Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

откуда		следует
		со,	!2• ) <	о (R) -	M '	+ ! l	(	^ + г] {R).		(11.88
	Из	последнего	неравенства		точно	так	же, как в § 6 гл. I при
доказательстве теоремы				4, выводим		Птш(Я) = 0, т . е . функция
и(х) непрерывна в точке х0.						R->0
и(х) непрерывна в точке х0.
	Таким образом, доказана непрерывность обобщенного решения в
Я.	Пусть теперь		Р0 — произвольная			точка,		принадлежащая (ЭЯ,
и	пусть (х1 ( . . . , хп) — локальная координатная система в									точке
Р0	(координаты Р0—нулевые).				Обозначим			при R <	1
	В$	= {х:\х\<	R, хп>0},		BR =	{х : \| х \| < R, хп			< 0}.

Тогда по определению локальной координатной системы

BR (0) П Я = В+.

Определим в ^ ( 0 ) функцию и(х) равенством

£ ( * ) = (

*п >

°'

I —

и (л-', — хп),

если

хп

0, х' =

(х,, . . . ,

хп_х).

(11.89)

что функция и(х)

Из включения u(x) £ W p (Я) следует,

принадле

жит W^(B1(0)).

Обозначим

/ч

(R) =

/ \

сох

шх

vrai min ц (х),

/ V

/ Ч

,ГЧ

Л .

/ Ч

со2 =

со2 (Я) =

vrai max и (х),

со (У?)

= со = со, (#) — сох (/?),

/ч

= \x£BR

(0)

: « ( х ) < « 2 - - | - [ ,

—

x-eBjO),

(11.90)

где

шс -

U (JC) +

л (/?)

mesBn(O)

если

Q(x)

н (х),

mes GR

/ч

mes fln (0)

если

2co2

— coj — и (x),

mes GR

/ч

ЛСЯ) — выбираемая далее

функция 0 <

t\(R) <

но

Пусть яр(*)—произвольная функция, принадлежащая Со°(£д (0)), равная единице в В R (0) и такая, что 0 < яр (х) < 1

У(х',хп)

Ц(х',-хп),

' <

т '

(11.91)

k < т.

В интегральное

тождество

(11.67) подставим ф(х):

Ф (х) =

{Уг

(х) -

(х,

хп)}

яр5

(х),

где

г, s

такие

же, как в (11.70). Имеем

Аа(х,и,

...,Dmu)Da{Vr(x)ys(x)}dx

—

Л!

— J Л а

(x, и,...,

D'"u) Da {Vr

(x, — xn) \|>s (x)} dx) =

(11.92)

и во втором

интеграле

сделаем

замену

Получим

при i =

1 , . . . . n— 1, xn

= — 4гп.

— J Л а (x, и,. . •, Dm «) Da {Vr

(x,

— xn ) ops (x)}

Л а ( у , . . . ,

D ; 2 (у)) D«{Vr

(у) яр5 (у)} dy,

(11.93)

где

\{y,£)

(— l ) a " +

1 Ла (г/', —yn,

l')

для

= { Б у : | ? | < / п }

Г =

{ ( — I ) v

" +

1 g v : [ v | < / n } .

Из

равенств

(11.92),

(11.93)

имеем

aa(x,u,...,Dmu)Da{Vr(x)ips(x)}dx

= 0,

(11.94)

где

|al«m Вд(0) •

,Л„(х,Ъ)

при

> 0 ,

a a (x,|)

!Л а (х,|)

при

х „ < 0 .

Функции

аа(х,

удовлетворяют

всем тем же

условиям,

что и

Ла (х, 5),

и тогда

дословным

повторением

доказательства

леммы

11 устанавливается

такая

лемма.

о _

решение

уравне

Лемма 13. Пусть и(х) £Wp (Q)— обобщенное

ния

(11.63) и пусть

выполнены

предположения

теоремы

Тогда

для

произвольных

чисел г, s, удовлетворяющих

неравенствам

r > 1,

т < s < С0г,

произвольной

функции

\|э (х),

принадлежащей

СсГ (BR (0)) и удовлетворяющей

условиям (11.91),

выполнено

неравен

ство

{

\Dau\"[V(x)\r+lqs(x)dx^

\а\=т

Вл (0)

С ( - ^ ) т - 1

([t> М Г + ' у - " '

<*))* d* fc ,

(11.95)

Bfl(0)

где

^- — такая же постоянная,

как

и в

(11.76),

и(х), V (х) опреде

лены соответственно формулами

(11.89),

(11.90).

Из неравенства

(11.95)

следует

непрерывность функции

и (х)

в точке 0 точно так же, как в

настоящем

параграфе из (11.76) сле

довала непрерывность и (х) в точке

х0.

Итак, доказана непрерывность и (х) в точке Р0 £ dQ и тем самым закончено доказательство теоремы 4.

§ 4. Замечания, возможные обобщения

Из полученных выше результатов следует при естественных пред положениях регулярность обобщенных решений уравнения

£ {-l)^Da{aa&(x,			и,...,	Dku)D*u}=			£ (-	l)MD%
l<z\|,\|0l«m							l<x\|«m	(11.96)
								(11.96)
при k < m. Здесь		Dku = {Dau :\a\ =			k}.
Предполагаем,		что дЙ^С 0 0 ,		a aa~(x,\)		— измеримые		функции
(х, \| ) £ Й X R	, s	=	( \| а : \| а \| <	k}£ R	и с	положительными по
стоянными Cv	С2	выполнены		соотношения
	£		а в в ( х , £ ' ) т 1 в т 1 э > С 1			£	т£ ,
	1а\|=1Р = т				\| а \| = т
	I а а 0		(х, S')\| < С2	при \| а \|, \| р 1 <			т ,	(11.97)
	flop (*,£') = ар.			5') при \| а \| =			\| Р \| = т .

Как обычно, второе условие в (11.97) может быть ослабленным. При выполнении этих предположений справедлива теорема.

Теорема

5. Пусть fa£Lp(Q)

при

р0>2

и (х) £ W"} (Q) —

обобщенное

решение

уравнения

(11.96).

Тогда

при

п=2(т—k)

и(х)£Ск (й).

Функция и(х)

будет

обобщенным решением

уравнения

( - l ) m D a { a a p ( *

Dku)D*u}=

(-l)wDaFa

Ioc-|=l3l=m

|a|«m

с определенными

Fa £ L, (Q), r >

тогда

по лемме

4 с

неко

торым q >

2 u (х) £ Ш^1 (Q). Отсюда

по теореме

вложения

следует,

что ы £ С* (Q) так,

как

п = 2(т — k).

и (х)

Дальнейшее повышение

гладкости

при соответствующей

гладкости

функций

Аа

следует

из теоремы

11.4

книги

[1].

Фигу

рирующее в условии теоремы 5 предположение

п =

2 (т — k) не

может быть ослаблено. В случае т = 2 это

показывает

пример

уравнения Эйлера функционала 13 § 1, гл. 1.

случае

т > 2

также могут быть построены аналогичные примеры.

Укажем, в заключение, возможные обобщения

полученных ре

зультатов. В этом направлении в настоящее время под

руководством

автора работают

его ученики.

1. Результаты глав I и 11 можно перенести на определенные

клас

сы квазилинейных

эллиптических

систем

высшего

порядка. Сле

дует отметить, что уже даже системы квазилинейных

уравнений

второго порядка существенно отличаются по своим

свойствам от

уравнений второго порядка (см. примеры в работах

[57, 84]). Опре

деленный

класс

квазилинейных

систем

изучили

работе

[84]

О. А. Ладыженская и Н. Н. Уральцева.

Более широкий класс эллиптических квазилинейных

систем

уравнений

второго

порядка

рассмотрел

Б. П.

Петривский

[122].

При определенных предположениях им изучались

дифференциаль

ные свойства решений систем уравнений вида

i=]

ди,

i ди,

ди,

ди

! ди

ди.\

где « = ( « , , . . . , « , ) , _

(

_ , . _ =

, . . .

J .

2. Второе направление — это отказ от условия равномерной эл

липтичности и согласования порядков роста.

Такие

результаты

получены для уравнений второго

порядка

(см., например

[115,

157]).

3. Третье направление — это перенесение полученных

результа

тов на квазилинейные параболические уравнения высшего порядка. Случай уравнений второго порядка рассмотрен в монографии О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова, Н. Н. Уральцевой [85]. Параболическими уравнениями занимается также Г. И. Данилюк.

8—843

113

Следует		отметить,	что	им в	работе 143)			исследовано уравнение
с дивергентной главной				частью
		ди	п			ди\	,	I .	ди\
		ди	д	/		ди\	,	I .	ди\
		Hi = Ь-Ща'[х'ии'				1 F J +	а (*>		to)
при	условии
		v(\|«D(i	+ l P D - s I E \| - <			t ^ f ^ ^			<
			< m M ) ( i + \| p i r - 2 \| £ \| 2
(v (\| и \|),		\x(\u\) — положительные				функции) и			остальных	естест
венных		условиях. Отметим,			что	в работе		[85]	рассмотрен	случай
т=	2.

Т О П О Л О Г И Ч Е С К И Е ПРИЗНАКИ С У Щ Е С Т В О В А Н И Я РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВЫХ П Р О С Т Р А Н С Т В А Х

Естественным путем изучения граничных задач для квазилинейных эллиптических уравнений является сведение этих задач к нелиней ным операторным уравнениям в банаховых пространствах (см. [47, 73, 17 и др.]).

В настоящей главе развиваются топологические методы иссле дования соответствующих уравнений в банаховых пространствах, основанные на понятии вращения векторного поля Аи для опре деленных классов нелинейных операторов А. Понятие вращения поля Аи обобщает понятие степени отображения Лере— Шаудера и эквивалентное ему понятие вращения вполне непрерывного век торного поля, введенное М. А. Красносельским.

Вращение поля Аи явилось единственным гомотопическим ин вариантом, и это показывает, что вращение должно играть роль & корректно поставленных задачах для уравнения Аи — 0.

В этой главе изучаются свойства вращения, получена формула индекса критической точки, указываются различные применения, к доказательству теорем существования и обоснованию метода Галеркина как для операторных уравнений, так и для общих диффе ренциальных уравнений и ряда конкретных нелинейных задач меха ники.

		§ 1.	О сведении граничной задачи
		к операторному уравнению
Пусть Q — ограниченная		область в n-мерном евклидовом простран
стве Rn	и предположим,	что для Q имеют место теоремы		вложения
С. Л. Соболева для пространства			№р(Ц (о достаточных	условиях
на Q см., например, [11, 96]). Обозначим через V произвольное зам
кнутое	подпространство	Wp (Q)	такое, что W'p" (Q)crV cr Wp (Q)-
Граничной задачей, соответствующей подпространству V, назовем
задачу нахождения такого обобщенного решения и (х) £ V уравнения
	X (-\rDaAa(x,...,Dmu)=		I ( - 1 ) \| а \| £ » 7 а ,	(III. 1)

что для cp£V

{

£ Аа (х, и,. ., Dmu) Da Ф

dx = J £

f a D V * .

(III.2)

Q |aKm

Й laKm

Если V = W™ (Q), то поставленная

задача является

задачей Ди

рихле; если

V = Wm (Q), то получаем

задачу

Неймана.

Предполагаем,

что выполнены следующие

условия.

1. Функции Аа

(х, £) определены для х £ Q, £ = (£э :| Р | < т) £ RM,

измеримы по х при всех значениях

£, непрерывно

дифференцируе

мы по Е почти при всех х и удовлетворяют

неравенству

M U ( * . £ ) ! < * , (

16,0(1+

\Цру)Р°»,

(Ш.З)

где

А* (х, I) = дАа

(х, I)

g, — непрерывная

положительная неубывающая

функция,

р>2;

Ру

— произвольное

положительное число, если

\у\ = т — -^ и Ру =

„ _ ( m T l

v l ) p • ^

т — -j < | v | < т, р^ = р В а

определяется

условиями:

Р<Ф=l

— ^a

—

-^'ecm

N = 1 Р 1 = т .

Ра&=

- , если т — — < а < т,

°°

РА

р п В = 1 . если |а|, |р | < m — j

°<PaS<

если 1 a|,|p|>m — J - ,|a | + 1 Р1<2от.

Ра Рр

2. Для x£Q,

£,£RM,

r\ =

{ T I ( I ; I

aj = т) £ RA

выполнено нера

венство

£ V * - s > v i P > * a (

I6V|) £

| £ v

r 2 I <

(Ш.4)

|a(=ip|=m

| V | < O T _ ^

lyi=m

|a|=m

непрерывной положительной

невозрастающей функцией

g2.

116

Функции /п предполагаем принадлежащими L (Q), где ца =

qa>	1, если \a\ =	m—j,
qn =	1, если J ct\ <	m — у

Изучение разрешимости поставленной задачи сведем к изучению

разрешимости		операторного		уравнения		в	банаховом	пространстве.
В дальнейшем для банахова пространства							X через	X* обозначаем
сопряженное	пространство и через ( /г,						и ) — значение		функцио
нала n £ X*	на элементе u £				X.			Л, Т:	V ->• V*
Из условия		1	следует существование			операторов
таких, что для		и,	v^V
( Л И ,			v ) = j	Е	Аа(х,и,...,		Dmu) Davdx<
									(III.5)

(Ш.6)

Q | а | < т

Разрешимость соответствующей подпространству V граничной за дачи, как легко видеть, эквивалентна разрешимости операторного уравнения

Au + Tu = f.

(Ш.7)

Операторы Л, Т, определенные в (III.5), обладают рядом важных свойств.

Непрерывность операторов Л, Т вытекает из следующей леммы, доказательство которой в случае k — 1 приводится в монографиях

М. А. Красносельского		[811 и М. М. Вайнберга				[26]. В случае	А>1
доказательство проводится аналогично.
Лемма 1.	Пусть функция		f (х, их,...	,uk)	— непрерывна по и,,...
..., ик почти	при всех	х и	измерима	по х	при	всех и , , . . . ,	uh в
области
и пусть
	\|/(*.н						(1П.8)

117

Рс>Р> 1.	Фб^-р(й). Тогда			оператор F,	определяемый		равенством
	F (и, <х)		ик	(х)) = f (х, и, (лг), . . . , ик		(х)),
							k
ограничен	и	действует		непрерывным	образом	из	П L (Q) в
Ограниченными называем операторы, переводящие							ограниченные
множества	в	ограниченные.

Введем понятие монотонного оператора и оператора с полуогра ниченной вариацией. Эти операторы играют важную роль в диф ференциальных уравнениях. Они изучались многими учеными (см.,

например,

работы [73, 471 и имеющуюся там литературу).

Пусть

X — банахово

пространство,

X* — его

сопряженное,

|| -|| —

норма в

Определение

1. Оператор А : X

называется

оператором с

полуограниченной вариацией, если для произвольных и,

v£X та

ких, что

||и||,

< R справедливо неравенство

(Аи — Av,u

— v)

> — C(R,\\u

— о||'),

(1П.9)

где ||-|Г —норма,

компактная

по сравнению с

||-||,

функция

С (R,

t) непрерывна

и такова, что

у-С (/?,<)-». О при

t-+

+ 0 .

В том

случае,

если

С = 0,

т. е. для

любых

и, v

6 X

(Au — Av,u — v)>0,

(III. 10

оператор

А называется монотонным.

Монотонный

оператор А

называют

строго

монотонным,

если

при и ф

(Аи~

Av,u — v)

(III. 11)

и сильно

монотонным, если

(Аи — Аи, и — v) > у (||и -

о||) \\и — о||,

(III. 12)

где функция y{t)

непрерывна,

возрастает,

у (0) =

у (t) -г- +

о о

при t

с о .

Лемма 2. Оператор Т, определенный

равенством

(III.5),

вполне

непрерывен. Оператор Л, определенный равенством (II 1.5),

непре

рывен,

ограничен,

имеет полуограниченную

вариацию

и для

произ

вольной

последовательности ип,

слабо сходящейся

к и0,

из

(Аиа — Аи0,ип~

и0 )-*-0

следует

сильная

сходимость

ип

к uQ.

118

При д о к а з а т е л ь с т в е	леммы	используется			полная		непре
рывность вложения W™(Q) в	Wka(Q)	при	ft	целом, ft		<	т, q <
< n - p ^ - k ) и W ? ( Q ) в С " ( Q )	п р и k	< т	-	J • П у	с т ь	"«-про
извольная ограниченная последовательность.				Из леммы		1 следует

(переходя, если нужно, к подпоследовательности), что Тип слабо схо

дится к некоторому		/г. Эта сходимость			сильная,	так	как в про
тивном случае существует последовательность vn						такая,		что
»„СV,	\K\\W>)		= 1, <Тип-h,va>>v>0					(111.13)
и оп сходится к	v0	в Ск (Q) при ft <		m —	Д
Тогда
<7Ъ„ - h,va>		=	< 7 и я —h,vn—	vD>	+ <Тип	-	К	v0>
и оба слагаемых в правой части стремятся к нулю при п-*-								о о . Это

противоречит соотношениям (111.13) и доказывает, что оператор Т вполне непрерывен.

Утверждение леммы 2 относительно оператора Л следует из леммы 1 и соотношения

	1
< Ли — Ли, и — v )	= [ dt	[ ах	£	(х,.. ., tDm и +
	о	a	lPl< m
		m.	<la\|<m
			Р
+	(1 — t)Dmv)Da(u~v)D&(u			— v).

Произведя оценку правой части по неравенствам (III.3), (1П.4), по лучим неравенство, из которого и будут следовать все свойства оператора Л. Отметим только, как оценивается главный член. Если

II " И ^ ( 0 ) . l l ° l l w m , Q )						т о
1
j	. £	Л а В	(х,...,	tDmu+		(1— t) D"1 v)Da		(и -	v) D p	(и	—v)dt>
0 \|al=\|3\|=m
		>с	1 +	£	( \Dyu	\+\Dyv	I ) ] " " '	£	\Da	(U-V)\*,
			\y\=m					\|a\|~m
где	С—положительная,				зависящая		от R	постоянная.			Непосред
ственно		из леммы 2 имеем				следствие.
	Следствие. Оператор
					Л = Л +		7\				(III И)

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ