книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

доказательство

вспомогательных

лемм.

Пусть

%0 >

0 и уравнение

\F"

(0) — XQG"(0)]

и = 0 имеет

нену-

о

левое решение. Представим Wlm

(Q) в виде прямой суммы Ех

+ Ег,

где

Ех — замыкание линейной

оболочки всех

решений

уравнения

[ F"

(0) — XG" (0)] и — 0

о

(IV.43)

при

0 < X <

Х„. Ег — подпространство элементов u^W^

(Q) таких,

что

<

F" (0) и, v > = 0

для

всех

v£Ev

Лемма

5.

Существует

va >

0 т кое, что для

и£Е2

где ь\ (и)

0

при и ->- 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим

противное:

суще­

ствует последовательность ип

такая, что ип

£ Ег, ип -»- О

*n

= 1q^){G(un)-±F(un)}-+a>0.

(IV.44)

Обозначим

inf

F (v) = 8„,

<Жп

= {v £ £ 2 : G (v) =

С («„)}

" |3(4

П ) - »„)

m

А->со .1

ах

ах

Отметим,

что при достаточно больших

п

< G'wn,

юп>фО.

Это

следует

из (IV.44) и условия 2). Проверим, что при этом лля

всех

h £ £2:

< F'wn - XnG'wn,

А> =

О,

(IV.45)

где

<CF'w

,

w„>

дг (в, К)

= 0.

де

18=0

Тогда из соотношения

F(wn) < F {wn + eh -f raj,

< F ' w n , w n >

F t a n )

< G ' w n , w n >

G{wn)

рого— из (IV.44), третьего—

из 2). Можем

считать, что Хп схо­

дится

к

X". Пусть

щ, i = 1, . . . , k — базис

Ег такой, что

< F" (0)

щ, и}>

= 8и.

Тогда

из (IV.45)

следует

F'wn

-

XnG'wn

-

£ < F'wn -

XnG'wn,

щ > F" (0) и, = 0.

(IV.46)

Рассмотрим теперь последовательность

Ее можем считать слабо сходящейся в W2l

(Q) к

wr

Действуя

функционалом, стоящим в левой части (IV.46), на шл

и

проводя

элементарные оценки,

получим

\\wn\\2U2<C^wldx,

Q

откуда следует w0=£Q.

Разделив (IV.46)

на

| | И У П | | 1

1 2

И

устремляя

п к оо , получим

F" (0) ш0 - VGT (0) w0

= 0.

< Р ш

,w

>

,

F(w

)

—

F(u )

*0

< G 4 -

»» >

G (wn)

0(«J

-

1 + oX. •

Это заканчивает доказательство леммы 5.

Аналогично доказывается такая

лемма.

Лемма

6. Пусть

Е0

— пространство решений

уравнения (IV.43)

при X = Я0. Для и £ £0

+ Ег

имеет

место

оценка

G ( a ) < ( - 3

J - - | - © i ( « ) / f (и),

где со2 (и)

0 при и -> 0.

Теперь подобно § 3 можно закончить доказательство теоремы 5.

Сформулируем

еще аналогично

доказываемый

результат

для

уравнений

высшего порядка.

Пусть

функционалы Fv

Gx

определяются равенствами

?г (и) = \ f (х, и,

.,Dmu)dx,

0,(и)=

$ g {х, и,.

.,

Dm-Xu)dx,

Q

а

о

где Q — плоская область к л а с с а С т м , а>0,ы £ W™ (Q), р > 2.

Пред­

полагаем, что

1)

функции

/=(*,£),

g(x,l')

при x£Q,

£ =

{ | a : | a |

^m}£RM,

I ' =

{ E a

: I a I <

m — 1} трижды

непрерывно ' дифференцируемы по

всем

аргументам и выполнены

неравенства

с положительными

cv

a ,

S

• ^ L n . ^ > c 1 d + 1 6 1 ^ 1 4 1 '

|a|=|p|=m

при

I a I, I В |, I v I < m,

1 <

i, j

<

n

&f

(*• I) I<

П /1

, I t

I

I d*f (x, I)

I

r

- , . p _ l

3) (F\u,u)>Cx

(II и ||*l 2

+

||u ||£p ), где G , ' ,

—

соответствен­

но градиенты функционалов

Gv

Fv \\ | | — н о р м а

в

(Q).

Fx (u)-\Gx

(и).

о .

хотя

болева. Для простоты ограничимся функционалами в Wz{Q),

подобные условия

можно получить

и

для определенных классов

о

при т > 1.

функционалов в

tt^fi)

В

случае функционалов

в L a

соответствующее условие получил М. М. Вайнберг [28].

Рассматривается функционал

F (и) =

j / (х, и, ж )

dx,

и £ Щ (О)

(V. 1)

а

f(x,и,р)

(х, и,р)£Q X Rx

X R"

непрерывна по х

и дважды

непрерывно дифференцируема по и,р;

2) существует

постоянная С > О такая,

что

п

п

f(x.0,p)=

J

atl

(х) pipj

+ £

b( (x)P t + с (x).

(V.2)

i,l=i

(=i

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Легко

проверить, что F принадлежит

классу С1 и градиент

F'

определяется

равенством

< ^ . » > - Л 2 / 1 ( ' . « . - £ ) ^ + ^ ( * . « § ) «

dx,

где

п{х,и,Р)

= Щ

^

,

fo(x>u,p)^m*£PL

Можно проверить также, что существует в каждой

точке и произ­

водная по Гато оператора F', которую

обозначим

через Fu. В ча­

стности,

I

n

п

= ! S / t f ( * . o , o , ) ^ . | . + S / e ( * . o , 0 ) ( « ^ +

Q

i,l=l

i

i

i«=l

\

J

1

F'(u)~F'(0)~F^U)\\-,0,

||«1| = И .

" 11

w 2l«)

п

со (и)

! _ f

S

~~

II и II» J

М

13*

195

- Е м * .

°.°)

ди

ди

дх.

дх

ди

дх:

2 Е

/ 1 0

(х, О, 0 ) « | ^ — / 0 0 U, О, 0) и* dx.

(V.4)

- 2 / t / ( x , 0 , 0 ) §

ди

dx.

/=1

/

дх,

Покажем, что для справедливости (V.3) необходимо, чтобы

Ф (х, р) = £ /. (х, 0, р) -

/ ( (х, 0, 0) -

J f,. (х, 0, 0) /> .j s 0.

(V.5)

ности,

можем считать,

что при

некоторых е >

0, x0£Q:

Ф(х, рй) > А >

0 при

\x — xQ\<

е,

(V.6)

где р0

— (1,0,. . ., 0). Последнего всегда можно

добиться

умноже­

нием / н а

— 1 и линейной заменой аргументов.

Сейчас

построим вспомогательную

функцию g(x), с

помощью

которой ниже будет

указана

такая

последовательность

ит, что

" m - * 0 П Р И m->oo.

(V.7)

Через ор(/) обозначим функцию класса С™ на оси/?1 , для ко­

торой

Ф(0< 1,

0 <

. 1 п р и / < 1

10 при

/ > 2

и пусть ip„ (0 = Ф

+ ]71гг)

Определим функцию gi'.Rl->-R,

равной /

при

— 1 <

t < 1,

1

при t >

1 и — 1 при

t <

—

1.

При некотором N, значение которого будет

указано

ниже,

определим

(0 =

(О 4V (О

и

пусть

ё2

g М

=

§2

Флг» (I *' I2)

V

( K

Г).

где для х

= (xv

. . . , хп)

через

л:' обозначено

х'

= (*2> ..

., хп).

Последовательность

ит(х)

определим

при достаточно

больших

т

равенством

"<«(*)

=-^S((x—x0)m).

Отметим

свойства

ит(х).

Пусть F'm— носитель функции ит и

F"m — множество точек,

на

котором

ujx)

=

xv

Существует постоянная

С,

такая,

что

выполнены

неравенства

ди

дх.

(V.8)

mes F

<

С — ,

mes F

> T

-

При достаточно большом m Z7^

содержится

в шаре

радиуса е

с

центром

в xQ.

Из

(V.8) следует

ди

(V.9)

с некоторой постоянной С2 .

cOj (ыт )

Используя

(V.8). (V.9),

оценим

Ци т ||,

3

F'

т

ную

трактовку.

Пусть Я — сепарабельное гильбертово пространство, D — огра­

ниченная

область в Я

и

F : D -> R1 — функционал

класса

С1 .

Предположим:

градиент F'

функционала F

1) в каждой точке u £ D

имеет про­

изводную Гато, которую обозначим через

F"(u);

2) существуют положительные постоянные Cv

С2

такие,

что

для

« G D ,

/ i t Я :

(F

(и) h, К) > С, || h | f — C2\\h||*

||F" (и)

\\<C2,

где

( , ) , ||

• || — скалярное

произведение и

норма

в

Я, || • | | i —

некоторая компактная по сравнению с || • || норма;

3) для

произвольной

последовательности

ип из

сильной

схо­

димости ип

к и0 следует сильная сходимость

F(ua)h-*F(ujh,

un,u0£D,h£H.

F(u) = ^f(x,u,...

,Dmu)dx,

uZWTiQ),

(F"(u0)h,h)<0.

Условие 2) обеспечивает конечность индекса каждой критичес­

кой точки.

Пусть

теперь М — полное

риманово многообразие

без

края

класса С2 ,

моделью которого является

пространство Н

и J : М-*-

R1—функционал

класса

С1.

Через

J'(p)

обозначим

градиент

J

в точке

р.

Критическими

точками /

называем те точки р € М,

в

которых

Г

(р) =

0. Предполагается,

что

/

удовлетворяет

сле­

дующему условию, введенному в работах [152,

117].

М,

С) Пусть

5 — произвольное

подмножество

многообразия

на

котором функционал J ограничен. Тогда,

если

inf

|| У

(р) || =

0,

pes

ционала

J.

Пусть (a, b)£Rx—некоторый

интервал

и ар:

(а,

Ь) -> М

—

максимальная траектория поля — J',

проходящая

через точку

р,

т. е.

определенное

на

максимальном

интервале

решение задачи

<*; =

— ' ' ( ° p W ) .

ар (0)

=

р.

(V.10)

Лемма 1. Пусть ар

: {а,Ь)-*-М

— максимальная

траектория

поля

— J'.

Тогда либо

lim J (а

(0) =

— оо,

м

р

либо

Ь =

+

оо и

при

t-*--\-co

а р

(0

стремится

к

некоторой

критической

точке

функционала

J.

Доказательство леммы дается в работах [117, 125].

Пусть

Ma = {p£M:J(p)

< а } ,

Mab

= {p£M:a<J(p)

< Ь } .

Пусть в дальнейшем будет выполняться

условие

М) для произвольной точки р£М

существует карта cpp:D(cpp)->-

-*-7?(срр),

р £ D (cpp) cz М,

R(q>p)ciH

такая,

что

функционал

удовлетворяет условиям

1) — 3).