книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

и, следовательно, при всех

k

1

где v0 ,

(i0 — некоторые, зависящие

только

от т, п числа,

посто-

янная

С зависит

только

от

CQ,

С,, С2,

т,

п, р, р,,

| | / А ЦВ А>,

• п

ИифоНв™

1

Ф о ^ — произвольная

функция

класса Co(Q),

равная

единице в Qd.

т] (R) для

Покажем

теперь,

как

оценивать

L3 и как выбрать

того, чтобы

правая

часть

(1.137)

была

ограниченной:

|lVl=m

Вд(х0 )

+

!

• S

f T ^ r J H4

(*, A) + Vy~9

(x + vh)] X

|Vl=m

О

Й

|H.|<gm+m,+l

X

i=l

|<x|«m

I B I = m / m

1 < | о + в | - т < ? , -

2(ш+Ш|+1)

+

У

£

| Д т ( А ) О р и ( х + vA)|

N

%l(x)dx\.

(1.138)

l^loK/n+m,

|P|=m

|v|<m+m,-)Tl

-

'

леммы

4 относительно G :mesG > С'/?" с

некоторой

завися­

щей лишь от /г постоянной С.

Если G =

G^ \

то из

(1.112)

имеем

для .Jf^G/?':

Vv(x) =

' • т

ш 2 , у

4

и

из (1.110)

получим

vrai max V {х) <;

Ц — <

1,

так что выполнено в этом

случае и второе

условие

леммы с

С" = 1.

Если

G = BR(x0)

\

GR\ то для

x£G:

V

y

{ X )

=

<*1,у -

[2co2iY -

со -

D4

(х)]2

+

ri ( Л ) <

со

1

2

/

<°

\ 2

ffi2.v-

—

И

снова

из

(1.110)

получим vrai max V

(х) <

1. Все условия лем-

а

у

мы 4 для

первого

интеграла

в правой

части

(1.138)

выполнены

и,

применяя

лемму, имеем

г,

-^S

J

lVy(x)]l-B

dx^

- V + 2 m + n .

< c

\

f

l v O T « l " ^ + i ( .

I

— 5 - + 2 m + n

J

I

Из

(1.138)

получим

b x

< C

£

W)]

V l ~ e

'

j | V D v U | n d *

+

|a+6|—m

ftm—|a|

0

Вд(д:0) I

*=1

lal<&

K|o+il(-6f—m<?4

+

2

J

I

A (V*) ^

( * ) | 2 t m + m , + 1 ) d* +

2(m+m,-H)

+

\Aa(h)Deu(x+

vA)|

| B |

Id*

+

1 •

. l<|w|«m+m,

|g|—m

|v|«r7i-f-m,+I

Для Ьг

получим

оценку

1г<С

(1.139)

с

некоторой постоянной

С,

зависящей

лишь

от

т,

п,

d,

|1"ФоЧ

n>

— функция класса С~(й),

равная

единице

в

в,т+Т

Qd ,

если выбрать

r\(R)

= m i n j l ,

2

(

I

l v ^ v « l n ^

+

|Vl«=m \ B R ( x Q )

О/т.

+ ! ^

i

{i

s

Da&au

|а+в|—m

Kla+fi|—т<<7(

2 ( т + т , + 1)

+ 1 « | < о | « т + т ,

£

| A w ( A ) D p a ( * + v/i)|

+

|P|=i

|vl<m+mt +l

+

£

J I A (fpA) Dp « ( х ) | 2

( т + т ' + 1

)

dA dx - l ( i V 2 , n + n )

(I.HO)

Из свойства абсолютной

непрерывности

интеграла

следует,

что оп­

R, стремящемся

к нулю.

Отметим

еще, что т)

(R) монотонно воз­

растающая

функция.

Теперь

из (6.29)

и (6.32) имеем

(1.141:)

где С* зависит от тех же параметров,

что и С в

(1.137). Из

(1.141) и (1.122)

получим

при \

у\=т:

1

^[Vy(x)]^+2m%Jl'-2m(x)dxr^

<

- ^ .

п

I

Так как

при

всех

6 = 1 , 2 ,

. ,

%к(х)^=\

в

BRll_6)

х0), то из

последнего неравенства при k -*• о о

следует

vrai

max V

(х) <; ——

(1.142)

Отсюда получим при х£BR0_6)

(х^:

а) если

mes

>

R

2

'

» » > ? - ( D M * ) ) 4 т ) № <

( U 4 3 )

так

как ш2?

+ £>?ы (л:) <

2M*. T O

И З

(1.143)

получим

c*2.v (Я (1 -

8))< co2 7

(Д) -

M

' ^ }

+ TI (Я)

и отсюда

% (R vl -

9)) < со (fl) -

m

'

^

f

f

+ Л (/?);

(1.144)

б) если

mes GR ' < —^

• T

0

co|.v - ( - 2(o2 7

+ со + Dyu (x)f + IT (/?)

^

7Г i

откуда

следует

'

vrai

m i n В 7 ц ( х ) > со

— со +

— TJ( R).

И снова

получим аналогичное (1.144) неравенство

со? (R (1 -

6))<

со (^) -

"

'

^

^

+

п (Я).

(1.145)

Из

неравенств

(IJ44),

(1.145)

следует,

что

со0

=

0,

где со0 =

=

limco(tf).

В самом

деле, если

предположить,

что со„ >

0,

то

из (1.144),

(1.145) получим

со(Я(1

• - 8))<

то(R)

+

t\(R)

(1.146)

+ ... + т"-

1

,d_

-8)'

1

|<

тI1 (4(12

§ 1. Об обобщенных производных

[т+

1)-го порядка

Рассмотрим решение и (х)

уравнения

£ (- l)^D"Aa(x,

u,...,Dnu)=

£ ( -

\pDaga

(хП

(II. 1)

la|<m

laKm

предполагая, что ga£W\(Qi),

функции Аа

[х, I)

при x£QczRn,

£=

= {£а : |а| < т) £ RM

непрерывно

дифференцируемы по всем, аргу­

ментам и с некоторым р > 2 выполнены

неравенства

|a|=|W=m

S

И а Э ( ^ Ю 1 < с 2 ( | Г | ) ^ ( ю Г 2 .

I (П-2)

|a|.|B|«nt

л

I

И а ,(х , | ) | < с 2 (|Г1 ) [ У ( ^] p-i

• £

u(x)£W^(Q)

назовем

обобщенным

решен иtM уравнения

(11.1),

если для произвольной

v (х) £

(Q)

J

£

Ajx,

и,...,

Dmu) Davdx = J V

ga(x)Davdx.

(II. 3)

h

lal<m

Й

|a|«m

Существование

обобщенных

производных

(m + 1)-го порядка

такая

теорема.

Теорема

1. Пусть

u(x)£Wm

(Q) — обобщенное

, решение

урав­

нения

(II. I),

причем

функции

Аа удовлетворяют

условиям

(11.2).

Тогда

для

произвольной строго

внутренней

подобласти &

облас­

ти Й (

й ' с

й

е й )

и е W?+l

(Q') и

интеграл

J ( l + S

| D ^ | ) P ~ 2

2

| D p

U | 2 ^

a ' V

|al<m

/

|P|=ro+1

ограничен

постоянной,

зависящей

только

от т, п, р, С,, С2 ,

^ o l l i 2>

' M L р " расстояния

й '

д о

границы области

Q.

V

\Aa&(x,l)\<C2(\l\)[V(l)]p-2,

(II.2)*

lal=lPI=m

му

условиям из (11.2) и

условиям (II.2) . Однако

при

п. =

5 оно

i_

имеет обобщенное

решение и (х) =•• \х\

3 , принадлежащее

W\ (Q),

но

не принадлежащее tt^(£2).

Можно доказать,

что

утверждение

теоремы 1

и

аналогичные

известна непрерывность производных (т — 1)-го порядка

решения

и (х). Например, это будет выполняться при р

>

п.

При

изучении существования производных

(т +

1)-го

порядка

вблизи

границы будем предполагать, что решение

и

(х) удовлетво-

о

граница

области £2 — бесконечно дифференцируема,

хотя послед­

нее условие может быть ослабленным.

Пусть

Р0 — произвольная точка, принадлежащая

<3Q. Заменой

дилось в Р0

и множества

В{

(Pj (]Q,

Bx(Pj{\dQ,

описывались

соответственно

соотношениями

{хп>0,

|x| <

1},

{*п = 0, \х\ <

1},

где х = (х17

. . . , хп),

ВГ(Р0)

— шар с центром в Р0 радиуса г. Та­

кую координатную систему назовем локальной

в точке Р0.

\Dau(x)\<

М0 при

\а\<т--у

с некоторой,

зависящей от

||u[|m постоянной

MQ.

Введем обозначения

C^C^MJ,

С2=С2(М0),

5 + ( Р 0 ) = В г ( Р 0 ) П ^ -

о

Лемма 1. Пусть u(x)£W^(Q)—

обобщенное решение

уравнения

(II. 1), и предположим

выполненными

условия

(II.2). Пусть Р0 —

произвольная

точка

д£1 и

х — (xv

..., xn ) — локальная

система

D p

d x <

, + , D

, ^

|ol«m

/

i=l

1P|=

2

( l +

S

|Da «|)

+

£

£

Ox,

dx

(II.4)

1 *

o'

с постоянной

С,

зависящей

только

от

MQ,

Cv

С2,

т,

п, р.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предельным

переходом, используя

(II.2),

нетрудно

получить,

что

равенство

(II.3)

справедливо

для

произ-

о

вольной

функции v(x)£w^

(й). Подставим в (И.З)

v(х)

= Д£ ( -

Л) [Д. (А) и ( х ) Ф

2 т +

1 {х)]г

где

— 1,

0 <

А < - J p

ф (х)—некоторая функция

класса

С " ( 5 3

(Р0)),

равная

единице

в В ( (Р^Л{—определенный

в § 2 гл. I

Т

Т

разностный. оператор.

Используя-формулу

(1.12),

получим

Аналогично леммам

7,

10

гл. I

проверяется,

что

(II.5)

Д. (А) Аа

(х, u,...,D ти)

=

1

£

| Л а р ( х + Й е ,

(1 +

/Д.)£>т и)ЛД( Ор к+

IPKm О

1

+

A J Аа1

(х + Й е . , . . . . (1 +

tbt)

Dmu

(х)) dt,

(II.6)

о

Д. (Л) Dau

(х)Ф

R,

где

Da [A. (А) и (х) ф ^ 1

(x)J =

2 т +

1 (х) +

(II.7)

| Я | < С £ | Д , ( А ) ^ М | ф т + 1 ( х ) .

V<ct

Из

(II.5) — (II. 7)

и (II.2)

непосредственно

получим

S

j

[ 1 +

|Z)a« W| +

|Da « (x +

hejlf'2

(

^

) 2

ф^Н"' (x) dx <;

IP|=m

1

0

s

J {

+ 1 + \Dau

(x)\ + \Dau

(x + he.)\ +

|V |<m

1

J cp (x) dx

+

A.£>vu

и, далее,

p—2

ь

2

| |JL Л, (A) {[1 + \Dau

(x)\] 2

Ор «(х)фШ

•

|a|,|p|<:m

B+(P0)

|a|«m S+(P

)

(II- 8)

Р - 2

m

+ j

_

[1 + |Da w(x)|] 2 £ 0 « ( * ) ф

2

(х)

и

принадлежность этой производной

L 2 (Б]1" (Р0)).

Оценку для этой производной и

неравенство

(II.4)

получаем

из

(И. 8).

дт+1и

В оценке (П.4) отсутствует производная вида

•

— .

Оценку

дхп

для нее можно получить различными

способами.

Избираемый

дифференциальных

операторов.

п, так как

при i = п

При доказательстве леммы считали i <

подставляемая в интегральное тождество функция

v(x)

не

при­

надлежит

Wp(Q).

Для оценки члена с дхт+\

в

интегральное

тождество

подставим v (х) = Ап

(— А) их (х),

где

V l

(х) = Л+'0 (х) Л + {Дп (А) и (х) a|Tm + 1

(*)} г | / т ' 1 (х),

(II.9)

г/ — определенная

в

/?" функция,

равная «(х) в

Q

и

нулю

вне

£2, гр (д:) — функция

класса

Со°(^п ),

равная

единице

в

Bi(P0)

и

Т

нулю вне 5j_(P0 ),

0 < A < - j - ,

0(х)— функция,

равная 1

при

х„ > 0 и 0 при хп

<

О, Л+,

Л+1

— операторы, определяемые

ра­

венствами

A+/ = / ? - |

[ - i £ n

+

| £ ' | +