книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

симость этих понятий от выбора карты.

Теорема

2. Пусть функционал

J : М -> R1

удовлетворяет

усло­

виям С), М) и обладает лишь невырожденными

критическими

точ­

ками. Тогда при произвольных а,

Ь, — о о < а < й < + о о множе­

ство Ма,ь

содержит лишь

конечное число критических точек J.

Если предположить существование бесконечного числа крити­

ческих точек в некотором

Ма,ь,

то из условия

С) непосредственно

творяющего условиям

1) — 3). Пусть

F(«„)

= 0,

и п ^ и 0 .

Из

(F'(un)-F-

(uQ),

ип-и0)

=

1

=

j

(taa

+

(1 -

0 и0) (ип-и0),

ип

-

uQ)

dt

о

и условия

2)

следует,

что

слабый предел

vQ

последовательности

отличен от

нуля.

Переходя

на

основании

условия

3) к

пределу

в равенстве

\(F"{tun

+

(\~t)u0)vn,h)dt

=

0,

о

справедливом

при

произвольном

h£H,

получаем

^"("о) и о =

°.

т. е. и0 — вырожденная критическая точка.

Теорема

3. Пусть

функционал

J удовлетворяет условиям тео­

ремы 2. Если

множество

Ма,ь

не

содержит

критических

точек,

то Ма—деформационный

ретракт

Мь.

отображений

Определим однопараметрическое семейство

rt:Mb-+Mb,

0 < / < 1 :

г

(/?) =

!

р'

е

с л и р

е м

° '

'

\op(tq(p)),

если

р£МяЛ,

жества У - 1 (a),

J~l ф) не содержат

критических точек

J

и pv ...

...,

pk — критические

точки

J в

Ма

ь.

Тогда

Мь

имеет

гомото­

пический

тип

Ма

с

приклеенными

клетками

где \

— индекс

точки

р1.

е

, . ..,

е

,

Докажем теорему только при k

=

1, так как общий случай мо­

жет быть рассмотрен аналогично. Обозначим /

(pj) =

с.

В силу

теоремы 3 достаточно доказать теорему для а =

с — е,

& — доста­

точно малое положительное

число.

Сначала докажем ряд вспомогательных утверждений для функ­

ционала F на гильбертовом пространстве Я,

удовлетворяющего

условиям

1) — 3).

Пусть

0—критическая точка

F,

F (0) — с.

Обозначим

через Нх

замыкание линейной оболочки

всех

решений

уравнения

F" (0) h = \Lh

при

р. <

0.

Из

условия

1)

следует

для

h£Hl

II h | | < с

|| h ||,

а)

(F" (и) h, h) > k||

h||г

для u£U,

h£Я2;

б)

I ( F" (и) /г,, h2)

I <

со (и) || hx || || h21| для

и £ U, /г, £ Я,, \ £ Я2 ;

в)

(F"(u)h,

h) < —

fe||rt||2 для u£U,

h£Hv

1

Докажем, например, первое утверждение леммы. Проверим

сначала, что

с некоторой

положительной постоянной /г,:

(F"{Q)h,h)>ki\\h\\\

h£H2.

( V . l l )

Предположим

противное:

пусть

а =

in!

( Г ( 0 ) А , А > < 0

цлц=1. лея,

и

выберем

последовательность 1гп так, чтобы

(F"(0)hn,hn)^a,

|JAJ| =

1, А „ е Я а .

Можем

считать

последовательность

1гп слабо сходящейся к

Л0

Ф 0.

Переходя

к пределу

в

неравенстве

(F

(0) (А„ -

А0), Ап —А0 ) >

С, || Ая -

А0 1|2

-

С2 1| А„ -

А0||*

и

используя условие

3),

получим

< Т " ( 0 ) А 0 , А 0 ) < а .

Это

возможно

только

при || Л„ || = 1 и

<F'(0)A0 ,A0 > =

a.

Отсюда

и из

неравенства

(F" (0) (А0

+

fA), А0

+ *А> >

a || А0

+

*А ||а ,

справедливого

для всех

А £ # 2 ,

t£Rl,

получаем

(F''(0)ho,h)

= a(h0,h)

(V.12)

для

А £ # 2 .

Равенство

(V.12)

выполнено

и для

А £ # , —

это сле­

дует

из

определения

подпространств

Hv

Н0.

Получаем оконча­

тельно

Г ( 0 ) А 0 = аА0 .

Отсюда

следует,

что а < 0

и Л 0 £ # Г

Кроме

того,

А 0 £ Я 2 и

поф0.

Получаем

противоречие

и тем самым

(V. 11) доказано.

Докажем теперь утверждение а) от противного. Предположим

существование последовательностей ип,

1гп

таких, что

< ^ ( " я ) Л п , А п > - ^ р < 0 ,

«„->0,

||АП || =

1, А „ £ Я 2 .

Пусть Ап слабо сходится к

А0. Из 1) получаем 1г0ф0.

Переходя

к

пределу

в

неравенстве

(р" К)

(К -

V . К -

К)

>

с, II К -

А0 |Г -

с 2 1 | л я -

А0 iif,

получим

( Г ( 0 ) А о , А 0 } < 0 ,

Я)! >

=

{А 6 Я ,

: || А | | < г},

В™

=

{А € Я 2 : || А || < s},

tf =

B<"

Х Я < 2 ) .

Лемма

3.

Существуют

положительные

числа

г, s, е, v

такие,

что:

{F

(и), P2u)>v

для

u£R,

|| Р2и

а)

||

=

s;

б)

(F'

(и), Рхи)

<

— v

для u£R,

F(u)

= c — е;

в)

F(и)

< с— е для

u£R,

|| Рхи

|| =

г.

Считаем

г, s

настолько

малыми,

чтобы

RdJ.

Используя

лемму

2,

получим с

некоторыми положительными A,,

k2:

(F'

(и), Р2и)

>

kx

|| Р2и

||2 - £ 2 с о 2

(и) || Рр

||2,

(F

(и), /

»

<

-

|| Рхи

||2

+

А2со2 (и) || Р2и ||2,

А, || Рр

||2

-

ft21|

Рхи ||2

< / = • ( « ) -

с < k21|

/

> ||2

-

А, || P,u

||2.

Отсюда непосредственно следует утверждение леммы 3.

Отметим,

в

частности,

что

из

u£R,

F (и)

< с — в

следует

||Я]И||

> б,

где

б — некоторое

положительное число.

Закончим

теперь

доказательство

теоремы

3. Пусть

фР |

—

ука­

занная в условии М)

карта, соответствующая точке рх. Можем счи­

тать,

что

9P l (pi) = 0

и

применяем

леммы

2,

3 для

функционала

F

=

J

^ .

Покажем,

что

МС _Е

[} ф - 1

(R) -

деформационный

ретракт

Мь.

( 1 )

,

р,

если р£МспЕ

U ф - '(Я),

Г< Ф

~ [%

(tgt (р)),

если р 6 Мь \

{Ме_я

и Ф-1 (R)},

где

<7, (р) = inf {* гФ р 0 )

€ М с _ е

U ф~1 ( / ? ) } ;

Клетку е71' определим в виде

в*' =

ф - 1 (5X l ),

где

S»" = {h £ Я, : / р р 1

(А) >

с -

Б}.

Теперь

проверим,

что

Мс_е

[j

eXl

- деформационный

ретракт

Ме_е

U ф~1 (R).

Проведем

две

деформации. Сначала

для

0 < / < 1 :

р,

если || Р , Ф Р ] (р) || >

у

,

ФРТ1 [фр , (Р) -

'Ф (/>) р

2 ф Р 1

И

-

е с л

и

I I Л Ф Р

,

v>) II <

т •

где

Y — достаточно

малое

положительное

число.

Вторая

деформация

при

0 <; t <

о2

(р):

К

'

1Фр, (Р) +

^ . Ф Р , Ш

при

||

(р) || >

у,

г,<3)

ФрТ1

[фр,(Р) +

^ Ф Р 1 ( Р )

+

(Р)

+

'

I 1 ~

i i f t f l w i i )

Р г Ф " >

Н

п р и

° < 11 Р

^ Р , <Р) II <

V.

где

р

при

р£Мс_е

U

е \

9 2 ( р ) =

inf { / : r j 3 )

(p)£Mc _t . U^*>.

Из

утверждения

б)

леммы

3

получаем

непрерывность

q2(p)

ства

Морса.

Теорема 5. Пусть

функционал J: М-*-R1

и

числа a,b

удов-

летворяют условиям теоремы 4. Обозначим через

С\ь

число

кри­

тических точек J

в

МаЬ,

имеющих

индекс

Морса

X,

и

через

— Х-е число Бетти пары (Mb, MJ

с коэффициентами

в неко­

тором поле. Тогда

при

произвольном

т == 0,

1,2,...

выполняют­

ся

неравенства

суммирование справа

ведется

по

индексам

у,

\у\=т,

вида

(О, . . . , 0 , т ,

0

0);

г) F (и)

+

оо при || и \\тл

_оо, где || • \ ]

т 2

— норма

в

W™ (Q).

Теорема

7.

При

выполнении

условий

а) — г)

функционал

о

Т7 : Wm (Q)->~ R ,

определяемый

2.

формулой

(IV.9),

удовлетворяет

всем предположениям

теоремы

Теорема фактически была установлена в гл. I I I (см. лемму 16).

Условие С) следует из г) и того,

что

градиент

F'

функционала F

удовлетворяет условию а) главы I I I (см. следствие к лемме 2 гл. I I I ) .

Если обозначить через К% число критических точек функцио­

нала F индекса

X, то из теоремы 6 получаем

Ки>

1,

кх — К0

>

— 1,

К* — Кх

+ К0 > 1.

Отсюда, в частности, вытекают следствия.

Следствие

1.

При

выполнении

условий а) •— г)

функционал F

имеет, по крайней мере, одну критическую точку.

3) предыдущего

параграфа,

и

пусть

F ( л . ) +

оо

при

+ оо.

(V.14)

Пусть

vt,

i

=

1, 2, . . . — произвольная

полная система

простран­

ства Н

и

L

n

—

натянутое

на

vx,

. . . ,

vn подпространство Н. Рас­

смотрим

на L n

функционал

Fn (u) = F (и)

для

u £ L„.

Я ° = {u£H:F(u)<a},

Han

=

H°[\Ln,

НаЛ

={u£H:a<F(u)<

b},

На*

= НаЛ

Г|

L n .

Число а назовем критическим значением функционала F, если мно­

жество F~1

[а) содержит критические точки F.

Теорема

8. Пусть

а —

некритическое

значение

функционала F

и все критические

точки F в Н" невырождены. Тогда,

начиная с доста­

точно

большого

номера

N,

число

критических

точек

функционала

Fn

в

Нап совпадает

с

числом

критических

точек

функционала

F в

Н".

Непосредственно

проверяется, что

в

наших

предположениях

и0 — некоторая критическая

точка F в На

и выберем р так,

чтобы

в

шаре

В =

{и£Н:

\\и— и„|| <

р}

не

было отличных

от

и0

кри­

тических точек F. Вначале докажем лемму.

Лемма 4.

Начиная

с достаточно

большого п Fn

имеет

в

Вп=

=

Bf]Ln

единственную

критическую

точку.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

un£Ln

— сильно

сходящаяся

к

и0 последовательность.

Рассмотрим систему

(относительно

ci> • • • > спУ-

(1 -

t) (F'

+

2

щ

+ t(F'

\ип

+ J

Civ)j

, v.)

=

0, .

0 <

1,

/ =

1, . . .

,п,

(V.15)

Q „ = c =

(Cl,...,cn)£Rn:

Из предложения 2) следует, что

при

больших

п вращение

векторного поля А\п) (с) не зависит

от t.

При достаточно

боль­

ших п вращение поля Аоп) (с) отлично

от

нуля, что

следует ич

предложения 1) и отличия от нуля

якобиана отображения

Л^"'(с)

критической точки и0. Таким образом,

получаем отличие

от

ну­

ля

вращения поля

А\п)

(с).

Значит,

существует точка

с

==

=

(с[°\ . . . , сп°>)

такая, что

+ £ cwViyVj)

= o, / = 1 , . . . , « .

Искомая стационарная

точка

Fn в Вп

имеет вид

п

если ||u „ — и 0 1 | <

-Н-.

Доказательство единственности производится подобно доказа­

тельству предложения

1).

Теперь докажем теорему 8.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

8. В силу леммы 4

доста­

добно

лемме

4 устанавливаем сильную сходимость Wnk

к

W.

Отсюда

следует, что

W £ Я"

и

является

критической

точкой

F.

Получаем противоречие со сделанным предположением.

Замечание.

Построенная в лемме 4 последовательность и*"'

критических

точек

функционала

Fn

сильно

сходится к и0.

Лег­

ко видеть, что

при

больших

п критические

точки

ы^0'

невырож­

дены,

и0

i

•

F

Обозначим индекс

критической

точки

функционала

че­

рез Х(и0) и

индекс

критической

точки ы(п0)

функционала Fn

че-

рез Хп («<")).

Пусть и0 — невырожденная

критическая

точка

Теорема

9.

функционала

F,

и£°>— сходящаяся

к и0 последовательность точек

Fn.