книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

в произвольной

области

Q, =

Q \

Q„ t >

tv

имеет

и

притом

единственное,

обобщенное

решение

при

произвольных

ga£

L 2 (Qt)

таких,

что

2

I I * . / 1 ~

< i .

Здесь Fa

те же,

что

и в

(11.22).

При

этом

справедлива

оценка

" °

(П.35)

с

постоянной

/С,,

зависящей

лишь

от

С,,

С2 ,

р,

| 1 ^ а |/йр„>

" o L . P -

задачи

(11.34)

при

I,

близком к единице (т. е.

Разрешимость

в

области

малой

меры),

следует

из

гл.

III.

Сейчас

докажем

оценку

(11.35) и

единственность

решения

задачи

при

/,

близком

к

единице. При

этом

понадобится

оценка

1

п—р

" " "

<-'се> <

C (

m

e S V1"™

Ц \\Dau\\Lpia),

q

<

-

^

,

(11.36)

|a|=m

0

справедливая

для

произвольной

постоянной

С, зави­

u£W™{G) с

сящей лишь от т, п, р. Оценка (11.36)

следует

из

неравенства

Гельдера

и теоремы

вложения.

Пусть

о — обобщенное

решение

задачи

(11.34).

Подставляя в

интегральное

тождество

$

2

{Aa(x,v

Dmv)-Fa(x)}D\(x)dx

=

j

2

gaD\dx

\a\<m

~

|a|<m

Ф(х) =

v — «„ и

оценивая

по

неравенству

-

х

£ Ла(хЛПа=

V

j£Aa(x,®dt

+

Aa(x,0)

\а\=т

\а\=т

LQ

J 2 | D V * < c f i + | K i £ . , +

2

Н Л Х , В )

+

~ |<х|=т

1

|a|<m

+ 2

J \Da(v-u0)

f dx12 +

2 J

I / Л Г dxl.

(11.37)

ut

)

Применяя теперь

к и~и0

неравенство (11.36), оценим пос­

ледний

интеграл правой части

(11.37)

Р

j

£

\Davjpdx<

С (mesQ^J £

J Dav fdx

+ C \\u0 JJ° .

в, N<«

2; | a l = m

Аналогично оценивается второй

член

в правой

части

(11.37), со­

держащий

v(x).

(11.35) при t,

Отсюда

и из (11.37)

следует

оценка

достаточно

близком к единице.

Покажем, что при t,

близких к единице, решение задачи (11.34)

Из интегральных тождеств для vt

и £>2 при Ф = flj — щ получим

~J* |a|«m£

И а

( х , . . . ,Dmvx) -AJx,...,

D\)]

D\v,

-

v2)dx =

0.

Представляем

(11.38)

Л а ( * , . . . , £ т У | ) - Л а ( * , . . . , D m « 2 ) =

1

= J

£ Aafi (x,...,

tD'\

+ (1 -

t) Dmv2)

dt £>s (г, -

cfe)

0

IPKm

и оцениваем в (11.38),

применяя

(II23)

и

неравенство

Юнга.

Имеем

J £ \D*(vx-v2)fdx<c\

[ 1 +

£

( I D ^ J +

ia »i

1 \

P—2

X

I D ^ I ) '

|a|<gm

~ I

|a|<m

X

£

\D\v^-v2)\2dx

<C{1

+ \\vXizt)

+\\^С^щ}Х

—

—

С, С — постоянные,

зависящие

лишь от С р С2 , р, \\и0

,

II ^ а |Ц,„. Из (11.39)

следует vy =

и2 ,

если

_2

С (mes Й,) р <

1.

Аналогично доказывается

следующая

лемма.

Лемма

6.

Существует

г2, t1 < t2

<

1,

такое,

что

для t >

задача

S

( - 1 ) ' а 1 Д а { Л а й ( * , . .

, Л ) Я < \ > } = £

(=-l)MDaha,

|al,IP|«m

|a|«m

имеет,

и

притом

единственное,

решение

v при

произвольной

функции w£Cm(Q.),

удовлетворяющей

условию

и произвольных

/ia £L2 (Q( ).

Здесь К, та же постоянная

что и в

(11.35).

В дальнейшем

через Q, обозначим

область

Q \ Q (

и

через

f

такую

функцию

класса

W^1

(£2*),

что

и0—f£W^

(й„.),

II

fWwpia j ^

I I u o L . p + *• ф У н к В Д ю

/

можно

выбрать

следую­

щим образом. Пусть

при некотором т > t2

ip (х) — функция

клас-

о

са C|T(Q). равная единице

в Qx. Функция

(1—^) u}£Wp

(Q^) и,

следовательно, существует функция

g£Co°(£J*)

такая, что

||(1 — ф ) и 0

— £ | | ^ (

В ( )

<

1.

Можем

взять

/ = t|>«0 + g;

включение

f£ W?^* (

)

следует из

теоремы 2

Лемма

7. Пусть

v(x) — обобщенное

решение

уравнения

£ (-\t№{Aa(x,...,Dmv)-Fa}=

£

( - l

)

| a

l

^

a ,

|a|<m

|ol=m—1

(11.40)

удовлетворяющее

условиям

v е cm (Q.) n

(Я), о -

/ eiC

ы пусть

ga gL2 (Q,). Существуют q, q>2,

и К2,

зависящие

толь­

ко от С,,С2 ,

р0 , р, т , Я ,

| | / 1 I < + W

U ^ J I B ? "

Т А / Ш Е -

4

/ 7 1

0 А Л Л

произвольных

ga, принадлежащих L q (Q.) и удовлетворяющих

условию

|a|=m—1

*

выполнена оценка

И Ь ^ (

а > < * г

(П.41)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Лемма по существу

доказана

И. Не­

часом

[109]. Оценку

(11.41)

доказываем

сначала

для

функций

фу, где "ф имеет достаточно

малый носитель,

а

затем

приме­

няем разбиение единицы. Покажем, как проводить

оценку в

окрестности граничных точек

Пусть Р0

— произвольная точ­

ка на границе Q и x v . . . , x n

— локальная

система

координат в

этой т' чке. Подставим в интегральное тождество

для v

£

J {Аа (х,...,

Dmv)

-

Fa)

D\dx=

£

j

ga

(x)D\dx

|a|<m

la|=m—1

жится в В, (PQ), i < п.

Интегрируя

по частям,

получим,

что

функция wt

= ^ - (фи)

ОХ.

удовлетворяет

уравнению

I

£

J Aafi(x,

..,Dmv)D&w.D\dx

=

\ £ faDa%dx,

(11.42)

lal.lBKm Q.

a,

|a|«m

где

|j|3|=m-l

iei<mi=l V I

1

'

(11.43)

шг можем рассматривать как решение

линейного уравнения и бу­

дем применять

к

нему лемму

4,

считая

2_

fe.-C,,

a(x)=!l+

\

£

\Dav(x)\2]

2]-.p-2

fe2=M2C2{l

+ || M l c W 'p-2

M—число

различных мультииндексов a,

для

которых

| a | <

т.

Выполнение последнего

условия

в

(11.26) при

^=~2

следует

из (11.33)

(заметим, что

c r Q \ £ 2 ) .

Для

функций

/ а

при

произвольном q < 2р0 из (11.35)

получим

оценку

|al«m

4

*

'

с постоянной С, зависящей лишь от

Cv

С2,

\\Fa

|(вРо,

\\uQ

||

,

р, С0 , т ,

р0 .

1 ^ ^ 1 < ш . ) < с 1 1 ' ( 1 + | [ М И я / р - 3

<п -4 4 >

при

а <

2pQ,

q =

2 +

qx

(1 +

||

f

llc^n,))2

Постоянные С ( 1 ) ,

<7,

зависят

лишь

от

р0 ,

т ,

р,

С,,

С2 ,

* Q „

| | / | | ^ m + i ( 0

,.

I

| F A

I I B P . -

При

оценке

нормы

2р0

*

2

ау

=

а'СЧ»)

———•

п

q <

воспользуемся

замечанием:

при 2 <

2р„

имеет место

нера­

венство

Т ^ 1 | Ц ( П ) <

S U P

НфН*т«.)-

£

\

№ч*х\<Щ

||L ( 0 .,(П.45)

с

а' —

и

постоянной

k,

зависящей

лишь

от

р0 ,

т. Я*.

Второе

неравенство

в (11.45)

следует

из

неравенства

Гельдера.

При

доказательстве

первого

неравенства

воспользуемся

априор­

ными оценками

в L p

решений

линейных

уравнений.

Из

работы

[1]

следует,

что

для

оператора

L 0 =

( — l ) m

£

D2a

выполнены

оценки

для

|a|=m

Ф£ССГ ( Я # )

" * l l ^ e . , < * ( , , H ^ I I W

11'Р|1^0 .) <*, 1 > 1|(^о +

')ф11М«>.).

где /— единичный оператор и

при „ 2^_.

<

q'

<

2

постоянная

зависит

только

от т,

_

р 0

"о

. Тогда

sup

£

{

fDa<pdx

Цф||у«(о.) >

If/VH

(11.46)

IJ Д Ь 0 + / ) Ф Л |

>fc( 2 )

sup

л

[-fe(2)

sup

r , ° ;

, ,, m M

,

^ 1 1 ^ ф

11w

, € C ~ , Q > ) 11 (

L » + / ) (

p ! l v<°.>

где

ft<2)

зависит

от

тех же

параметров,

что

и

k{l).

Первое неравенство в (11.45) получим

из

(11.46), замечая,

что

множество

функций

вида

^0Ф>

^-оФ + Ф

при

ф £ С " (Я,)

плотно

в

L q , (Я,).

F =

A^{x,. . .,Dmv)

Ошш„.

со—мультииндекс

(0

О, т).

Отметим

F = ]£-{Ajx,...,D'nv)V+Yi

J]

^

и». +

7-

(П-47)

где

1=1 |<x|<m

\В^\

=

\В^(х,...,

2 Г о ) | < С ( 1 4 -

£

1 ^ | Г 2

,

| / | < С ( 1 + £

| Dav(

Р - 1

I

1<х|«ш

При

| а | < т ,

а=/=со

представим

а =

ег +

а',

t <

я

и

по­

лучим

для ф ^ С о 9

^ )

из (11.47),

(11.44),

интегрируя по

частям:

| j

№

V * | <

С( 2 ) (1 + |1 о

) 3 р

- 5 Л Ф | | <

( f

l j

,

(11.48)

где постоянная

С ( 2 )

зависит

от

тех же

параметров,

что и С1 1 )

в

(11.44).

Аналогично

(11.42)

можно

получить

$ Д*. (х,. .. , Dm v) DawnDaq>dx

=

a.

(11.49)

п—1

=

£

£

J

{C%D^wt+Ja}D\dx,

где

i=\

|al.|Pl<m Й,

\C§\

=

\C§(x,...,Dmv)\<C\l+

£ | D a u | ) p - 2 ,

I

Ja|«m

J

и

для

/а (д;)

выполнена

оценка вида

(11.43). Из

(11.49)

и

(11.44)

получим, что оценка (11.48) справедлива

и при a

= со.

Из

(11.45) следует

И Л 1 , ( й . , < с ( 3 ) и + 1 |

vW^j Зр—5

ii*til 0 J <c (1

+ i i ° W / " B

'

(

I L 5 0 )

где

' (AT)

I У" 1 ,

(11.52)

g(*) = ( i +

£

\

IrrlrfTm

постоянная С зависит от тех же параметров,

что и С( 1 ) в (11.44).

По

неравенству

Гельдера для 0 < т < 1

II5 W Ц ^ о , , < С ( 1 + Ц о

т ^ + ( 1 - т ) ( З р - 5 )

Н ^ , )

где

-JJ-J —-^ -{

-— . Применяя к g(x)

лемму

5 гл. I и

под­

ставляя вместо

г(т)

его значение,

получим при

t < l

l - ~

xP-=?+(l-x){3p-5)

1—т (1 + 1 1 Ч и й

, , )

1 р

-

2 , Ж 1

"

т ) ( 4 р

-

7 )

( I L 5 3 )

г

с постоянной С, зависящей от тех же параметров,

что и С( 1 ) .

Выбирая

положительное т так, чтобы

( р - 2 ) т + ( 1 - т ) ( 4 р - 7 ) < р - 1 ,

получаем

оценку

для | | о | | С Ш ( й ) 1 а следовательно,

и

(11.41) из

(11.44), (11.50).

через q обозначено

В дальнейшем

число,

определяемое

лем­

мой 7. Пусть

X =

(QJ П < + '

(«,),

У = W;~l

(QJ.

(11.54)

Норму в Y можем

взять в виде || v ||у =

£

|| Dav\\L

(Q

Оп-

|a|=m—1

ределим

при 0 < t <

1

семейство

операторов

Л,: X-+Y,

ставя­

щих в соответствие

функции и£Х

такую

функцию h —

Atu£Y,

что

при ( p ^ C ^ Q j

выполняется равенство

a,

Aa(x,...,Dm(u

+ f))Day(x)

+

|a|<m

+

£ | D p ( «

+

f ) | 2 ]

£

Da(u

+

f)D\-

(11.55)

I0|=m

|а|=от

— £

Fa (jc)De (p}dx

=

J

£

DahDa<pdx.

|a|<m

Q, |a|=m—1

Здесь ,Fa, f те же функции, что и в

уравнении

(11.22) и лемме 7.

Легко проверить, что при фиксированных и, t.

и£Х, /£[0,1],

левая

часть (II 35) порождает

некоторый функционал, принадле-

о

жащий [W™

(Я*)]*

(здесь

и в

дальнейшем

для

произвольного

банахова

прсстранства

В

через

В*

обозначается

сопряженное к

нему пространство)

Существование и однозначная

определенность

о

о

h£Y

следует

из

того,

что

оператор

L Q :

(QJ->[W^T

(й*)]*,

действующий

по

правилу

<£0 (А),Ф)=

j"

£

DahD\dx,

9 e C ^ ( Q j ,

Q. |a|=m—1

есть

изоморфизм

H ^ - 1

( Q j

на

[И^Г1 (QJ]*

(см. [95]). Через

(/,и)

обозначаем везде

для

банахова

пространства

В действие

функ­

ционала

1£В*

на

элементе

и£В.

Отметим,

что

постоянные

С р

С2

в (11.23)

можно

считать

та­

кими,

чтобы неравенства

вида

(11.23) выполнялись

при 0 < t

1

и для функций

| tAa

(х, I)

при

| а | <

т,

4 ° (х, I)

=

- f - i

tAJx,l)

+

(l-t)[l+

£

|БВ |2 ]

£ а п р и | а |

=

т.

iPl=m

Э Т О

замечание

позволяет

применять

доказанные

выше

леммы

при t£[0, 1].

At

Легко

доказать,

что оператор

дифференцируем по

Фреше

w £ X,

которую обозначим через A't{w),

определяется для ф £ C^°(Q%),

и £ X

равенством

J £

Da{A't(w)u)Da<pdx=

£

{ ^ > ( х , . . . , Д т ( ш + / ) ) Д р и Д а ф ^ ,

Я, |а|=т—1

|а|.|В|<т Я»

где

(11.56)

7—843

97

Лемма 8. При произвольной

функции w£X, для которой

\\w + f \\vmiat)

< Kv

\\W+f

ILm+1,0, , < Я 2

p

q

(Л, то же, что и в (11.35)), область

значений

оператора

A\(w)

плотна

в Y.

Достаточно доказать существование для произвольной функ­

ции

/ i £ C " ( Q j функции

и£Х

такой, что

£

\А™(х

Dm (w + f)) D*uDa<pdx=

£

[ DahDa<pdx.

|a|,|0|<$m Q.

|a|=m—1 £3.

(11.57)

о

По лемме 6 существует функция

u£W™

удовлетворяющая

(11.57). Из априорных L p

- оценок

решений

линейных

эллипти-

о

ческих

уравнений [1] следует,

что эта функция

u£W^(Q*)

с лю­

бым г. Те же априорные

оценки

позволяют

доказать

ограничен-

ность с некоторым q > 2

£

^\\Al{h)Da{u(x)^(x)}\\Ll^),

|a|=m

где

либо г|) £ С " (QJ

и тогда i < п,

либо г|> £ С°° (Q*)

имеет

носи­

тель

в некоторой окрестности

граничной

точки

и тогда

х — ло­

кальные

координаты

и i < п. Выражение

±-\\Ajh)Da{u(x)y(x)}

| | Q ( Q < ) ,

если

\\>{х) имеет носитель в окрестности

граничной

точки, оце­

ниваем с помощью (11.45). Так получим u£WZ+x

(Q j и, следова-

_

я

тельно,

u£Cm(Qi>.). Повторное

применение этого же приема дает

u£W^+l

(QJ, что и доказывает лемму

8.

Введем множества

G = {и£Х: ||и + Л и +

1 ( П

*

, <

К2 + 1},

q

F> = {h£Y:\\h\\Y<

\).

у

h

=Аи.

u„fG.

K~*-h,

n

'

n

t n1

nv-