книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

Получаем

отсюда существование

последовательности пп, сходя­

щейся

к 0, и последовательности uv

£ G такой, что

\\hn-Al»n\\Y

= ^\\hn-A,v\\Y.

(11.58)

Из

(11.57') следует, что при

гс>п0с

достаточно большим

nQ

A{in£

£R

и,

следовательно, по лемме

7

I K

+

f\\v/m+HB)

<

К2,

Я

так что ип—внутренняя

точка

G. Из

(11.58) получаем,

что для

v£X,

iHl^m+i^.,

' П Р И

достаточно

малом

положительном &

ц

WK - А,ип\\у

< 11Ал ~

А

г К + « С

(П-59)

Зафиксируем

п и представим At (ип

+ sv) в

виде

At

(ип + sv) = А,ип

+ sA'r (un) v + о, (s),

(11.60)

где

4-lK(s>Hy

Опри s-^ 0.

По

лемме 5

IIй» + / L m i a . , ^

и тогда по лемме 8 для

любого s > 0

можем

выбрать

v

такое,

чтобы

A't{u^v

= ha-Atun^-^{s),

(11.61)

lK(s)|| y

<s .

Подставляя

(11.60), (11.61)

в (11.59),

имеем

ИЛИ

WK-А,

" X < \К - А , и Х (1 - + I K

+

HI.

л

п

^ HV'Hly .

\ K - A

A < — S

—

+s-

откуда следует

Atun = hn.

Отсюда в силу леммы 9 получили, что

0£Л,О

при t£[t0,t0

+ e].

Получаем противоречие

с выбором

tQ,

так

что

предположение

Из леммы

10, таким

образом, следует

существование элемента

и(1>, принадлежащего

G, такого, что

Л,«( 1 ) = Э.

(П.62)

о

Функция и(1> принадлежит

^ ( Q * ) Г) W^+ha.),

и по определению

оператора

Л, из (11.62)

U

Е

Aa(x,...,Dm

(и{[)

+ f)) D\dx

= S

в (х) D<° V *

ft.

Mo|<m

\a\<m fl.

ние уравнения (11.22), принадлежащее uQ+

W™^).

Из леммы 5 имеем,

что в

функции

u0nu(1)-\-f

совпадают.

Следовательно, и0

£ W™+1 (Q*)

и по теореме

вложения

с

некото­

рым I > 0 и0 £Ст*

(Q*).

Тем самым

доказана

такая

теорема.

Теорема 3.

Пусть ип(х) — обобщенное решение уравнения

(11.22),

принадлежащее

о

(Q).

Предположим, что с некоторым pQ >

1

Fa (х) 6 B§'(Q),

<&м/сцыы

^ а (*>£) np« x£QcR2,

1 = {la:\a\

<

£ RM

дважды непрерывно

дифференцируемы

по всем аргументам

и

удовлетворяют условиям

(11.23),

(11.24), д й б С * . Тогда

при некото­

ром

к > 0 и0 (х) £ Ст-К (П).

обобщенных решений линейных и квазилинейных

эллиптических

уравнений

высокого порядка. Примеры § 1 гл. I показывают, что

полученные

условия

неулучшаемы.

Рассмотрим общее

уравнение

2 m-го

порядка

дивергентной

ФОРМЫ...... •;, . . .

i)M DaAa (х,и

Dmu) = 0,

£

( _

(11-63)

предполагая, что функции Аа (х, I)

измеримы при x£Q \ = {£а :]а|<

< m}£RM

и с положительными постоянными С р С2

при

р > 1 вы­

полнены

неравенства

V

А^хЛП^С,

У \lf-C2

£

\l^-f(x),

(11.64)

la|=m

|a|=m

IP|<m

\Аа(х,Щ<С2

У

! l / a P

+ f a

W , |a|<m .

IPI«m

Здесь

ря ,

рцд — произвольные

числа,

удовлетворяющие

соотноше­

ниям

.

1 < Р р < „ _ ( т

% | ) р

при

| Р | < т ,

0

< А > < Я 0 ,

я " - ( т 1 Я ' ^ Г Р

П Р И

+ | Р ! <

( I L 6 5 )

pap =

Р — 1 при |<х| = |р| =

т,

f(x),

fa(x)

— такие

функции,

что

/ (х) £ L q (Q),

q >

1, / а

(х) £ L а

(Q),

(11.66)

.

пр

9 а >

п ( р - 1 ) + ( / п - | а | ) р •

Граница д Q области Q предполагается принадлежащей

классу Ст е ,

[

£ Аа(х,и,.

..,Dmu{x))Daydx

= 0.

(11.67)

Й |a|«m

Основной

результат

параграфа дает

такая теорема.

о

Теорема'

4.

Пусть

и (х) £ W^(^)—

обобщенное решение

урав­

нения

(П.63).

Предположим,

что п = тр, т > 2, Аа(х,

£)— изме­

римые

функции

и выполнены

условия (11.64) — (11.66). Тогда

и(х)£

где

mes Bp

(x0)

и (x), если

mes GR

>

^

(11.69)

Q

{х) =

mes

Bp (x0)

2 со, — со — и (x),

если

mes G„<

s

GR= |JC £ BR (*0 ):

и ( x ) < co2

— -yj

т)(#) — выбираемая

далее

функция, 0 <

r\(R) <

1.

Подставим

в уравнение

(11.67)

<p(x) = [V(x)]rtf(x),

(П. 70)

где г, s — произвольные числа,

удовлетворяющие

соотношениям

г > 1 ,

т<8*^С^,С0

— абсолютная константа,

ф(лг) — произволь­

ная функция, принадлежащая C^(BR(x0)),

равная

единице в BR(x0)

и

такая,

что

Г

\DaM

при |a|<m,

(11.71)

0<ip(jc)

< 1.

Простые

вычисления

дают

D\

(*) =

в

[V{x))r+lDau(х)У

(х) + Qa,

(11.72)

где

I Qa I <

С

("ff J"

IV (x)Y+mtf-m

(x)\

1 | D p « r

+ ( I ) "

IPI>0

и

E

равно +

1 или — 1 в зависимости от того, определяется Q верх­

ней или нижней строчкой в формуле (11.69).

Покажем,- как оценивать члены, возникающие при подстановке

Ф из выражения

(11.70) в уравнение (11.67). Используя

первое не­

равенство

из (11.64) и неравенство

Гельдера, имеем

J

£

Aa(x,u,...,Dmu),[V(x)]r+lDau{x)tf{x)dx>

Q |al=m

C j J

£

\Dau\PlV(x)]r+\ps(x)dx-

a

|a|=m

(11.73)

-

/ Г

I/ (x)\"dx\4

I j

I f [Vr+X

(x) a|>s (x)) 4~xdx\

"

j j I/ ( * ) № } 4

[F

{*) i|> (x)]

_n_

PplPI

n

" - IP

IPKm

Q

С

J

IBI<-m

Q

Из второго

неравенства в (11.64) и неравенства

Гельдера следует

IJ

Е

\ (х, и, ... Dmu)

{ V (x)Y+]Daii (*)4>ч (X) dx\ <

С |al<m

Л_

п

Ja]_

IP|

|a|<m П

101 « m

n—|a|—IPlPojj

x[l{vr+i(x)^(x)}n-^-^dx]

+

(11.74)

"In

nqa—\a\qa—n

a

a

Аналогично

получим

2

\lQaAa(x,u,...,Dmu)dx\<

|a|<m Й

„ 'VI

x

|a|,W|«m П

IP lf»|<m П

n—|a|— p n v |yl

+

|a|n

"-Paylvl

ПК

\ п~"а-у№ С

j+

\

+ [ ( T )

j(V*~

|al

|a|<m Q

e

|B|«ro

Q

, ,

X

+c(i)"s{li

//^r {s[jp «FH"

nQa

nqa—n—\a\qa

nqa—n—\a\qa

-,

"?a

dxj

(11.75)

[a\qa

+

(ffa-lj(v^(x)^(x)ya-1dx]4a}

Из (11.73) — (11.75) следует такая

лемма.

Лемма 11. Пусть и (х) £

(Q) — обобщенное решение

уравнения

(11.63) и пусть выполнены предположения теоремы 4. Тогда

для произ­

вольных чисел г, s, удовлетворяющих

неравенства

г > 1, т < s< С0г,

и

произвольной

функции

(х),

принадлежащей

СТ (BR (xQ)) и

удовлетворяющей

условиям

(11.71),

имеет

место

оценка

£

J раи\р

[V ( х ) ] г + У (х) dx <

|al=m Я

<

С [ i f 1

[т)П\\Vr+m

(х)

(х)] dx\Х ,

(11.76)

я"

где % — зависящее лишь

от п, т, ра, р<ф, а , qa

положительное число

и функция V (х) определяется формулой

(II.68).

Неравенство (11.76) аналогично первому основному

неравенству

главы I . Оно будет играть важную роль при получении рекуррентно­

го

соотношения

для выражения

о

п

+ Б

$ У (х) V (x)\Dnu\Ial

dx.

flI77

0<|a|<m Я

)

Будет также

применяться

неравенство

^tW - o ) ) <C*||g|| v ,,„ ( B R U o ) ) ,

•

(11.78)

о

(BR (xQ)) при k < m, n = mp и следующее

справедливое

для g £ Wp

из

теоремы

вложения

С. Л. Соболева.

Постоянная

С* зависит

только от т, п.

Из

неравенства

(11.78) и леммы

6 гл.1 следует

о

существование

постоянной С

такой, что для g£ W™(BR (хп)) при

Р > 1

l l * H v w <

c ' / ? ' l | * i l < ( w -

( П - 7 9 )

Первое

слагаемое в (11.77) оцениваем по (П.79), при р = 2Кр:

{^Г f

[Vr (х) ф4 (x)fdx] X <С

£ { j |Z)a [ l / ^ ( x ) V ^ ) ] | p £ t e j ' .

(И.80)

Я

|a|<m Я

Далее продолжим по (11.72)

Г

s

\\Da[V2p

(x)^lp~(x)]\pdx<

a

|a|<m

Q

0<|p|«la|

(11.81)

I

l\Da[V2p(x)^2p

(x)f

d* <

|а|<м Q

< С I

{i-)n\VJ+n(x)^~n(x).\Dau\^'dx

+

0<|a|<m

fi

+ C ( i r )

U ^ J ^

(П.82)

[vr{x)T\>s(x)\Dau\|a|

dx

Q

< C j | D n { l / "

(x)i|>

" (x)}\wdx

+

О

+ c(if"~U

0<lP|<|a|£

Й

^m-^(x)tf-™(x)\\D*u\^+-Jr}dx

Повторное

применение

этого неравенства дает

jV

(x)^s(x)\Dau\Wdx<,

а

i r rt(m— l)(lu|—IPI) »

<С

£

(-5")

)\I?{V'^{x)tfM)(x)}\®

dx +

0<|P|«|a|

П

где

r (a, p) = M [r +

(|a| - IPI) (m - 1) n] -

1,

s

( a - P) =

-7J- [s — (|o| — |p|) (m — 1) л].

'№ {Vriafi)

(x)^afi)(x)}\Wdx<

т

< С Е { J \Dy lVrlaS)

(х) у«а*> (x)]\pdx) IPI <

IPI

< —

г + ( т — 1 ) 2 л ,

и

применяя неравенство

Гельдера,

из нера­

венств

(11.80), (11.82)—(11.84) получаем следующее

утверждение.

Лемма 12. Пусть

и (х) £ W™(Я) — обобщенное решение

уравнения

(11.63) и пусть выполнены предположения

теоремы 4. Существуют

положительные постоянные тх , т2 ,

зависящие лишь от т, п, такие,

что

для

произвольных

чисел

г, s,

удовлетворяющих

неравенствам

г >

1, ттг < s < С0г

и для

произвольной

функции

г|э (х),

принад­

лежащей C^(BR(xJ))

и удовлетворяющей условиям

(11.71),

выполнено

неравенство

at—1

(11.85)

Из неравенства (11.85) аналогично § 6 гл. I получим непрерыв­

ность и (х) в точке

х0.

0, 1, 2, . . .

Определим при k =

^ = (^гг)" +

^ 1 .

(В—

постоянная,

зависящая

лишь

от т, п),

откуда

. L h <

(Co)-Tl) e ~ ' 5 ( e - "

Ll

и, следовательно,

при всех k

{Lh)rk^-\{L0

+ \\

Ш.87)

где т0 зависит только от /я, п. Сейчас покажем,

как выбрать ц (/?),

для

того чтобы значение L 0

было

ограниченным

(не зависящей от

R постоянной)

i_

1

ВЯ<*0)

+

£

j

V m x ' ( x ) | D a « | | a l

dx<

0<|a|<m B ^ U 0 )

I

B«(*o>

I

+

£

J

VnXi(x)\Dau\w

dx<

0<|a|<m

В д ( х 0 )

1

\Dauf]dx

R<*0>

)

0<|a|<m Вд'(*(

BR\x0)

)

0<|a|<m Вд(х0 >

r\(R)

= minjl,|7 j

\yu\ndx\K

+

+

£

j \DaupdxjmXl^

I .

0<|a|<m BR{x0)

J

I

Заметим, что т| (R) стремится к нулю при R,

стремящемся к нулю.

Из неравенства

(11.87) получим

wQ

*евл и„)

vraiТmax V (х)