книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

для u£S следует

X < 1. Тогда уравнение

Ки + Fu = и

имеет решение в

D.

Аналогичное

следствию утверждение для случая выпуклой об­

ласти D доказано в работе [119]. Впервые признак существования

неподвижной точки отображения К + F получил М. А. Красно­

других ученых (см., например, [119, 161, 162, 61,

131, 60]).

В заключение параграфа докажем сходимость

метода Галер-

непрерывный

оператор

в

банаховом

пространстве,

получена

М. А. Красносельским

[81].

Пусть X — сепарабельное

рефлексивное вещественное

банахово

пространство и пусть vit

i =

1, 2,

. . . —

такая

система элементов

в X, что

LJ^n =

X,

где Fn — линейная оболочка элементов иъ

. . . ,

vn

и черта обозна­

чает замыкание.

Аи =

Приближенным решением

уравнения

0 назовем

элемент

"п€ Fn такой,

что

(Aun,vt) =

0,

i=\,2,...,n.

(Ш.61)

Теорема 13. Пусть

D —

ограниченная

область

пространства

X и А : D -*• X* — ограниченный

деминепрерывный

оператор,

удо­

влетворяющий

условию а). Предположим,

что

в

области

D

поле

Аи имеет единственную критическую точку

ненулевого

индекса.

Тогда приближенные решенияипуравнения

Аи=0существуют

прип,

больших некоторого п0,

и при п

=

оо приближенные решения ип

сходятся к решению уравнения

Аи

0.

Аи,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из определения

вращения поля

в нуль в D Г)

Fn.

Решения уравнения Фп(и)

= 0

будут

приближен­

ными решениями уравнения

Аи

= 0. Это доказывает первую часть

теоремы.

и0 —реше­

Докажем сходимость приближенных решений. Пусть

ние уравнения

Аи—0

в D, е—произвольное

положительное

число

и Вь(и0)

— шар

радиуса е

с

центром в и0. На множестве

D& —

= D\Be

(«0)

поле

Аи

не

имеет

критических

точек

и аналогич­

но лемме

4

убеждаемся,

что поле Ф„(«)

при

достаточно

боль­

ших п

не

обращается

в

нуль

на Dif)Fn.

Таким образом,

при

больших п все

приближенные

решения

находятся

в Ве

(u0)[\Fn,

что и доказывает второе утверждение теоремы.

Замечание.

Аналогичное теореме 13

утверждение можно

до­

казать для оператора А : Х-УХ,

удовлетворяющего

условиям

п. 4

§ 2.

Сохраним относительно области Q предположения

§ 1 настоящей

главы и рассмотрим задачу нахождения

решения уравнения

( I I I . 1),

удовлетворяющего интегральному тождеству

(II 1.2). При этом пред­

полагаем, что функции Аа

удовлетворяют

условиям

1),

2) § 1 и

fa£LqJQ),

где значение

qa

указано

в § 1.

Сформулируем вначале общую условную теорему существова­

ния.

Предположим:

а)

уравнение

( I I I . 1) включено

в

параметрическое

семейство

уравнений того же вида

V ( - \pDaAa(*,*,...,

Dmu)

=

£

( -

1)WD% (t, х),

(111.62)

\а\<т

|a|<m

t£[0,

1],

так

что

для

(x,l)^ixRM:

Aa(\,x,l)

=

Aa{x,t),

fjhx)

=

fjx);

б)

функции

Aa(t, х, £)

непрерывны no

t при

(х,

QZUxR",

удовлетворяют при ££[0,1] условиям

§ 1 и равномерно по t

удовлетворяют

неравенствам

(III.3),

(III.4).

Функции

fa(t,x)

принадлежат

при f £ [ 0 , l ]

Lq<x(Q)

и непрерывны

по

t.

Решение

уравнения

(III.62)

будем

понимать

аналогично <j 1,

j

£ Ajt, х, и

Dmu) Da<pdx = J £ / а (t, x) Da<pdx. (111.63)

ft

|a|«m

Q |a|<;m

Аналогично

§

1

определим

семейство

операторов

At: V

V*

равенством

(Atu,

ф) =

J £

{Aa(t,x,u,...,

Dmu)

-

fa (t, x)} Daq>dx.

Q

|a|«m

Теорема 14. Пусть выполнены условия а),

б) и предположим,

что

для произвольных

решений и (t,

х) уравнения

(II1.62),

удовлетворяю­

щих

(III.63),

выполнена

оценка

I I

« M I L

. P <

*

(Ш-64)

с некоторой

постоянной

К

и

что

вращение

поля

А0и

на сфере

V°> = {"ev:H|m ., = tf}

отлично от нуля.

Тогда

существует

по крайней мере одно решение

граничной

задачи

для

уравнения

(1.1), соответствующей

простран­

ству

V.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как отмечали

в § 1, решение гранич­

ной задачи для уравнения (1.1), соответствующей V, эквивалентно

нахождению критических точек поля Ахи.

Из условий теоремы сле­

дует, что поля А0

и и Ах

и гомотопны на5/<-(0) в смысле определения 4

и, следовательно,

их

вращения одинаковы. Таким образом, вра­

щение Ах и на SK(0) ненулевое и утверждение теоремы следует из

принципа

ненулевого

вращения.

деляемого равенством (III.5), признаки существования

критиче­

ских

точек § 5.

Ограничимся аналогами теорем

8—10.

Теорема

15.

Пусть

функции

Аа удовлетворяют

условиям

1),

2) §

U f„ £L

(Я) и пусть

при некотором

R >

0

{Аи — / , а > > 0

для

u£SR(0),

где A, f определяются равенствами

(III.14),

(III.5),

(II 1.6).

Тогда

существует по крайней

мере одно решение

u£V

уравнения

(II

1.1),

удовлетворяющее

(II 1.2)

и

неравенству

11111 71

П

= - р

UU.

ll"l|/n.p-*«> " "

l l

m ^

Тогда уравнение -(HI. 1)

имеет

решение,

удовлетворяющее (III.2),

при произвольных fa£Lq

(Я).

удером, Ю. А. Дубинским и др. (см. [32, 17, 47]).

Замечание. В главе I I при доказательстве леммы 4

использова­

лась разрешимость задачи Дирихле для уравнения

вида (II 1.2)

получить из теоремы 15 при определенных условиях на

Аа,

если

воспользоваться

неравенством

1

п—{т—1)р

| | « | | < t , < C { i n e s Q } T

~\\и\\т.„

о

справедливым

для

u£W™ (Q), / <

m, q < п

_

^

—i)P

с

постоян­

ной

С, не

зависящей

от и,

Q.

Аа

Предположим, что функции

удовлетворяют

условиям

1) Аа(х,$=А™(х,1)

+

А™(х,%

где

А^

(х,1),

А^

(х,1)

оп­

ределены для x£Q,

l£RM,

измеримы

по х

при всех значениях |,

непрерывно

дифференцируемы

по

£

почти

при

всех

х и удов­

летворяют

неравенствам

1 4 ? ( * , ! ) | < С, (

I +

|

£ |

Д

/ =

0 , 1 ,

(111.66)

где

р 0

=

р — 1 , р, < р — 1 ;

2) функции Аа0)

(х, £) положительно

однородны

по

£

порядка

р —

1

и для

RM

Х 0

) ( * . - & ) = - 4 ?

(хЛУ,

3)

для

x£Q,

l£RM,

T\£RN

выполнено

неравенство

(III.4) и

Е

^

^

V b

>

C

2

% \ \ Г 2

1

Ъ

(111.67)

|a|=|P|=m

I7l=m

| а | = т

с положительной постоянной

С2 .

Рассмотрим

еще

уравнение

£

(_ \)^DaAa°\x,

и,...,

Dmu) = 0,

и £ 1Л

(II 1.68)

Теорема

16.

Предположим,

что

выполнены условия

1) —3)

на­

стоящего

параграфа

и граничная

задача

для

уравнения

(III.68)

имеет

только

нулевое

решение,

соответствующее пространству

V.

Тогда

уравнение

(II

1.1) имеет

по

крайней

мере

одно

решение,

удо­

влетворяющее

(II

1.2),

при произвольных

функциях

fa£Lq^

(Q).

L < u ) = И ж 7 а * ( х ' » * • % ) + а • / • " • - £ ) = 0 ,

X ^ Q '

( Ш - 6 9 )

1=1

п

В (и) ^ £ а , (х, и, -g-j cos (п, х() + <р (*, и) | 5

Q = О,

(II 1.70)

t=i

где Qcz/?r t

— ограниченная область, п — орт внешней

нормали к

dQ

в точке

х.

<

При формулировке следующих

условий предполагаем, что 1<

р < п. При р > п условия имеют немного другой вид.

Пусть при (x,u,l)^QxR1xRn,

I = (1,, • . . , ln)

выполнены

условия:

S da.(х, и, £)

0,(1 + 161)"2 h l a ,

i.j=\

i,i=\

i=\

ro = i + l « f ^ +

| l | ,

| Ф | < С 2 ( 1 + | « Г Т ' .

e <

" '

Pi <

p - 1-

da.

da

(1 +151)

+

da

da

<

dx.

+

du

+ dx.

3)

существует

R >

0 такое, что

при

| ы \ >

R

1=1

dx.du

£

а. (x, ы, 0) cos (л, хг )

+

ф (х, и) > 0 ,

лг£дЯ.

/=1

Теорема

18.

Пусть

выполнены

условия

1) —3)

и

д Q —

поверх­

ность

класса

С2Л,

X > 0.

Тогда

при некотором

б >

0

задача

(111.69),

(111.70) имеет решение, принадлежащее

С2'6

(Я).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Включим

задачу (III.69),

(III.70) в

следующее параметрическое семейство:

ад

( 1 - - о | 2 ^ | ( 1

+

du

iP—2 dU

— и

= 0 ,

(111.71)

+

dx

I

ах.i

tB(u)

+ (l~t)(\

+

p - 2

du

=

0.

(III. 72)

таты в ряде задач нелинейной механики (п. 3—6).

1. Система

уравнений Навье — Стокса. Пусть Q — ограничен­

ная область n-мерного эвклидова пространства с границей S,

и =

— {иъ

. . . ,

«„) — вектор-функция,

определенная в

Q.

Будем

искать

в

Q решение стационарной

системы

уравнений

Навье—

Стокса

п

- v A U + Y u f t - J p - = = - g r a d p

+

/,

v > 0 ,

(111.73)

k=\

div и =

0,

удовлетворяющее условию

« | s

=

0.

(III. 7

Рассмотрим пространство

Я =

{« =

(«,, .. „un):u.£W2(Q),

i

=

1 , . . . ,n . divu

= 0},

H—гильбертово

пространство

с

нормой,

соответствующей

ска­

лярному

произведению

Определим

оператор

А-Н-+Н

и элемент

F£H

так,

чтобы

С

J^,

i

ди.

дц>.

ди.

,

( Л Ф ) = £

( / , Ф А

(-16

При этом предполагается,

что

fi£Lq(Q),

Я~п^_ч

при

п > 2,

о >

1 при

=

2.

Аналогично § 1 убеждаемся,

что Л—ограниченный непрерывный

оператор,

удовлетворяющий

условию а).

Кроме

того,

(Аи,

и) = v || и ||*,

(Ш.75)

что

следует из легко проверяемого равенства

У"

с

ди.

i./=i я

Непосредственно из теорем 8,13 следует такая теорема.

Теорема

19.

1. Задача

(II 1.73),

(II 1.74) имеет обобщенное

реше­

ние

при

произвольных

v >

0,

fi£Lq(О,).

• 2. Пусть

v,

/ таковы,

что задача (III.73),

(III.74)

имеет

един­

ственное

обобщенное

решение

и0.

Тогда галеркинские

приближения

ц ( л ) задачи

(III.73),

(111.74) существуют при

всех п

и при

п-+ оо

приближенные решения «<п) сходятся к и0.

Здесь

и

в дальнейшем приближенными

решениями

дифферен­

циальной задачи называем определенные в соответствии

с § 5 при­

ближенные решения операторного уравнения Аи = F.

Другими

методами

результат

теоремы доказан

в

работах

[38,

86,

72].

2. Система

сильного

изгиба

тонких

пластин.

Задача

сводится

к

нахождению

решения

граничной

задачи для

прогиба

w и функции напряжений F:

-?-A2w-L(w,F)

= -±-q(x,y),

(111.76)

где A — оператор

Лапласа,

(W' '

dx* " ду* + ду* ' дх2

дхду • дхду '

Q — ограниченная

область на плоскости с

границей 5, h, Е, D —-

положительные

постоянные.

Рассмотрим

гильбертово

пространство

Я =

{« =

(и>,

F):w,F£Wl(Q)}

со

скалярным

произведением

(".*) =

£

f ^{DawD\

+

DaFDaq}dxdy,

|а|=2

Й

где

х =

(ф> 'Ф)- Обобщенным

решением задачи

(III.76), (III.77)

назовем

вектор-функцию

« € # , удовлетворяющую

при всех

% £ #

равенству

j j

ДшАф — L (ш, F) Ф + - | - Д^Д\р

+

- f L (w, w) ф| dxrfy

= X

j " j

9

^ ф

^ ' ^

d x

d y -

а

Определим оператор А:Н-*-Н

и элемент

Q£H

так,

чтобы

(Аи, х) =

j j | - р ДИУДФ —

L (a;, F) ф +

-|г- Д/^Аф +

L (ш, ю) ф|

dxdy,

а

(Q. X) =

X

j " j <7фЛ«*0.

При этом

предполагается,

что

q(x,y)£L1(Q).

непре­

Аналогично

§ 1

убеждаемся,

что

А — ограниченный

рывный

оператор,

удовлетворяющий

условию

а).

Легко

прове-

о

рить, что для w,

FqW2(&)

^

L(w, F) wdxdy == Ц L (w, w) Fdxdy.

a

Q

Отсюда

получаем,

что с

некоторой положительной

постоянной С

справедливо неравенство

( Л « , « ) > С | | « | | | , .

(III 78)

решение и0, то при любом п существуют галеркинские

прибли­

жения «<"> задачи

(III. 76),

(III.77)

и при

л - > о о

приближенные ре­

шения

ы(л> сходятся

к и0.

в работах [103,

Этот результат другими методами был получен

39,

72,

51].

Замечание. Аналогично

могут

быть

рассмотрены полная си­

стема уравнений сильного изгиба пластин

[52], задача о равновесии

прогиба

пластины

w (х,

у) удовлетворяет

уравнению

(см. [68])

Я 1 1 " 1 (до)

1

d2w

+ дхду

Н^~1

(до) дхду

+

дх*

дх2

+

-9-

+

Я ц

_ 1 (до)

+

д2ш

=

f (х,

У),

(111.79)

ду"

ду*

'

2

дх2

где

(х,

У) £ Q,

d2w

d*w

d2w

d2w

тт2 ,

>

/

Л

+

(Ш.80)

ду2

+

1\

дхду

+ дх2

ди2

Q — ограниченная

плоская

область

с границей

5. Если

пластин­

ка жестко закреплена

на

краю,

то

до

dw

=

0.

(111.81)

Задача (111.79), (III.81) рассматривалась в работе [70] при

условии

| х > 1 . Однако,

как правило

[74], 0 < J I < 1 .

Ниже

бу­

дет рассмотрена

задача

при

условии \а >

0.

Пусть

р =

р . + 1.

Будем

искать

обобщенное

решение

задачи

в

пространстве

0 о

0 2

. Функцию

° 2

wp(Q),

предполагая, что f£[Wp(Q)]

w£Wp(Q)

назы­

ваем обобщенным

решением

задачи

(III.79),

(III.81),

если

для

о

произвольной функции

ф £ Wp

(Q) выполнено равенство

d*w

1

д'ш

д \

д \

+

2

ду

дх2

Т

дхду

дхду

+

d2w

+•

•*

d2w

dxdy

=

(f,<f).

ду2

дх'

J ду

|

Как обычно,

задача

сводится к решению операторного

уравнения

Aw

=

f,