книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

Лемма 2. Существует

б0 > 0

такое, что для h£H2

f ( k )

&"h>h)

» <

fi

uhj^d,

hn£H2,

I I M = 1-

{ ( ± +

d) F'\

-

G"h0,

h)

=

0.

(VI. 16)

Это даст противоречие с определением

подпространств

Нг, Н2.

Равенство

(IV. 16)

для п£Н1

следует

из ha£H2.

Выполнение

(IV. 16) для

h£H2

получаем

из

неравенства

( { ±

+ d) F" (h0 +

th) — G" (h0 +

th),

ho

+

th)>0,

справедливого для всех вещественных t.

•

Лемма

3.

Пусть со (и)—функционал

такой,

что

со(н)-»-0 при

и 0 и М — множество и £11,

удовлетворяющих

неравенству

G ( « ) > ^ - c o ( « ) j F

(и).

Существуют

положительные

числа

8lt

г0

такие,

что из

и£М,

|| и [| < г0

следует

\\Рги\\>М\и\\.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим

от

противного

сущест­

вование последовательности

ип£М

такой, что

(G' (wn), ип)>^

со (ы„)) (F' (wn),

wn),

wn =

0n un .

Проверяется, что последовательность vn

=

|| ип

\\~1ип

можно счи­

тать слабо сходящейся

к

v0=f=0, v0£H2.

Переходя

к

пределу в

неравенстве

" 0 ^ K T F < F ' {

W

N ~ ~ V ° 1 1 W N 1 1 ) 1

W N

~

V ° " W N

^

<

+ <F' (ш„ -

o01| wn ||) -

F' (Wn),

wn

-

v01| wn ||)},

получаем

.

м

h«rv0.o0)

— (F"v0,v0)>0,

.

'..

. (IV.17)

что

противоречит лемме 2.

Лемма 4. Существует

функционал

(и) такой,

что

'

И 11")-*-О "Р" и -*-0 и для и£Н0

+ Н2

G(«) <

1 + сох

(и).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Проверим сначала,

что s < 0

s = Iim S (r), s

( r ) =

sup( j ^ 4 -^-l,

где

верхняя

грань

берется по

u£{F(u)=r}

П Я 0 + Я 2 .

Предположим

противное и пусть ип— такая

последовательность,

что

,.

^

{ { ± + .) < ^ . . ц . > - ( О ^ . и ^ О , ^ - 0+

н >

Отсюда

следует,

что vn = ||un ||

и„ можно считать слабо сходя­

щейся к v0^0,

и аналогично

доказательству (IV. 17)

получаем

(G\,

v0) -

(±

+ s) (Flv0,

v0)>0.

Это

невозможно

при s > 0, так как v0£fi0

+ Н2 и в силу лем­

мы 2

Утверждение леммы получается из

"

1

1

1

' G (и) = j

(С (tu), u)dt<\lj-

+шЛ iu))(F' (tu),u)

dt =

Ф : R+

X Мс-+Мс,

Rl+

= {t: О < t <

+

оо},

определяемое

как

решение

задачи

Лр (t, и)

=

G'C

(Ф (/, и)),

ф (0, и) =

и

di

существует и

непрерывно. Отсюда следует, в частности,

dG (m (t,u))

(IV. 18)

dt

=Цв;(Ф(*. «))112-

Д о к а з а т е л ь с т в о

д о с т а т о ч н о с т и

т е о р е м ы

12.

Пусть К0

>

0 и нуль — вырожденная

стационарная точка

функ­

ционала

F (и)—X0G(u).

Сначала

найдем

решения

(IV. 13)

с про­

извольно малой нормой. Будем пользоваться обозначениями

со2

(и)

=

sup

G(v)-±(G"v,

v)

+

L

F(PJP) —

F ( B )

2X0

ro3 (ц) =

I (G' (u) — G"u,Pxu)\,

co4

(u) =

(G'u,

u) — G (ы)|,

(IV. 19)

Щ (и),

0>з(")

М")

INI

1МГ

стремятся

к нулю.

Пусть

£ > 0

— произвольное

число и числа б1 ( г„

определяются

согласно лемме

3 при

со (и) =

со2(«). Определим положительное гг

r 1 <min(e,r 0 )

так, чтобы при

||ы|| <

тх

V й »

ш 4

(")

+

20), («) + со, (и) <

(IV.20)

^

2Я„ ' v

^

IMf

"II

-*А »

2

2

1

v

R = {h£H:

||/>,Л|| >

0}, М> =

Мс

П

Я 1 (

q>(f,Mj) =

{ф(^,ы):и6^}, 0 < t <

+

о о .

Проверяется,

что

нестягиваемо в R.

Покажем, что

при про­

извольном tq>(t, Mlc) также нестягиваемо

в R.

Для ы£М" имеем

в

силу (IV.15), (IV. 19)

G (и) >[T~Q—

™2 («)J F (")•

(IV.21)

На основании

(IV. 18)

это же неравенство

имеет

место

для

Ф (t, и),

и^М\

при всех t. Применяя лемму 3, получаем

\\Р& (/, и)\\ >

б, ||Ф (t, и) ||, 0 < t <

+

о о , и g Ml

riV.22)

zt =

ф (*, ut ) бФ

(*, М1е)

такого,

что

P1zt^HQ.

По

лемме 4

G ( z ^ < ^ 1 L + o ) 1 ( z f ) ) F ( z t ) .

(IV.23)

Выберем

из

последовательности ип

In = 1, 2, . . . /

сильно сходя­

щуюся

последовательность к

и0£М1с

и докажем,

что из

{Ф (t, и0),

0 < t < о о }

нения

(IV. 13).

на Мс

Из

(IV. 18) и ограниченности G

получаем

$ 1 К М Ф (*,Uo)) | | 2

Л < +

о о ,

G'.(V(.tt.uo))-+0, tt~*oo.

riV.24)

Пусть

t/i = ф (tt,u0)

слабо

сходится к

А. Из (IV. 15),

(IV 19) —

(IV.21)

имеем

откуда

следует

G ' A ^ O . A ^ o .

Последовательность

{G'yvyt)

Nyt е

G'yt

-

jp—y

F'yt

(IV.25)

сходится к нулю. Это следует из (IV.24) и равенства

(Ну, х) = (G'y, х -

y) = (Gc (у), х

-j£jL*Ly),

(F

У, У)

{F У* У)

справедливого для у£Ме,

х£Н.

Последова тель нос ть

{G'yvyt)

ограничена; можем

считать

{p'yvyt)

к ц. Из (IV.25) полу­

ее сходящейся

чаем р. =т^0 (так как СНфО)

и сильную

сходимость

последова­

тельности F'yt. Отсюда

следует

сильная

сходимость

ух

к Л.

Переходя к пределу в (IV.25), имеем

т. е.

\xF'h — G'h = 0,h£Me,

(IV.26)

< ( ^ - + 2< B 1 ( A ) ) F ( A ) .

Вместе с (IV.21) это дает

- \X0G (А) - F (Л) | < \ ро»! (Л) + ц>2 (Л)] F (A).

(IV.27)

u / ' t f g - G ' ( ^ = 0,

(IV.28)

<^ = | ^ ( 4 - < / ? ' Л » ' А » > - / ? ( А » ) ) | > 0

при п-+оо.

Утверждение

теоремы

следует

из оценки

(F'h , А >-

к <

2\ \ Х0

2©! (AJ +соя (Ап ) +

_2_

а» 4 №„)

v

*

l|A„ll"

ационных

эллиптических уравнений. Пусть Q — ограниченная об­

ласть в эвклидовом л-мерном пространстве R". Рассматриваем функ-

о

ционалы

для

и £ W£ (Q):

F (и) =

j / (х, и,..., Dmu) dx,

G {и) = J g (x, и,

., Dm~l и) dx.

Q

a

Предположим

выполненными

следующие условия с положитель­

ными постоянными Clt С2 .

1) функции

f(x,§,g(x,t'),x£Q.l=*{la:\a\<m}£RM,

g ' =

2) для любых

x£Q,l£RM

l/ap(*.S)l<Ci при |a| =

|Bj = m,

\U (*• ©I +

К

(х, 6)1 < С, f 1 +

£

|EJ

|а +

В| < 2т,

где

1

\У\<т

1

г

U

1)=

а

( Х % ) =

Ра =

2л

L

+

_ L +

_ L < i .

я - 2 ( т - | а | ) ' <7аВ

Ра

РВ

'

3) для любых u£U,

l£RM,j]

=

{'4a:\a\=m}£RN

S

^

^).Т)а % > C a Г П^.

[а1=1В|=п»

где

суммирование справа

ведется

по индексам у, | у \ = т вида

(О, 0

0 , я г , 0 , . . . , 0 ) ;

4) для достаточно малых \\иЦт 2

(F'

U, U) > С 2

|| и\\т,2,

« е

И - lU.a — норма в W"2\

Теорема

13. Пусть F(Q) = G (0) = 0, F'O =

G' (0) = 0. Для того

чтобы число Х0 было точкой бифуркации

уравнения

V ( _

])l*\D"fa (х, и,... ,Dmu) = X

£

( — X

| а Кш

|Р|<т—1

х Dtga (х,и,...,

D-»-»a),

(IV.29)

и решение уравнения

(IV.29) понимается в обобщенном смысле.

В случае уравнения

(IV.29) с линейной главной частью и ряде

виде [5]

А2 / = — L (ш, ш),

Д2ш = XL (FQ, w) + L (f, w), (x, у) £ Я,

(IV.30)

W

dw

= 0,

(IV.31)

on

dn

где Я — ограниченная

плоская

область

с границей

S, F0 — из­

Изучение точек бифуркации задачи (IV.30), (IV.31)

проведено в

работах [5, 41] в предположении, что

^L(w,w)F0dxdy>0

(IV.32)

а

о

о

Пусть R : W\ (й) ->- W2(Q) — оператор, ставящий в

соответствие

функции w обобщенное

решение / = Rw уравнения

А 2 / = — L (w, w).

Непосредственно проверяется, что оператор R всюду дифферен­

цируем по Фреше и что производная оператора R в

точке w —

R' (w) — определяется

равенством

<R'(w)

Ф яр> = — 2 ^ w L (ср, яр) dxdy,

(IV.33)

Q

0

II Rw || < С || w ||2 ,

(IV.34)

о

где || • || — норма в W\ (Q). Из (IV. 33) также

следует

R'(w) w = 2R (w).

(IV.35)

Покажем, что функционал

<F'w,

<р> = 2J[{АауАф — L (w, Rw) ф} dxdy.

(IV.37)

а

Для этого достаточно заметить, что

j" \ L (W, w)[R (w + ф) — Rw] dxdy — f j l (w, w) R' (w) ydxdy +

/ (ф) =

Й

a

= ~T

<R' И

». Я »

Ф > + / (Ф) = — <Rw,R'(w)q>>

+ /(ф) =

= 2

(w, Rw) ydxdy + I (ц>),

где || Ф й - 1 / (ф)

0 при ф -+ 0. Здесь

воспользовались

формулами

(IV.33),

(IV.35)

и непосредственно

проверяемой симметрией

выра­

жения <

R' (w) ф, я|> >

относительно, w, Ф, Я|).

эквивалентна задаче

F'w = XG'w,

(IV.38)

о

где функционал G : W\ (Q) ->- R1 определяется

равенством

G (ш) = J J L ( ^ 0 , Ю ) wdxdy.

(IV. 39)

а

<F"(0)

w, ф > =

2^AwAydxdy.

Теперь из теоремы

12 следует теорема.

Теорема 14. Для

того

чтобы число \

было точкой бифуркации

задачи

[IV.30),

(IV.31),

необходимо и

достаточно, чтобы задача

А2ш = \0L

(F0,w)

w

dw

= О

дп

имела

ненулевое

решение.

F (и) =

(х, и, -gjdx, G (и) = j g (х, и) dx

(IV.40)

О

Q

Предполагаем, что

функции

f(x,u,p),

g(x,u), (x,u,p)£QxRi

X R"

оценки с положительными постоянными Съ

С2 (в случае т > п

вид оценок

упрощается)

*>£

д % и Р 1 Р )

^}>сг(\

+\Р\Г~2

£ g .

S

I

2

d V

i (l

+ I P I )

+

ap^a*,-- 1 < 1 + И > } +

d2/

(1 + I P D +

a2/

+

(1 + И ) +

dp,- du

дидх;

дидх,

2)

| G ( U ) | < C 2 | < G ' « , u > | ,

где G'—градиент функционала G;

3)

< F'u, и > > Cx (|| u | | ? + || и ||Г,т),

где ||-Hi.r — норма в Wlr (Q).

При этих

условиях

функционалы F, G принадлежат С2 . Как

и выше, через F',G' обозначаем соответственно градиенты

функ­

ционалов F, G и через

F" (и), G" (и) — производные Фреше

опера­

торов F',G'

в точке и.

Пусть

Изучаются точки бифуркации

уравнения

F'u

=

Wu

(IV.41)

или, что то же самое,

уравнения

•S Щ ^ (*'

" 5 ) - Ь (Х>

§)

= ~ **• <*' Ы)'

( l V - 4 2 )

Пусть F (0) = G (0) = 0,

F' (0) =G' (0) = 0 и сохраним

все опре­

деления § 2 —3.

Теорема 15. Для того

чтобы число \

было точкой

бифуркации