемма.

Лемма

15. Пусть выполняются

все предположения

теоремы 2,

кроме

г > 1 . Тогда

при

\r \ < С, и 4т < s < С 0 конечна величина

Jr,5 (Н, i|))

и имеет место оценка

1

Jr,s

(Н. ip) < С -

{

1

0 (Н)}4 •

{1Г.,(Н)}(

a-8i)

Здесь

сохранены все обозначения теоремы 2.

Отметим еще, что при г < 1 оценка

вида

(1.81) справедлива и

если не выполнено

второе неравенство

из (1.77). Нам понадобится

в дальнейшем такое г, что

0<В(г

+ - § . _ 2 ) < -

(1.82)

'8VW

где N — число

мультииндексов

длины

т.

Обозначим

2т т

1

Ш) — £

£ £ [Н-ПI

[ш (х)]«^1)+1 ^

е<-*,>-* (*) <fc +

=ml=0v=0

л

Я

dh

' № ) ( D P «

(

•{s—2si)—v

+ S l ^ r J [ | A r + m

^• *

(*))l

+

i=\ о h

a

, m+m,

(h) ([w (*)] >+r"

D*u (x) ^ s - 2 S

l ) - v W ) |2] dx } .

+ IС

"

4—843

49