книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

ного R <

\а\=т

>,а =

со

(#) =

vrai

min Dau (х),

со

x£BR[x0)

со„ „ =

со,

(R) -

vrai max Dau (x),

* € В Л ( д г 0 )

й а =

<°а

= Ш . . а

~

ш 1 . в •

« = © ( / ? ) =

SUp ю .

\а\=т

Исключая тривиальный случай, считаем, что со=^=0. Без ограни­

чения общности можем предполагать также, что

inf

со,

(К) >

1 -fco(d).

(1.110)

|а|—m

Этого всегда можем добиться, переходя

от и (х) к новой

функции

v (х) по формуле

ca xa

ц(*) =

о ( х ) +

£

I a

|=m

при надлежащем выборе

постоянных

са.

Непрерывность функций Dau

(х) в

точке

х0

будет

следовать

из неравенства

вида

со (# (1 -

0)) < тсо (R) + т) (R),

(1.111)

справедливого

при всех

достаточно

малых

R с единой постоян­

ной т < 1, Э — то же, что и в § 4,

ц (R) — некоторая стремящая­

ся к нулю при R-+-0 функция,

T l ( i ? ) <

1.

Для доказательства (1.111) сначала получим оценку для

функций

V v

( * )

=

a £ v

- Q ? ( * ) + T | ( * ) :

V V V

(1.112)

QAx)=FtDyu(x)),

где

если

mes Gj?v)

> — y 3

,

2co2

+

и +

f,

если

mes

'

<

тегральное тождество (1.32)

подставим ••

v = д> ( _

h) {[Vy (х, h)\r

Др (А) « Ф й (х)}

(1.113)

при

| Р | =

/п + / п , + 1, 1 у| = /я, 0 <

R

А < w + m ^ + 1

Здесь

Vy(x,h)

=

r|

— произвольная положительная

функция, не

превосходящая

единицы;

ф (х) — некоторая

функция

класса С~ (BR

(х0)),

для ко­

торой

Ю а ф | < ^ у а 1 ,

\а\<т,

0 < < р ( * ) < 1 ,

(1.114)

S

S | Д р ( Л ) { Л а ( х , . . . , О т « ( х ) ) - / а ( х ) } х

IP|=m+m,+l

| а | < т Я

|VI=m

X Da {[Vy (х, h)]r Д0 (ft) u-q>s{x)}dx = 0

(1.115)

Da

{[Vy (х, h)f

Дв

(А) и Ф 5 (х)} = [Уу (х, /г)Г D a A p

(A) u<ps (х) +

+

[Vy (x, h)}r+l

QY (x, A) DaAy

(A) uk* (ft) ыФ

5 (*) + Q p (1.116)

где для Q, имеет

место

оценка

IQ, | < С

[Fv (x, h)f+m ф 5 " т (*)

x

X S 2

„( 1 >

v

(£-1) v

i ^ ( V « i ( i ) "

| D a

Л и

i=0

a < ° ) + . . . + o ( 0 = a

(1.117)

a<°> а » - 1

) ^

(1.116) с последующей оценкой слагаемых, объединенных

в

Qt.

Все постоянные, которые будут встречаться

дальше в настоя­

щем параграфе

и зависящие только

от

m,n,p,pv

||/ || Р о , С 0 , С . ,

С2,М',

обозначаем буквой С без всяких

индексов.

(1-27),

Лемма 22.

Пусть

и (х) — обобщенное решение

уравнения

удовлетворяющее условиям (/.28) и (1.109), и пусть

выполнены

ус­

ловия

(1.29) — (1.31). Для произвольных г, s, удовлетворяющих

ус­

ловиям

г > 1,

4m <

s <; С0 г,

и

произвольной

функции

ср £

€ С™(б#(х0)),

удовлетворяющей

условию

(1.114),

при 0 < А <

S

£

J [V>> А))' (Де (Я) D a « ) V (Л ) dx <

1 Р | = т + т , + 1 lvl=|a|=m £2

|ji|=m+m,+l й

|a|«m,

|vl=m

(I.H8)

7 Л 5 ( « . Ф ) -

£ £

J [ ? V ( * .ft)]r+2ny-2mwx

1

£

J

£ Ср Аа6 (х +

theu + цА, . . . , (1 +

*Д£о) Dmu (х +

yft)) X

|R|=m+m,+l 0

| б | « т

X

dt$Dbu

\Vy

(х, h)]rDa{S?u(ps

(х) >

>С

£

\1Уу(х,

h))r £ ( A B D e « ) V W —

1 В | = т + т 1 + 1

| а | - т

-

C'[VY

(х, A)]r

£ (Др (A) DV<PS (*)).

(1.119)

2

J

£ CJUae (х +

*А*„ +

рА, . . . , (1 +

Dm u(x+ уА)) X

|B|=m+m,+l 0 | 8 | « т

X &Др £б ы

[Vv (х, h)]r+%

(х, A) DaAyuA&u<ps

(x)

I <

<

S

(eC [V% (x, A)]'

£

(ЛР (А) D

W

(x)

+

|PI=m+m,+l

|6|<m

С

/ r

\2 ~

r+2

2(m+m.+l)

J

\DaAyu\

+

m

-|o|=m

Д р и

2(m+m,+l) .

+

m,+l

(1.120)

Из

(1.117),

(1.30),

(1.31),

применяя

неравенство

Юнга, получаем

|

£

£

CJUae (* +

thett + |*А, . . .

, (1 + *Д,0) £>т« (* +

(iA)) X

IP|=m+m,+l

|a|=m

X Ap D6 uQ1 1 <

S

(e C [FY

(*.

Б (AP (") De «)V

(*)

+

I

|p|=m+m,+l \

|6Km

+ Т ( ^ Г ^ ( * . Л ) 1 г + *

, Ф " * , М X f 2 A m - | a |

2(m+m,+l)

la|

+

0<|a|<mL|y|=m

+

Da Ap u

+ ( т г )

•

< U 2 1 >

tfti— |a|

1

Обозначим

при г >

1, 4m < s < С0 г,

Я < т

+

t

/г,

j

•dA

Л , ( Я , ф ) =

lvl=m

й

+

J

J

f _ g _

Г{У;+ 2 '" (x + »А) +

П + 2

т (x, A)} X

|Y|=|0|==|fi|=m

i^ioji^mKlfflKm+m,-t- ,

gX h

Z

| ц | < т + т , + 1

IvKm+m,-)-!

2(m+m,+l)

X [| Лш Об « (X + vh) I

N

+

+

J

I A (feA) D6 u (x) |2<"'+'".+' ) Л ] Ф 5 - 2 т ( х ) dx.

(1.122)

Отметим,

что

из положительности

функции

г\

и

выполне­

ния

для

и(х)

условия

(1.28)

следует

ограниченность J\,S{H,

ф)

при

всех

значениях г, s. Сейчас получим

оценку для Jrs(H,

ф),

аналогичную

второму основному

неравенству.

Покажем,

как оценивать

отдельные

слагаемые,

входящие в

^ ( Л , tp). При преобразовании VY (х, А)

воспользуемся

интеграль­

ным неравенством

Иенсена [163]

J/(r)dM

^Ff(t)dt

mes G

mes G

(1.123)

справедливым

при произвольной

измеримой

функции

f, заданной

на

измеримом

множестве G cz R", и непрерывной выпуклой функ­

ции F. Применяя

(1.15)

и (1.123),

получим

Vy(x,

А) = •

О)

<4.У-

j

Fy{DVu(x

+ tyh))dt

2

+

v\{R)

<

f

-5

n 2 „ v M

;

dt =

f V v

(x + tyh) dt.

(1.124)

Предполагаем

существование

последовательности

фА (х),

k =

= 1, ... , 2m +

1, такой,

что yk(x)£C^

(BR(xQ)) и для

произволь­

ного y£R":\y\<

2k~lmkH:

Ф*_1 (*) Ф* (х + у) = %_i {х),

Ф0

(х) == ф (х),

(1.125)

0 < <pfc (*)< 1,

| D\(х)

I < (—^

при

I a I < m.

Здесь m = m + max<7,, qc — те же, что в (1.118).

Тогда для

Ji =

J

r+2m Dab6u

|a+6|—m Ф

^(xldx

lVy(x,h)]

hm-\a\

при

| a | < m ,

1 <

| a + б| — m<qt,

используя

(1.15),

(1.124),

(1.125) и заменяя в интеграле

по Q аргумент,

получим

Л < S

J

W J f + 2 m | A (W)

• А ('$',) Da+6'u

(х) | " Ж ф Г 2 m W dx.

где

б =

б' +

б". | б' | = т - | a |,

if е

# \

| #> | <

2mh. И, далее, по

неравенству

Гельдера

имеем

J , <

2

j J

I

A

. А ф

D°a+6 +6'u4>?

|б"|

|б"|

£

(x)\ T i n

dx,'^{jfxP,

I A ( /(/</>)i " ) . ... А ([|б»|) D 'uyT

(х)\ '

ie

(1.126)

~ , 0

>

r

~

6(r+2m)

8(s-s.)

y/(2> =

)|[l/ Y (x)]

2

A (/!").

.A(l\L\)Da+u'u^~^-(x)\WTdx,

s, =

2m (1 + max<7.).

Дальнейшие

оценки

J\2)

проводятся

с помощью

доказывае­

мых

аналогично (1.60),

(1.65)

неравенств

V

[ V v W r i A ^ . . Д ( 1 А ) Л ( х ) | <

|0|=|Y |=m

< С

£

{|Д(У . . . A(lh){[Vy(x)]rDfiu}\

+

lP|=|Y |=m

+

-i-1 А (У . . . А ( У {[VY

(*)]'+'DY u}

I +

Q2 },

(1.127)

где

<2a =

2

2

^

^

^

v

^

+ ^ r

^

l A

^ .

- .

A

^

D ^

^

+ ^ l f ,

V

[Vy(x)]r\A(l)D*u(x)\<

|P|=|v|=rn

< C

^

{|A(0([VY (x)rDp «(x))| +

- ^ | A ( 0 x

IP|=|Y |=m

k >

x ( [ V Y W ] r + ' o v « W ) | } .

Здесь в (1127)

1, /х , . . . , Zh — произвольные n-мерные

векто­

ры. В формуле для Q2 суммирование

по д., v, /

распространяется

к

£ е ^ , 6j

по всем

таким индексам, что д- = £ Е;//,

V =

принимают

/ = 1

i&j

значения 0 или

1 и // = (iv

...

— некоторая

подпоследова­

тельностьиз

1, . . . , k.

5—843

65

[Л (Z.)... A (lk) D'u (х) Ф|>,

(х)] *• dx}

Г*

X

-(H-2m)+7

9

2<N

*

х

j JI А ( / , ) . . . д (g

K V v W) 2 , "r ""'"r '

W)

~"(*)| *

dx}'°''

,

где

некоторые n-мерные векторы,

| / { | <(2т)| б "| /г, |В| =

\у\=т,

К

ft<

* ! <

|б*|, 0 < Г < |б"|2 .

Дальнейшие преобразования проводятся с помощью

леммы

14.

Получим

из

(1.126),

что

н

1+п dh

h

оценивается

суммой

членов вида

(

0

-

В ,

2(7

. (?9

Я

°dx

Г Hh

Г t

h \i

~

~

~;-<Н-2т)+г

ft

r ( s - 2 s , ) - v I

(1.129)

где0 |8|

=Q |v

I =

m,

t, +

/, =

kx >

£2 ;

<

i 2

+ j 2

= kv

Я,,, A,2 <

< 2m,

\ v

v ^ < m,

lt,

lt

— n-мерные векторы,

0 < r < ; | 6 " | 2 ,

|/,|,

]/,]<;

2

т п.

Дальше оцениваем второй множитель в (1.129) по неравенству

Гельдера,

если

0 <

j

2

< k2

и

оценке

(1.19)

при

' =

у .

Р = 2 .

В §4

проверено,

что в

этом случае выполнены все условия лем-

мы 3.

Получим

при Н < C0R

~

гЛ-{г+2т)+г

i . (s _ 2s,) - v,

{n-2q.)b-

№ .2g,

| *,

e

'о

я

i=l 6

я

I

(1.130)

Такая же оценка справедлива для Jw

при /2

= 0, что опять сле­

дует из леммы 3 только

без

применения

неравенства

Гельдера.

При j 2 =

k2

имеем

в

в

Щ

• / ( > < ^ r ) | V ' 2

W D 3 « ( x ) ? 2

5

(x)\k'dx

n

и применяем

к

правой

части

оценку

(1.18)

при а =

0, % = R2 .

Снова получим

для

оценку вида

(1.130).

в (1.129). Для него

Аналогично оценится

и первый множитель

получим

оценку

] 1 ^

] I (т)'' А ^- • • А (V <0'»<*'

w» | ^ d * <

о

я

< C { L 2 " 7 0 ( t f 0 ) } * . ,

(1.131)

и

2 ( т 4- л у "

•

Из (1.130)

и

(1.131)

получим

оценку

I ^

< С

^ Ь ^ Г

™

•

« Л 3 2 >

о

где q =

max q

t

1

2m

m

in*

(

|P|=lV|=m Я.=0 v=0

r=0

*

я

i=\ о

a

Аналогичная

(1.132)

получается

оценка и

для

остальных

слагае­

мых j',s(H,y),

и отсюда следует такая лемма.

Лемма 23.

Пусть

ср (х) — некоторая функция

класса Со°

(BR(X0))

и последовательность

yk(x)

такова,

что выполнены условия

(1.125).

Пусть

и (х) —

обобщенное

решение

уравнения

(1.27),

удовлетворяю­

щее условиям

(1.28) и

(1.109).

^,

Тогда для

произвольных

чисел

r,

s,

Н,

Н,

удовлетворяющих не­

равенствам

г > 1,

4m<

s <

С0г,

0 <

Н,

Я <

m +

* i

+ l

,

(1-133)

имеет

место

оценка

Xs

(Я, Ф)<

С

f

0 о Ш0)Г

{Л.,

•

(I-134)

Здесь числа

т, q, 0 такие же,

как

в

теореме

2.

Следующее утверждение доказывается аналогично лемме 17.

Лемма 24.

Пусть

и (х) —

обобщенное решение

уравнения

(1.27),

удовлетворяющее

условиям

(1.28)

и (I 109) и предположим,

что вы­

полнены условия

(1.29) —

(1.31).

Пусть функции

ф (х), щ(х)

такие

же, как в лемме 23 и числа

г,

s,

Я,

Я

удовлетворяют

неравенствам

(1.133).

Тогда

при

Р =

4- \Г + 2

т (!

-

0 ) -

ГJ>

а =

4" [s +

2 (0S l +

т х +

т)]

имеет

место

оценка

~

I

^ ( Я , Ф ) < c ( £ ) * N / 0

( W •Я*,8 (^Ф2 ^+ .)}9 .

а-1 3 5)

где

зависит

только

от т, п;

= 2(т

+ т1

+ т2 + 2).

Пусть

g{t)

— произвольная

функция

класса

С 0 0 ^ 1 ) ,

равная

единице при

О

1, нулю

при

0,

и

пусть

0

1.

Опре­

делим при

k =

1, 2 , . . . ,

i = 0, 1

2m +

1

последовательности

е

'

~1

_

2т +

'

,

2 (fls1 + я»!

f

m)

/ 1

, \

=

( *k.t-l*-*0l.

\

где

Xk.i

§у 0* - i / ? ( i _ e ) M 2 t i

/ '

(=0

* w

=

Я Jl

-

8 +

6*

+

У | [(2m)' +

К] (1 -

0 ) - ^ Й Г }

и пусть^(х) =

Xft.o (*) Отметим, что Х ^ + Д х К

ХЛ_,(л;), для

<

X*.t _iW

+У) =

Х*.,_, (*).

2* <с ( ^ Г { / о № ~

а. 136)

в ,„—*-н

я—*-Н *-ц

>

L f e < W

9

X

-

н

,„—ft+l ,

X { / „ ( # „ ) }

[Lj]