книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

Тогда существует

такое

п0,

что при л >

п0

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

t,Utlo)

— базис

подпрост­

ранства H1czH,

на

котором

(F" (и0)1,Ъ)

<0

при l£Hv

1Ф0.

И пусть QV£Ln

сильно

сходятся

к

tL

при п->-оо.

Лег­

ко

проверить,

что

подпространство

H\n) cz Н,

натянутое

на

(i — 1,. . . Д

(«„)),

имеет

при

больших

п

размерность

Я(ы0) и для

£=^=0

</?"(«№)£,

? ) < 0 .

Отсюда следует

Ьв (Ц <,°>)>МИо).

%п (и^)

Покажем, что неравенство

>

Я,(и0)

невозможно

при

следовательность v]k£L t

такая, что

( ^ " K ° ) ) r i f t , T ] f t ) < 0 ,

л ^ о о ,

(^"(ипЪ%ЛТк))

= 0, * =

1

(V.18)

Пусть

Tife слабо сходится

к т]*. Из (V.18)

и условия 2)

следует,

что я*

0. Покажем, что

невозможен

ни

один из трех

случаев

а)

(F"(u0)i)*,n*)>0;

б)

</•>,,) ту*, г г * ) = 0 ;

в)

(/ ? '(a o )t 1 *,Ti*><0 .

Если бы выполнялось неравенство а), то

НпГ(F" (ы<°>) (т,, -

ту*), г,, -

г,* ) < 0

и из условия 2)

следовала бы

сильная

сходимость

\

к т)*.

В этом случае а) противоречит (V.18).

Если бы выполнялось в), то

на

подпространстве

Н,

натяну­

том на элементы

. . . , CW u o ) .'r l*i

выполнялось бы

Покажем, наконец,

что невозможно б). Пусть

Я 2 =

{л|=Я:

( Г Ы / ! , ^ = 0,

i == 1

, . . . . Я («„)}•

Пространство Я

разлагается

в прямую

сумму

Проверим,

что

Я

=

Я х

+ Я 2 .

(F"(u0)h',v)

= 0

(V.19)

для v£H.

Равенство

(V.19)

для

ь£Нг

следует из (V.18). Для

доказательства

(V.19)

для v£H2

достаточно

заметить, что

(F"(и0) (Л* + to),

h' + tv)

> 0,

v £ Я 2 ,

веряется точно

так

же,

как

невозможность

случая

в).

Из

(V.19) следует

F" (и0) /Г =

0,

что

противоречит

невырож­

денности

критической

точки

и0.

Выясним

связь

между множествами На и Нп-

Теорема

10.

Предположим,

что Н°'ь

не содержит

критических

точек

функционала

F.

Тогда

при

достаточно

больших

п пара

(На,Нап)

является

деформационным

ретрактом

пары

(Нь,Ньп).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

через Пп

оператор

ортого­

нального

проектирования

Я

на

L n .

Применяя

теорему

8,

можно

построить

гладкое

отображение

а: Я -*- [0,1] с

R1,

равное нулю

в окрестности Нп'ь,

так,

чтобы

(F'

(и), Xu)>v,

X (и) = nnF'

(и) +

а (и) {F'

(и) -

ППР' (и)}

(V.20)

для и£Н"~Е'ь+е,

где

v,

е—некоторые

положительные

постоян­

ные. Обычным

способом

[117J

доказывается,

что решение

задачи

* P ( B , Q =

_ Х (

Ф ( М ) ) )

ф ( и > 0 ) = ы

существует

при

всех

£ > 0 .

Используя

(V.20),

легко проверить,

(На,

Нп)

можно

определить формулой

г

"

прииея1

|ср(и, tq(u))

при

и£На',

где

q(u)

определяется

равенством

F(<p(u,tq («))) = а.

Теорема

11.

Пусть

0 — невырожденная

критическая

точка

функционала

F

индекса

X, F (0) = с.

Предположим, что для

некп-

14*

211

торого

е0

> О

8| "С +Е °

ке содержит

отличных

от

0

критичес­

ких точек F. Тогда для

достаточно

малых

е >

О и

достаточно

больших

п пары

(Я'4 "8 , Я„ + 8 ),

(Н°~е

(JФ е \

НСгГ* (J ^")

гомотопичес-

ки эквивалентны

(здесь

6х

— клетка

размерности

X,

ср — отобра­

жение приклеивания

клетки).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

предыдущем

параграфе

было дока­

зано, что

можно

выбрать

r,

s,

е так,

чтобы

(F'

(и), Рги)

>

v

для

и £ Я, || Р2и

|| =

s,

<f"(a),

P i « > <

— v

для

u£R,F(u)

= с— е,

(V.21)

F (и) < с — е для И £ R,

|| / \ «

|| =

г,

где Plt

Рй

— операторы

проектирования

Я

на Я х , Я 2 ,

соответст­

вующие прямому разложению Я =

Нг

- f Я г ,

пространства Яг , Я 2

указаны

в теореме

9,

R^B^xB™,

= { A ^ i : [ | A | | < r } ,

М 2 ,

= { / 1 € Я 2 : | | / 1 | | < 5 } .

Не ограничивая общности, можем считать, что при доста­

точно больших п HxczLn.

Проверяется,

что

можно

определить

гладкое

отображение а

: Я-»-[0, 1],

равное

нулю в

окрестности

# Г ~ е ' с +

е \ Я так,

чтобы

для

X(и)

=

nnF'

(и) +

а(и)

{F' (и) - П п Г

(и)}

(X(и), Р 2 и ) >

| i при u £ R, || Р 2 и || =

s

с некоторым положительным р,.

Пусть а|э (ы, /) — решение

задачи

= -

X (гр (и, /)),

ф (и, 0) =

и.

Ретрагирующую деформацию пары (H°+t,

Я„ + е ) на пару (Нс~' [} R,

Hn~e \j [R Л.^л]). можно определить равенством

1.

А г м о н

С ,

Д у г л и с

А., Н и р е н б е р г

Л.

Оценки

решений эллип­

тических уравнений

вблизи

границы. ИЛ, М.,

1962.

2.

A l m g r e n

F .

I. — Ann.

of Math., 1968,

87 .

321.

3.

А л ь б e p С

И. —

УМН, 1970, 25: 4, 67.

4.

Б е р е з о в с к и й

А.

А.,

Д а р и й

Ю. И.

—

В кн.': Труды

семинара

по матем. физике, 4.

«Наукова думка», К-,

1970.

5.

B e r g e r

М.

S. —

Comm. Pure and Appl. Math.,

1967,

X X , 687.

6.

В e r g e r

M.

S. —

Bull. Amer. Math.

Soc,

1967,

73,

704.

7.

В e r g e г

M.

S. —

Trans. Amer. Math. Soc, 1965,

120,

145.

8.

В e г n s t e i n

S.

N. — Math.

Ann.,

1904,

59, 20.

9.

Б е с о в

О.

В.— В кн.: Труды МИ АН СССР. «Наука»,

М.,

1961,

60.

10-

Б е с о в

О.

В . — Д А Н

СССР,

1959,

126,

1163.

11.

Б е с о в

О.

В., И л ь и н

В.

П.,

К у д р я в ц е в

Л.

Д.,

Л и з о р-

к и н П.

И.,

Н и к о л ь с к и й

С. М. — В кн.: Труды симпозиума, посвя­

щенного 60-летию академика С. Л. Соболева. «Наука», М.,

1970.

12

Б о г о л ю б о в

Н.

Н.,

М и т р о п о л ь с к и й

Ю-

А.

Асимптотические

методы в теории

нелинейных колебаний. Физматгиз, М., 1958.

13.

Б о р и с о в и ч

Ю. Г. — ДАН

СССР,

1960,

132,

230.

14.

Б о р и с о в и ч

Ю.

Г., С а п р о н о в

Ю.

И. — ДАН СССР, 1971, 196, 12.

16.

Б о р и с о в и ч

Ю.

Г.,

С а п р о н о в

Ю. И. — ДАН СССР, 1968, 183,

18.

17.

В г о w d е г

F .

Е.

Problemes

поп—

lineaires,

Les

Presses

de

l'Universite

de Montreal,

1966.

18.

В г о w d e r

F .

E . — Bull. Amer. Math. Soc,

1965,

71,

176.

19.

B r o w d e r

F.

E . — Ann. of Math.,

1965,

82,

453.

20-

В г о w d e г

F .

E .

and

De

F i g u e i r e d o

D.

G.—Kongl. Nederl. Akad.

Wetesch.,

1966, 69,

412.

21.

B r o w d e r

F.

E . — Bull. Amer. Math. Soc,

1970,

76,

999.

22-

B r o w d e r

F .

E . —Bull. Amer. Math. Soc,

1968,

74,

651.

23-

B r o w d e r

F .

E . — Studia Math.,

1968,

31,

189.

24-

B r o w d e r

F .

E . ,

P e t r y s h y n

W.

V. — J .

Functional

Analysis,

1969,

3,

217.

25-

В г о w d e r

F .

E . — Actes,

Congres intern. Math.,

2.

1970.

-

26-

В а й н б e p г

M.

M.

Вариационные

методы

исследования

нелинейных

операторов.

Гостехиздат,

М.,

1956.

27.

В а й н б е р г

М.

М.,

К а ч у р о в с к и й

Р.

И. — ДАН

СССР,

1959,

129

1199.

28.

В а й н б е р г

М.

М. — УМН,

1952,

7,

55.

29.

В а й н б е р г

М.

М.,

Т р е н о г и й

В.

А. Теория

ветвления

решений

нелинейных

уравнений. «Наука> М.,

1969-

30.

В а й н б е р г

М.

М. — ДАН

СССР,

1971,

197,

754.

31.

В а й в и к к о

Г.

М.,

С а д о в с к и й

Б.

Н. — В

кн.: Проблемы матем.

анализа

сложных

систем,

2.

Воронеж,

1968.

32.

В и ш и к

М.

И. — В кн.: Труды Моск. матем. общества,

12.

1963.

33.

В и ш и к

М.

И. — ДАН СССР,

1961,

138,

518.

34.

В и ш и к

М.

И. — ДАН СССР,

1963,

151,

758.

35.

В и ш и к

М.

И. —

В кн.: Материалы к совместному

советско-американ­

скому симпозиуму

по

уравнениям

с

частными

производными.

Новоси­

бирск,

1963,

3.

36.

В и ш и к

М.

И.,

Э с к и н

Г.

И. —

УМН,

1965,

20,

89.

37.

В о л е в и ч

Л.

Р.,

П а н е я х

Б.

Н. —

УМН,

1965,

20,

3.

38.

В о р о в и ч

И.

И.,

Ю д о в и ч

В.

И. — ДАН

СССР,

1959,

124,

542.

39.

В о р о в и ч

И.

И. —

Изв. АН СССР, сер. матем., 1955,

19,

173.

40.

В о р о в и ч

И.

И. —

В кн.: Труды

4-го

Всесоюзного

матем.

съезда,

2.

1964.

41.

В о р о в и ч

И.

И. —

ДАН

СССР,

1958,

122,

37.

42.

Д а н и л ю к

1.

I. — ДАН УРСР, 1971,

I,

16.

43.

Д а н и л ю к

Г.

И.

— В

кн.:

Математическая

физика,

12.

«Наукова

думка»,

К.,

1972.

44.

Д а н ф о р д

Н.

и

Ш в а р ц

Д ж .

Линейные

операторы. ИЛ,

М.,

1У62.

45.

D i п с а

G. —

С.

R.

Acad. Sci., Paris, series A et

B, 1969,

269, 535.

46.

D i n с a

G. —

Studii

si

cere, mat.,

1970,

22,

701.

47.

Д у б и н с к и й

Ю.

А. —

УМН,

1968,

23,

43.

48.

Д у б и н с к и й

Ю.

А. — ДАН

СССР,

1964,

156,

1018.

49.

Д у б и н с к и й

Ю.

А. — Матем. сб.,

1965,

67,

609.

50.

Д у б и н с к и й

Ю.

А., П о х о ж а е в

С.

И. — Матем. сб.,

1967,

72,

226.

51.

Д у б и н с к и й

Ю.

А. — ДАН

СССР,

1967,

176,

506.

52.

Д у б и н с к и й

Ю.

А. — ДАН

СССР,

1967,

175,

1026.

53.

E d e l s t e i n

М. —

J . London Math. Soc,

1968,

43,

375.

54.

F r e h s e

J . —

Boll. Unione Mat.

Haliana,

1970,

3,

407.

55.

F r e h se

J . — Abh. math. Semin. Univ. Hamburg,

1971,

36,

140.

56.

D e

G i о г g i

E . — Memorie delle Ace Sci. Torino, SEr. 3,

1957,

3, 25.

57.

D e

G i o r g i

E . — Bolletino

della

Unione

Matematica Italiana,

ser.

IV,

1968,

1,

135.

58.

G i u s t i

E .

and

M i r a n d a

M. — Archive

Rat'l.

Mech. Anal.,

1968,

31,

173.

59.

G i u s t i

E . ,

M i r a n d a M. —

Bolletino

della

Unione Matematica

Ita­

liana, ser.

IV,

1968,

2,

219.

60.

З а б р е й к о

П.

П.,

К а ч у р о в с к и й

Р.

И.,

К р а с н о с е л ь ­

с к и й

М.

А. —

Функц. анал.,

1967,

1,

93.

61.

З а б р е й к о

П.

П.,

К р а с н о с е л ь с к и й

М.

А. — ДАН СССР,

1967,

176,

1233.

62.

З а б р е й к о

П.

П.,

К р а с н о с е л ь с к и й

М.

А. —

Функц. анал.,

1971,

5,

42.

63.

3 и г м у н д

А.

Тригонометрические

ряды. «Мир»,

М.,

1965.

64.

И л ь и н

В.

П.,

С о л о н н и к о в

В.

А. — В кн.: Труды МИ АН СССР.

«Наука»,

М.,

1962.

65.

И л ь и н

В.

П. — В кн.: Труды МИ АН СССР. «Наука», М.,

1962.

66.

И л л с

Д ж. — УМН,

1969,

24,

157.

67.

И л

л с

Д ж. — УМН,

1971,

26,

213.

68.

И л ь ю ш и н

А.

А.

Пластичность.

Гостехиздат, М.,

1948.

69.

К а ч у р о в с к и й

Р.

И. —

УМН,

1960,

15,

213.

70.

К а ч у р о в с к и й

Р.

И. — ДАН

СССР,

1971,

196,

761.

71.

К а ч у р о в с к и й

Р.

И. — ДАН

СССР,

1968,

183,

517.

72.

К а ч у р о в с к и й

Р.

И. — Сибир. матем. ж.,

1971,

12,

353.

73.

К а ч у р о в с к и й

Р.

И. —

УМН,

1968,

23,

121.

74.

К а ч а н о в

Л.

М.

Некоторые

вопросы теории

ползучести. Гостехиздат,

М.,

1949.

75.

К а ч а н о в

Л.

М.

Основы

теории

пластичности.

Физматгиз,

М.,

1969.

76.

К и р п о т и н а

Н.

В. — В

кн.: Труды

V

Всесоюзной

конференции

по

функц. анализу. Баку,

1961.

77.

К о н д р а ш о в

В.

И. — ДАН

СССР,

1953, 90,

129.

78.

К о ш е л е в

А.

И. — УМН,

1958,

13,

29.

79.

К о ш е л е в

А.

И. — ДАН

СССР,

1962,

142,

1007.

80.

К о ш е л е в

А.

И. — Сиб. матем. ж.,

1968,

9,

1173.

81.

К р а с н о с е л ь с к и й

М. А.

Топологические

методы в теории

нелиней­

ных интегральных

уравнений. Гостехиздат,

М.,

1956.

82.

К р а с н о с е л ь с к и й

М.

А.,

3 а б р е й к о

П.

П.,

П у с т ы л ь-

н и к

Е.

И.,

С о б о л е в с к и й

П. Е.

Интегральные

операторы в про­

странствах суммируемых функций. «Наука», М.,

1966.

83.

К р е й н

С.

Г.,

С е м е н о в

А.

С. — ДАН

СССР,

1966,

167,

1226.

84.

Л а ды ж е н с к а я

О. А.,

У р а л ь ц е в а

Н.

Н.

Линейные

и квази­

линейные уравнения эллиптического типа. «Наука», М.,

1964.

85.

Л а д ы ж е н с к а я

О.

А.,

С о л

о н

ни

к о в

В.

А.,

У р а л ь ц е -

в а

Н.

Н.

Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.

«Наука»,

М.,

1967.

86.

Л а д ы ж е н с к а я

О.

А.

Математические

вопросы

динамики вязкой

несжимаемой

жидкости. Физматгиз,

М.,

1961.

87.

Л а н г е н б а х

А. — ДАН

СССР,

1958,

121,

214.

88.

L a n g e n b a c h

А. — Math. Nachr.,

1967,

34,

1.

89.

L a n g e n b a c h

А. — Math. Nachr.,

1969,

42,

61.

90.

Л e н г

С.

Введение

в

теорию

дифференцируемых

многообразий. «Мир»,

М.,

1967.

91.

Л е р е

Ж- и

Ш а у д е р

Ю . — УМН,

1946,

1,

71.

92.

L e r a

у

J . ,

L i o n s

J .

L . — Bull. Soc. math. France,

1965,93,97.

93.

Л о п а т и н с ь к и й

Я-

Б. — ДАН

УРСР,

1968,

6,

515.

94.

Л ю с т е р н и к

Л. А. — В

кн.: Труды МИ АН СССР. «Наука», М., 1947.

95.

М а д ж е н е с

Э. — УМН,

1966,

21,

169.

96.

М а з ь я

В.

Г. —

ДАН СССР,

1960,

133,

527.

97.

М а з ь я

В.

Г. —

Функц. анал., 1968,

2,

53.

98.

М и л н о р

Д ж.

Теория

Морса. «Мир»,

М.,

1965.

99.

М i n t у

Q.

I. — Duke Math. Journ.,

1962,

29,

341.

100.

М i п t у

G.

I. — Proc. N. A. S. USA,

1963, 50,

1038.

105.

M о г г e у С. В. — Journ. of Math, and Mech., 1968,

17, 649.

106.

M o r r e y

С.

B. — Actes, Congres intern. Math.,

1970,

2.

107.

M o r s e

M.

The calculus of variations in the

large. New

York, 1934.

108.

M o s e r

J . — Comm. Pure and. Appl. Math.,

1960,

13,

457.

111.

N e c a s

I . —

Bull.

Amer. Marh. Soc,

1971,

77,

151.

112.

Н и к о л ь с к и й

С М .

Приближения функций многих

переменных и те­

оремы вложения. «Наука», М.,

1969.

113.

Н и р е н б е р г

Л. —

УМН,

1963,

18,

101

114.

О л е й н и к

О. А . —

В

кн.: Проблемы

Гильберта,

М.,

1969.

115.

О с к о л к о в

А.

П . — В

кн.: Труды МИ АН СССР. «Наука»,

1967.

116.

P a l a i s

R.,

S m a l e

S. —

Bull. Amer.

Math. Soc,

1964,

70,

165.

117.

P a l a i s

R. —

Topology, 1963, 2,

299.

118.

P e t r y s h y n

W.

V. — J . Math. Anal. Appl.,

1966,

15,

228.

119.

P e t r y s h y n

W.

V.—Journ. Math. Anal,

and

Appl.,

1966,

15, 228.

120.

P e t r y s h y n

W.

V. —

Bull. Amer. Math.

Soc,

1966,

72,

329.

121.

P e t г у s h у

n

W.

V. — Journ.

of

funct. Anal.,

1971,. 7,

165.

126.

П о с т н и к о в

М.

М.

Введение в

теорию

Морса. «Наука», М., 1971.

127.

П о х о ж а е в

С.

И. —

Функц. анал., 1969, 3, 80.

128.

П о х о ж а е в

С. И. —

Функц. анал., 1967,

1,

66.

129.

П о х о ж а е в

С.

И. —

Матем. сб.,

1969,

78,

236.

130.

П о х о ж а е в

С.

И. —

Матем. сб.,

1970,

82,

192.

131.

С а д о в с к и й

Б.

Н . — Функц. анал.,

1967,

1, 74.

132.

С и г а л о в А.

Г. — В

кн.: Проблемы Гильберта, М., 1969.

134. С к р ы п н и к

И.

В. — ДАН

СССР,

1972,

203,

1,

36.

135. С к р ы п н и к

И.

В. — В кн.: Математическая

физика,

11.

К-, «На-

укова думка»,

1972,

137.

136. С к р ы п н и к

И.

В. — В

кн.:

Математическая

физика,

П.

«Наукова

думка»,

1972, 146.

137. С к р и п н и к

I.

В. — ДАН

УРСР,

1973,

1,

43.

138. С к р и п н и к

I.

В . — Д А Н

УРСР,

1973,3,217.

139. С к р ы п н и к

И.

В. — УМЖ,

1972,

24,

69.

140. С к р и п н и к

I.

В. — ДАН

УРСР,

1970,

1,

32.

141. С к р и п н и к

I .

В. — ДАН

УРСР,

1972,6,

527.

142. С к р и п н и к

I.

В . —

ДАН УРСР,

1971,

11,

989.

143. С к р ы п н и к

И.

В. — В

кн.: Математическая

физика,

14.

«Наукова

думка»,

К.,

1973.

144. С к р и п н и к

I.

В. - • ДАН

УРСР,

1970,

11,

998.

145. С к р и п н и к

I.

В. — ДАН

УРСР,

1971,

2,

126.

146.

Cf K р ьг п н и к

И.

В. •-

В кн.:

Математическая

физика,

«Наукова

147.

думка».

К.,

1971.

С к р ы п н и к

И. В. — В

кн.: Математическая

физика,

10.

«Наукова

148.

думка»,

1971.

С к р ы п н и к

И.

В. — В

кн.:

Математическая

физика,

13.

«Наукова

думка»,

1973.

149. С к р и п н и к

I.

В. — ДАН

УРСР,

1972,

12,

1086.

150. С к р ы п н и к

И.

В. — ДАН

СССР,

1972,

202,

4,

769.

151.

С к р ы п н и к

И.

В. — В

кн.:

Математическая

физика,

7.

«Наукова

152.

думка»,

К.,

1970,

156.

S m а 1 е S. —

Ann.

of

Math., 1964,

80,

382.

153.

S m a l e

S. —

Amer.

J .

of Math.,

1965, 87,

861.

157.

университет,

1971.

U г а I t s е v а

N.

N. — Actes, Congres intern. Math.,

2. 1970.

158.

W i d m a n

K. — Manuscripta mathematica,

1971,

5,

299.

159.

W i d m a n

K- — Math. Z., 1971,

121,

81.

160.

Ф о x т

А.

С. — Уч. зап. Моск. обл. пед. инст.,

1969,

269,

241.

161.

Фрум-Кетков Р. Д. — Д А Н

СССР,

1970,

192,

1231.

162.

Фрум-Кетков

Р. Л. — ДАН

СССР,

1967,

175,

1229.

163.

Х а р д и

Г. Г.,

Л и т т л ь в у д Д . Е . ,

П о л н а

Г.

Неравенства.

164.

ИЛ, М.,

1948.

,

У

Х е р м а н д е р

Л. Оценки для

операторов,

инвариантных

относительно

сдвига. ИЛ,

М.,

1962.