Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 232 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

которых функционалов) изучалось В. И. Кондрашовым [77],

Ф.Браудером [18, 19], С. И. Похожаевым [130], М. Бергером [7] и др. Были получены также в специальных случаях М. Бергером [6],

А.Лангенбахом [88, 891 результаты о бифуркации решения уравне ния (9).

В§ 1 главы IV топологическими методами получен ряд призна ков существования собственных векторов уравнений (9) в случае непотенциальных операторов. Здесь также указывается условие сплошности спектра уравнения (9).

Задача о точках бифуркации уравнения (8) в случае непотен циальных операторов А, Т рассмотрена в § 2, где указано необхо димое и несколько достаточных условий существования точек бифуркации. Рассмотрено расположение спектра в окрестности точек бифуркации и даны применения к нелинейным эллиптичес ким уравнениям.

Вслучае потенциальных операторов А, Т в гильбертовом про странстве (§ 3) и операторов, порождаемых интегральными функцио налами в банаховых пространствах С. Л. Соболева (§ 4), получено полное решение задачи о точках бифуркации, т. е. получено необ ходимое и достаточное условие точки бифуркации. Дается приме нение к задаче о потере устойчивости гибких пластин.

Основные результаты главы IV опубликованы в работах [133, 144—148].

Применение методов Морса к вариационным уравнениям

Теория Морса [107, 126, 98], т. е. изучение связи между характе ром и количеством критических точек некоторой функции и тополо гическими свойствами того многообразия, на котором эта функция определена, была обобщена на случай функционалов класса С2 ,

определенных на общих	гильбертовых многообразиях, в работах
Р. Пале и С. Смейла [152,	116, 117].

Ослабление некоторых предположений Р. Пале и С. Смейла дается в работах Я- Б. Лопатинского [93] и И. И. Данилюка [42].

Теория Пале — Смейла, однако, неприменима к общим интег ральным функционалам. Дело в том, что интегральные функцио налы принадлежат к классу С2 при существенных дополнительных

ограничениях. Это доказано в работах	[133, 149] и в §1 главы V.
В связи с этим в главе V (см. [133,	150, 151]) развивается теория

Морса для функционалов класса С1 при таких условиях, которые выполняются для интегральных функционалов при естественных

предположениях. Основные теоремы теории Морса и			неравенства
Морса	для	рассматриваемого класса функционалов	доказыва
ются в § 2.
В	§ 3 главы V устанавливается стабилизация характеристик
Морса	при	конечномерных аппроксимациях функционала.

Г Л А ВА I

УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

В главе изучаются свойства обобщенных решений квазилинейных эллиптических уравнений порядка 2 т (т > 1), имеющих дивер гентную форму

l)MDaAa

(*,«,..., Dmu) =

( -

l)| £ X | D°7a ,

* е Qctf". (1.1)

Для уравнений второго порядка (m =

1) в работах целого ряда

авторов

[84, 56, 124, 104] установлено,

что при выполнении только

естественных условий — эллиптичности,

гладкости функций

Аа(х,

и оценок на

рост

функций Аа

и их

производных

при 111 -> оо —

каждое

обобщенное решение

уравнения

является

регулярным в

(например,

дважды непрерывно дифференцируемым). В

послед

нее время построены примеры [97, 57,

59] уравнений вида

(1.1)

при т >

1, показывающие, что для уравнений

высшего

порядка

естественных

условий недостаточно

для

того, чтобы каждое

обоб

щенное

решение

уравнения

было

регулярным

(принадлежащим

С2 " ^ ) ) ; аналогичные примеры указаны ниже в § 1.

Всвязи с этим возникает вопрос о минимальной априорной гладкости решения, обеспечивающей его регулярность. Этот во прос изучается в настоящей главе. Приводимые в § 1 примеры нере гулярных решений показывают, что полученные в настоящей и следующей главах результаты по регулярности обобщенных реше ний неулучшаемы.

Отметим, что для доказательства регулярности решения уравне ния (1.1) достаточно установить принадлежность решения классу Cm(Q), так как дальнейшее повышение гладкости следует из [1].

§ 1. Примеры нерегулярных решений

В настоящем параграфе приводятся примеры линейных и квазили нейных эллиптических уравнений с негладкими обобщенными ре шениями. Покажем сначала, что линейные эллиптические уравне ния высшего порядка с измеримыми-ограниченными коэффициен-

тами существенно отличаются по свойствам слабых решений от уравнений второго порядка. При этом слабым решением уравнения

	£ ( - l ) \| a \| D a M a 8 W D p « } = 0 ,			x^QczR",	(1.2)
	lal.lPKm
называется	функция	u(x)£W^(£l)	такая,	что при всех	cp£C"(Q)
выполнено	равенство
	£	J Л «з W D^uD^dx		= 0.	(1.3)
	\|a\|,\|3\|<m Q
Для уравнения (1.2) в случае т = 1 де Джорджи [56] показал,
что всякое обобщенное решение, принадлежащее W2C&), непрерыв

но по Гельдеру, если выполнено условие равномерной эллиптич

ности. Покажем, что при т >				1 аналогичное утверждение нельзя до
казать.
Пусть	п > 2, % — произвольное					число,	удовлетворяющее не
равенству	2 > Л > 2 — y > и			Q—произвольная				ограниченная об
ласть в Rn,		содержащая начало			координат. Тогда функция и(х) =
= \| х \| х является			обобщенным		решением в		Q	уравнения	Эйлера
функционала
' • < « > - f I s			( f t + '		+ ° > £			*	<> 4>
П 1		£ ./=1				£./=1
где б( — символ Кронекера,
	_	[(п +	к - 2 ) о 1 +	к-1][п	+	Х - з +	о1	(1-2)]
°2	—		(2 — Х)(п-\-Х—			2)		•

Необходимо проверить, что для произвольной cp£C^(Q) вы полнено равенство

k,t=i а I	г,/=1
+	ст^_1^_^	= 0.	(1.6)
Непосредственный подсчет	дает
2 (т^+ 0 ^)1$^=	М ( л + х - 2 ) с т ' + х - 1		1 \| я г \|
£ »/= 1

= X {[X — 1 + о, (л + X — 2)] [п + X — 3 + о, (Я, — 2)] +

+ а2 (X— 2) (n + X— 2)} | х I * - 4 .

Отсюда интегрированием по частям получаем выполнение (1.6) в силу (1.5) для всякой ф£С<Г(й), равной нулю в окрестности на

чала координат.			Если же ф — произвольная			функция из		Cjj° (О),
то, записывая 1г			(и, ф) как	предел интегралов		по Q\BE (0),		инте
грируя по частям и переходя к пределу при s						0, проверяем спра
ведливость	(1.6), здесь Ве (0) — шар радиуса е с центром в							начале
координат.
Из (1,5)	видно, что ст, можно выбрать таким						образом,	чтобы
о 2 было положительным. Тем самым,					выбирая		X < 0, получаем
пример уравнения вида (1.2)				при т = 2,	п > 4 , удовлетворяющего
при x£Q,	r\qRN		условию
			\|а\|=1В\|=ш		[а[=т
и имеющего		неограниченное		обобщенное	решение. Здесь С — по
ложительная		постоянная, л = {т)а . \| а \| =			т) £ Цы,		N—число	раз

личных мультииндексов длины

т.

Укажем теперь примеры нерегулярных решений для квазилиней

ных

уравнений

дивергентного

вида

l)MDaAa

(*, и , . . . ,

Dmu) = 0,

(1.7)

|a|<m

удовлетворяющих

при

определенном

р >

1 условию

равномерной

эллиптичности

в виде

4 *

<*. © t i e >

с, (1

+ S

IЕ, I Г *

(L 8 >

|a|=|BI=m

|Vl=m

|o|=m

при

всех

Е =

U a : |a|

< m}

tj =

{i\a

: | a | =

£RN,

x£Q.

Здесь

С, >

u4a(*.S)

Обобщенное решение понимается аналогично линейному слу чаю. Пусть f(t) — положительная функция класса С°° на # \ рав ная t при / > | А , | р л - 1 и 1 при ? < у | А . | р х - 1 , где X — произволь-

ное число,	удовлетворяющее неравенству 1 >			К > 2 — у ,	р—на
ибольшее расстояние от точек границы области Q до начала ко
ординат; Q	такая	же область,	как и выше, п > 2.
Проверим, что		и (х) == I х Iя " — обобщенное		решение в Q	уравне
ния Эйлера	функционала
		ди	ди
		дх.	' дх.
		'•./'=i
		+с* £ (таг)			(1.9)
					(1.9)
		£./=1
если ст2 определяется по формуле (1.5).
Нужно	проверить, что при		всех cp£C"(Q)

'.<«•«- е ь &

ax.

' дх,

+ 2

7! ( l

dx +

V"l)

/" ( I V« I)

dx.dxj

(./=1

ди

Лр

дх. '

дх^

d \

дх.

' дх,

(I V" I)

dxJxj

dxhdxi

г (I v«I:

i./=i

k.i=\

би

быои

г-1

d« бф

дх.

Р=1

dx =

(1.101

IV" |)

I V"

Из

выбора

/ следует,

что

при

x£Q:

бы

ди

/ 2 d V " l )

dxk

' dxi

1*1' '

Таким

образом,

равенство

нулю

первого

интеграла

в (1.10)

следует из (1.6), а второго интеграла—из непосредственно прове

ряемого	соотношения			при / =	1,	. . . ,	п,	х Ф	0:
S	du	.	,2	cfu	Y<	ди	ди	д	и	ди	= 0.
S	л "	IV» I		dxhdX[	^	дхк	дхр	дхкдхр		dxt	= 0.

p=i

Выбирая сг2 положительным, получаем пример при т = 2, п > 3 уравнения вида (1.7), имеющего негладкие решения и удо влетворяющего при р = 2 условию равномерной эллиптичности.

Можно указать пример уравнения вида (1.7), удовлетворяющего условию (1.8), даже с аналитическими функциями Аа, и обладаю

щего негладким решением. Этот пример получается как							уравнение
Эйлера функционала /2 ,		если взять Я= 1 и / (t) =				е2	. Так воз
никающий	функционал	обозначим	через	/ 3 (и).		Соответствующим
решением	уравнения Эйлера будет		и (х)	=	\х\.
Укажем еще пример уравнения вида (1.7), удовлетворяющего
условию (1.8) с произвольным р >			2, обладающего негладким ре
шением. Это будет уравнение Эйлера функционала
		ди	ди
/ 4 И = / я ( и ) + j			дх.				+
/ 4 И = / я ( и ) + j			V"l)
			V"l)
		д2и		dx,
				dx,
		1,/=1
где
[(п +	Х _ 2 ) а 8 + Я . - 1 ] [ л + ( Я , - 2 ) ( р - 1 ) - 1				+	( & _ 2 ) ( р - 1 ) а , ]
4	(2 — X.) [р — 2 + /г + (Л. — 2) (р — 1)1
4
При этом предполагается X > 2			— и сохраняются все обозна

чения формулы (1.9), а3 выбирается так, чтобы а4 было положитель ным. Аналогично изложенному выше проверяется, что решением


уравнения			Эйлера	функционала		/4 , принадлежащим		Wl,	является
и(х)	=	\|\|.
Отметим некоторые важные для дальнейшего выводы.
1.	При		т = 2,	п > 3 указан		пример	эллиптического		вариаци
онного		квазилинейного			уравнения вида		(1.7) (даже	с аналитиче
скими функциями Аа),					имеющего решение, не принадлежащее					C*(Q)
(уравнение			Эйлера	функционала		/ 3 ) .	q < 2, и достаточно			боль
2.	При		т = 2,	произвольном		^, 1 <

шом /г, указан пример эллиптического вариационного квазилиней

ного уравнения вида (1.7)	(даже с аналитическими	функциями Аа),
	2 + -
обладающего решением,	принадлежащим Bq 2 ,	но не являющим

ся непрерывно дифференцируемым (уравнение Эйлера функциона

ла / 3 ) . Определение пространства Вгр дано в работе [9].

3. При /72=2, произвольных п, /?>2, удовлетворяющих неравен ству п > 2 р, указан пример эллиптического вариационного ква зилинейного уравнения вида (1.7), имеющего неограниченное pe

шение (уравнение Эйлера функционала / 4 при 2

^ - < X, < 0).

Отметим в заключение, что функционалы, имеющие указанные только что свойства, аналогичным способом можно построить и при т > 2.

§ 2. Вспомогательные предложения

Пусть Q— произвольная область в R". Через й& обозначим подоб ласть области Q, состоящую из всех тех точек, которые отстоят от границы Q на расстоянии большем, чем б.

Пусть f {х)— определенная на Q функция и / — произвольный вектор, принадлежащий Rn. А* (/) / (х) — конечная разность функ ции / порядка k с шагом / — определяется формулой

k
А* (*>f (х) = £ ( -	1)*_ / С£/(х	+ //), k =	0,1,2,...	(1.11)
/=о
При k = 1 обозначим	разностный	оператор	через Д (/)	вместо

А1 (/). Формула (1.11) определяет конечную разность при всех х, при которых имеет смысл левая часть, так что разность определена во всяком случае на множестве Qh\i\ (которое не пусто при доста

точно	малом	11\).
В	случае I = hec, е1 =			( 0 , . . . , 0,		1, 0, ... , 0),		где	единица стоит
на j-м месте,		h — вещественное			число, разностный				оператор бу
дем	обозначать		A* (h)	вместо	Afe	(he.).
В дальнейшем часто будет использоваться							следующая «формула
суммирования		по частям».								i
Пусть f(x),		g(x)	— определенные на Q функции,						принадлежат
соответственно L p (Q) и				L p , (Q)	(-у	+ —г =	I , р >		l j и пусть но
ситель g (х) содержится				в Q6	при	некотором		б >	0.	Тогда при
\| А \| < 6
	J At (h) f (х) g (х) dx=\f					(x) A. (-	h) g (x) dx			(1.12)
	a				a

(здесь функции f(x), g(x) считаем равными нулю вне Q).

Для произвольного мультииндекса а = (а,, .. . , ап) (а1—целые неотрицательные числа) и вещественного числа h определим

	Дв (А)/(*) = A,"1		{h)...Aann(h)f(x).
Для двух	мультииндексов	а и р	будем писать а < р, если
все координаты	вектора (3—а	неотрицательны.

Лемма 1. Пусть /, (х),. .., fk (х) — произвольные определенные в

R" функции. Тогда		с некоторыми		положительными		постоянными
^ р О)	з(й)и м е е т	место равенство
		L	c j l ,		e , * > * p < V + ^ > . . .
		р(П+...+з(*)=а
		. . . Д р ( \ (* +			^>ft),	(1.13)
где	Р < 0 — мультииндексы,		\|Д,(А) =	0, (х(0 зависят		от р ( 1 ) , . ..

Соотношение (1.13) при | а | = 1 для k = 2 проверяется непо средственно, а в случае произвольного & получается индукцией по k Для мультииндексов а произвольной длины равенство (1.13) оче видным образом устанавливается индукцией по |а| .

В дальнейшем нам понадобится еще следующее, проверяемое аналогично (1.13), соотношение

А" (Л) (/,(*)/ 2 М) =
= £ C^Wf^x	+ vVA^f^x	+ vh),	(1.14)

где Cvp'n — положительные постоянные.

Обозначим для мультииндекса a = (a,,. . . , ап) длины k и вектора t = (tv . . ., tk) через ta вектор

£ ti'

' a i - N ' • * • ' £ tcn+.-.+Ob-i+t

Лемма 2. Пусть функция f (x) имеет в Rn обобщенные производ ные до fc-ro порядка. Тогда для произвольного мультииндекса а, \а\ = k

Аа	(h) f (х) =	А* • j £>af (х + <aft) Л,	(1.15)
		/*
где dt = Л , . . .dffc ,	/f t = =	. . . , tk): 0</ , < 1, i =	1, . . . , ft}.

В случае гладкой функции / соотношение (1.15) легко про веряется при |a | = 1:

A((h)f(x)	= f(x + het)-f(x)		=
1	i
о	о	1
и распространяется на случай любого		а индукцией по \|а\| .

2—843	Г О С . П У Б Л И Ч Н А Я	1
	Н А У Ч Н О - Т Е Х Н И Ч Е С К А Я
	Б И Б Л И О Т Е К А GeOP

Отметим	еще, что для	l£Rn
			i		а. 16)
	Д ( / ) / ( * ) =	И	^-§-(x	+ tl)dt.	а. 16)
Пользуясь (1.12), проверяем, что (1.15) имеет место и тогда,
когда / дифференцируема в обобщенном смысле.
Отметим	сейчас в нужном		для дальнейшего виде		свойства од

ного класса дифференцируемых функций, введенного О. В. Бе

совым [10]. Пространством Blp{Rn),

I >

1, называется

замы

кание множества

бесконечно

дифференцируемых

финитных

функций по норме

|| и||^

|| и|| L

\\u\\bi.

» f < * > ( - s - r .

-dh

a-17)

, l+p(/-m)

где ft, m — целые

числа,

удовлетворяющие

условиям

0 <

m <

ft >

/— т.

Отметим

[9], что выражения (1.17)

при

различных m,k

дают эквивалентные

нормы.

Известно, что

для и £ Blp

(Rn)

существует

обобщенная

произ

водная Da

и и выполняется оценка

« D ^ W c

^ « e

i i ^

+ ^ « " n ^

( 1 Л 8 )

если

только 9 > р,

| a | <

Z —

— •

Здесь

— 1 - г ( 7 - 7 + ' а

1 ) '

б =

1 - 8 '

Я — произвольное

положительное

число.

Лемма

3. Пусть

f, (А) = (/п (/г), . . . ,

fin

(h)) £Rn,

i =

. . . ,

hi (^)—непрерывные

функции,

удовлетворяющие

при h >

условию

}ц Ф) | < ^о' 1 " s — положительное

число.

Тогда

при

выполнении

неравенств

q > р,

в > 0,

s <

/е,

s < а

для

и£В1р (Rn) имеет

мес

то

неравенство

со

dh\

l+qs

—6-4-	(1.19)

с постоянной

С,

зависящей

только

от

р, q, I, s, К0, п,

где

е, б, Л

такие же, как и в (1.18).

Д о к а з а т е л ь с т в о

неравенства

(1.19)

полностью

ана

логично доказательству

неравенства (15) работы [64], и поэтому да

дим только его набросок.

Достаточно установить (1.19) для гладких функций и (х). Дока

зательство основано

на

следующем

интегральном

представлении

(см. формулу

(7)

[64]):

Dau(x)

/;- (")

(1.20)

I0(u)+%b^-i± dv,

где

/=1

IQ(u)=A\

. .

и(х

y)R0(y,X)dyl.

..dyn

i_ j

V 1

—tjj

X dxdyx

...dyn,

b. — постоянные,

0 <

m < /,

k >

/ — m,

и для ядер Rc

справед

ливы оценки

\0\(х,()\<С^

„

(n+lal+IPl-m+l)

\D%(x,x,v)\<Clv

j =

1 , . . . , п.

(1-21)

Здесь и дальше через Ct обозначены

постоянные.

Из соотношения (1.20)

получаем

|| А (/, (h)) ...A(fa

(h)) Dau

| | ^ ( д П ) «

С2 { || Д (/, (h))

Atf„ (Л))/0 И1£	№ » , +	£ A if, (А)) • • • A (f0	(Л)) f	do \|	+

	*	/-1	с/
+ J	М М Л ) ) . . . A (f„ (Л)) { -		^ do II	} •	(1-22)

2*	1».

<<< < Предыдущая 12 / 232 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ