книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

Индукцией

по | а |

нетрудно

установить

формулу

для левой

части (1.42). Из нее, непосредственно применяя (1.35),

получаем

утверждение

леммы.

При доказательстве основной оценки будем

пользоваться не­

сколькими

элементарными неравенствами:

1) при произвольных вещественных

а,

Ь

1

j(l

+

|/a

+ ( l - W | ) P ~ 2

dt>C(\

+

\a\

+

\b\)"-2

(1.44)

о

с положительной

постоянной

С, зависящей

только

от р;

2) для любых

неотрицательных чисел

aa ,

любого

В,

| В | = / л ,

и г > О

la;=m

7"

^ |al=m

/

|a|=m

с положительной постоянной С, зависящей

только

от т,

п\

3) при произвольных положительных a,

b, е и р >

1 справед­

ливо неравенство

Юнга

eft < 1 (

в а ) " + | ( 1 ) Р ' ,

1 +

^

-

1 .

(1.46)

T

\la|=m

'

T

0

Г'(Ту)

1

х j т;

(l - т / - 1

j

2 p d 2 ' d T V =

(г + 1 ,

ло= l a

- у ,

Г

(т,) =

/тр : | й| = пг, В^= у, £

тр

= 1 - т,, тр > О};

равенство

во

второй строчке получено

заменой

т / = ( 1 —

\)г',

I x = ^

z&dz',B—,,бэта"-функция.

Г'(0)

решение-уравнения

(1.27),

Теорема 1. Пусть и(х)— обобщенное

удовлетворяющее условию (R), и пусть

выполнены

условия {1.29) —

(1.31),

fn

(x) £

(Rn)

при p 0 > у . Существует

последовательность

q(, i =

1

i

1

"

+

1, зависящая

только

от m, n,

такая,

1 , . . . ,

1, qt >

-g-

что для произвольных

чисел

d, г, s,

удовлетворяющих

неравенствам

О < d <

1, г > О, 2m < s < С 0 (г +

1). " произвольной функции

г|з €

€ С!° (й.), удовлетворяющей

условию

(1.35),

при О < h < ,

d

J o vuo</.

2 ( т Н - т ^ '

имеет

место

оценка

р - 2

S

£

S [ш

2

) V (я) dx

<

+ рЛ)]

2

[Уг (х,

ft)]'

• (Др

(ft)

D A

U

I31=m+m1

|v|=|a|=m Q

С (г + l ) 2 w + 2 m K 2 m { J r s ( f t , ^ +

£

J | A p ( f t ) / » | 2 X

| 3 | = т + /

\а\<€т.\у\=т

|a|<m.|vl

х

[Vy{x,h)Ylf{x)dx}t

Р - 4

+

цА)1 2 2

£

|Af f l D6 u (х)Г

X

| ц | « т + т

i=l

Q

|«|ш|<<7(-

IV|=m

|61=т

р - 2

2«;

Г>аЛшц |ш+а|—m

+

2

V - 1

V

X [ K Y (л,

ft)]r+[oy

( * + j i f t ) l

[УY

/j'n-lal

(х, ft)]'

1<|а+ш|—т<<7,-

+ [w(x+

[xft)]p

[V

(x,

ft)]r

1<|ш|«7£

Щ

|6Km

+ А2

V

0

а д в ц

|1<о+а|-т

n+l

/j™— Icci j

|al«m

К|а+ш|—"»<<7£

с постоянной

С, зависящей

только

от т, п, р, р,, С0 , С,, С2 . Здесь

р = (р, +

2) ( т +

т,) ,

а>(х) =

1 +

£

| £ » 6 " W | 2 -

| б | = т

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Неравенство

(1.47)

получим,

оце­

нивая левую часть формулы (1.36)

на основании лемм 8—10. По­

кажем, как оценивать члены, возникающие

при перемножении пра-

I

I

£

£

С1 А а б & + t Ч 0 + ИЛ

(1 + * Д, 0 )Я т " х

|0|=m+m

О |6|<m

-

1

l a l - m ^

X

(х +

f*A)) Л Ae D6 « h?Dau

i|3s

(ж) f тв . [ш»т

(х, A)]' dt

>

г

1

Р - 2

^

^

IV*

S

S

[а; (х +

цА)] 2

>

, (*. A ) ] ' (

A ^ u ) V

(х)

-

+

~t~

|PI=m+m

|V |=|a|=m

- C ( r

+

1)"

£

V

[ш(х + ^ Х ( х , / 1 ) ] г ( Д р О й

« ) У М (

1 . 4 8 )

IP^m+m, |vl=m

16|<m

ц « 3

следует

из (1.29), (1.30),

(1.44) — (1.46);

p3

= Pl—p-=l.

Аналогич­

но

при m, =

0:

£

j

j

£

£

. . . , ( i

+ г д j

£>"*«(*

|Vl=IPI=m

Г 0

|u|<m

| о | = т Ц < Р

+

цА)) *

т е

&PD6U

[шт (х, А)]' - 1

т 7 Д v D a u Av a Дрц\|>5

(х) dt

>

р—2

2

^ с ^ Х

j

Iй» W l "

W r _ , (

£

^ D ^ A ^ j

tfdx-

la|=m Г

\lp|=m

/

— Cr

V

[ № (x + цЛ)]р'[1/,(x, A)]r (Др (A) D 6 u ) V

(*)

-

lPi=IVI=m

H<P.|6|<m

— Crh2

£

[w(x + iLh)\pVfy(x,QY№*(h)tfu)3tf(x)

—

l7l=lPI=|6|=m

H«P

-

Cr

У

[ш (x + цА)Г [Vy

(x, A)]'(AW (A 4 (A ) D 6 ( 2 )

x

IVl=IPI=|6( 1 »l=m

|6(2)|<m.n<:P,ei-(-v<:P

X

и (x +

vA))2

г|/ -

Cr

£

[да (x +

nA)]"-4 [Vv (x, A)]r

x

|V ]= |3I=|A< I)|=[A(2>t=m

M.<P,ej+V<;P

x

i дР(А)

'>„ |2 1 д. {h)

D6l2)u

(x +

vA)|V

(*)•

(1 -49

Р - 2

2

|в|=|у1=т

0<lal<m

\$\=m+mv H<P

m+m

m+m,

о

i

2 1

loci

mj+lal

r— I

D°Ae u

£ > а Д в ц

J ftm—|a|

+ ,m—|a|

Следующая

оценка

Я , • К

(x, Л)ГДр

(h) Dau

I < eC

X

P - 2

X £

[ И * + ^ ) Г

^ ^ [ ^ ^ М Ч -

IVI=|ocl=m

H«P

m+m,

p—4

C ( r + 1)'

[и»(* +

цА)] 2 X

S

E

E

Й = Я + Я 1

I - [ i l + i

lYl=|6|=m

H«P

[ 2

J

' > M > 0

(1.51)

X

I А Т и (x + vA)|

[Vv (x, A ) l Y W

+

m+m,

+

С Ц ^

S

S

S |ш(х+ И Л)]°"х

| Р | = т + / п .

.

I л I

|6|<m

I K 0

[ T j + 1

1»|M|>0

IVl=m

to+v<p

X

\Vy (x, h)\r • {h« + I Л т (Л) D ° « (x + vh) \ m} i|>s (x)

ветствующем выборе е > 0 из (1.48) — (1.51) и

аналогичных

оценок для остальных членов. Этим заканчивается

доказательство

теоремы.

у;..

(Я, ip) = j

^L-

J,.s

(h, ф) dA +

У;

j [Vv

( * ) Г + 7 У ~ 2 т

(x) dx

+

О

\У\=т Q

|0|=|Y|=m 0 < | ш | < т + т , 0

Q

P—4

+

[Vv (*. А)Г~Ч +

а» 2

(* +

vJi) {[Vy(x)Y +

[Vy (x, h)]r) +

r+ -£- -2)

2 ( т + т . )

+ [Kv

+ |iA)l

2

/ [ | A e ( A ^ D p u ( * +

vA)l

N

+

+

J J A (/flA) Dp u (x) |2 ( m +»">d/l <$-гтxdx,

(1.54)

Vv (*) => 1 +

\Dyu(x)\a

при

определенном

выборе г, s, Я, г|з.

Значение Jr s

(Л, -ф) опреде­

лено

в (1-47).

Сейчас

будет предполагаться,

что

для некоторых

чисел

г,

S H

некоторых

функций

г)з(х), удовлетворяющих

условиям

теоремы

1,

и

0 <

Я

< - я - ^ — г — г - при

0 <

г <

г, 2 т

<; s < s

сходится

ин-

теграл

^ (т +

тх)

я

w

£=l

0

Q

|V|=la|=m

Из

условия

(i?)

следует

существование

интеграла

(1.55)

при

p-2

Dabau

***\r-ntf-*n(x)dx

=

j [w(x+

p A ) ] ~ [ y v ( x ,

h)]r

m—lal

при /• >

1, l < | a

+ a>|—m <

д., оценим

сначала

по неравенству

Юнга,

а

затем воспользуемся

соотношением

(1.15), представляя со

в виде

со' + ш", | со' | = т — | а |; получим

при

г +

— 2 > :.

X I A"DP+°'u (x + t.h) I i | / - 2 m ( * ) dxdz) dt.

(1.56)

,

если

ql—

не целое число,

е >

,

если

q. — целое число.

Неравенство

4

2«l

x d T d * < J (| I Ac o " (Da+a'u

(x +

1аЛ)) лр"' (x) |l < 0 "' dxd/|

X

|to"l

X

{

/ V

' \

(1.57)

где

т = т -4- max qt,

г, =

у

— 2,

s, =

2m (1 + max q^,

9(r+n)

,(2)

_

j"

^

(гт/

V 1

I »- AM

2

i A co"n a+u)'

'|(0'|

'm !

6(«-«.)

l i * .

+ /u.A)|il>" ~ i _ ' "(x)fll - ' l dcLtthdr,*

получается применением

неравенства

Гельдера.

В У( 2 ) в интеграле по

Q

сделаем

замену

х — у — xyh

и

пусть

существует функция

(х)

класса

C"(Qd )

такая, что

д л я | у | = т ,

*6Q, 0 < Я < Я ,

т £ / т

г); (х) -ф, (х +

=

Ф (*),

О <

(х) < 1,

(1.58)

|Daa|),(Jc)| <

К1,"1,

| а | < т .

Тогда

Г

Э(г+г.)

<

I

И

« ^

С*)1

2

I А Ш ^ а + Ш ' « (i/ +

^

-

6(s-s,)

| J ? L

2

В(г+г,)

-

\h)

J aj),

2

(у)} K

l

dydxd/ <

С £

J

J J{[Vv (y)]

2

X

/ = 1

/ т

П

6(s-s.)

2 < 7 '

x | A ( / S / , - A ) . . . A ( ^ l | A ) D a + f f l ' U ( ^ ) | ^ 1

1ш"

(1.59)

2

m^dydxdt,

где

=

flkl)

(t, x) £ /?" — непрерывные

вектор-функции

аргументов

/, т, |/ ( /'|

< 2 m .

Дальнейшая

оценка

основана

на

преобразовании

выражения

в фигурной скобке в (1.59).

Лемма

12.

Пусть

lk—n-мерные

векторы,

k >

1 и

>

ro > ~Y • Имеет

место

оценка

£

[ F v ( * ) П А ( / , ) . . . Д ( / f c ) D p w ( х ) I <

IP|=IVl=m

< С

J

| А ( / , ) . . . A ( / f c ) { [ K v W r D e « W } | + Cr/?3,

(1.60)

где

l3|=|V |=m

k

R3=C

£

r * - / +

1 £

[Kv (x + у.))Г

I A ( y . . .

(Д/,) D*u (x+v) I '

-i.

. . . »

/

K *

H.v,//

l3|=|Vl=m

с

постоянной

С,

зависящей

только от k, т,

п, г0 .

Здесь

сумми­

рование

по [i, v,

/,

распространяется

по

всем таким

индексам,

что [i =

k

к

г(11Г

принимают

значения

£ Б ^ ,

v =

£

е(

0

ш

1 и

I/ =

• • ч t/)

подпоследовательность

из 1 , . . . , А.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Индукцией

по А

легко

получить

фор­

мулу

для члена # 4

в

равенстве

д (*,)... д ( у {[Vу

(*)Г/Л}

=

ivv

(х)]г д (/,)... д ( у

D p

* +

я 4 +

+ 2г J [(1 +

(/,)) Vv(x

+

l 2

+ . . . +

lk)]r-'dt

ФЧ

(х) х

о

ХД (*,) ... Д (У Dv u-Dp u

(1.61)

и оценку

| # 4 l < i # 8 -

При этом

пользуемся

равенством

вида

(1.13)

и

представлением

1

А (/,) IV4 (х)Г=

j "

£

[{1 +

tA (/,)) Vy (x)\rdt

=

о