книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

произвольной функции

и (х) и произвольных

чисел г,

s,

Я,

удовлетво­

ряющих

условиям

/о ( # ) < + оо. Тг/Н)

< +

оо. г <

1, 0 <

0 (г + -£

-

2)

< SV N

4 m < s < C 0 , 0 < Я < — ,

0 < Я <

d

конечна

величина

Jr,s

(Я, я))) и имеет

место

оценка

ГГЛ (Я,

<

СК^

• {/„ ( Я ) } 7

. {7 s

(Я)}Т .

(1.83)

Здесь сохранены

обозначения

формулы

(1.76).

лемм 12,

Второе условие из (1.77) возникло при применении

Вместо (1.60) и (1.65) при 0 < р <

c J /

. _ можно получить со-

ответственно

£ \w(x)]Q\A(ll),..A(lk)Deu(x)\^C

£ | Д ( / , ) .

Д(?,)х

|р|«="»

|В|=т

X {[w (х)?1?и

(х)} | + CR3

(р.,

(1.84)

£ [ш U)]Q | Д (I) Dp u (х) | <

С £

{| A(l)[wQ(x)D^u(x)]\

+

I3l=m

iei=m

\A(l)[w(x)f\

= p j

[(1 +

*Д (0)

w(x))Q-1

dt-A(I) w (x)

<S 3 p [ a T 2

( * +

0-5

\A(l)D°u(x)\.

0 + a '

Ml

£

|6|=m

Вначале получим из основных неравенств связь между

j ' ,

s

(Н, ар)

при

различных

значениях

г,

s,

Н,

о|з,

предполагая,

что

эти

вели­

чины

конечны.

Пусть

и—обобщенное

решение уравнения

(1.27),

Лемма 17.

удовлетворяющее условию (1.28) и пусть выполнены

условия

(1.29)—

(1.31), / а ( х ) £ £ Р , ( / ? л )

при

pQ

>

Пусть

гр (л:) — некоторая

функ­

ция

класса C°f (Qd),

0 < d < l , «

последовательность tyk(x),

k =

=

1, . . . .

2т +

1 такова,

что

выполнены

условия

(1.66).

Предпо­

ложим, что для некоторых чисел г, s, Н, удовлетворяющих

условиям

г 3 * 1 . r + i - 2 > 0 , 4 т ^ 5 ^ С 0 л ,

0 < Я < Т

^ г

а

(mv

т

определены в §3, 4), конечна

величина

Тогда

при

0<Н<

2 ( m ^ _ m i

) ,

P =

| [ r

+ ( f - - 2 ) ( l - e )

f

1],

a

= i -[s+20 .91

+

2 ( m

i

+

m)]

конечна величина /Q, а

(И), а следовательно,

по теореме 2 uJ'Q

а

(Н,

а|э), и имеет место оценка

Jl

а

(Н,

ф) ^

СН-2п

(гК-Г

•

Но ( £ ) У Ч < , СН, %-т+1

)}f,

(1.85)

где т

зависит

только

от

т,

п; s±

определено §4,

q то

же,

что

и

в теореме 2,

и постоянная

С зависит только от т, п,Тр, р,, CQ,

Р - 2

Р - 2

I

[w (х +

(x/i)] 2 [Vy

(х, h)]r = [w (х)] 2

[Vy (x)]r +

( [w (x +

+ Vh)\~

- [w (x)]

[Vy (x)]r + [w(x

+ vh){~

([Vy (x, h)]r -

~[Vy(x)]r)

4*

51

и легко проверяемых

неравенств

Р—2

р—2

С р—3

[вв(х + |хА)1 2

— [»(*)] 2

< С | а у 2 (х+цп)

+

|[Vv (jt,

h)Y —lVy(x)\r\<Cr\Vy

2 (x, h) +

v'y 2 (x)j) | A M ) D v u ( x ) |

Л

получаем

Р - 2

Р - 2

J w (x)]

2

\Vy (x)]r (Ap (A) £>a u (A:))2

< С [w(x + fiA)] 2

[Vv (x, h)f

X

(Г

P ~ 2

P - 2

1

,

X{^(h)Dau(x)f

+ Cr2[[w

2

(x-ffxA)+a> 2 (x)\[Vv

(x)+

+

{x, h)\ +

(x + цА) +

af*~ (x)] [V'v (x) + Vry

(x, A)]) x

X I

S

|Д ([г A) D° u (x)|2 ( m

+ m i ) + I

|Д (tJi) Dyu (x)|2

<"•+».># +

+ lAP (A)Da «(x)|

( I 8 6

)

2

i

f ^ . ( i y v м Г 4 " 6 ^ ( A T 4 * 1

ДО^Лй«dx<

|V|=|a|=m(=l О

Й

< С г 2 л 2 + 2 Л

' 0 * Л ^ . ^ . й = 0 .

(1-87)

При

этом

интеграл

J - р т г J

I Ар (A) fe (х) | 2 [Vv (x, Л)ГЧ»* (*)

^

о

a

Г

г_ЛР=±

1|

г

л, р - 2

д т + т , [У

(Х)12 4

D""

m+m,—1 m+m, г , Р—<

Отсюда

и из (1.87)

следует

Г+Г.+1

2

2

J

hl+n

J

1=1

|V |=|al=mO

Я

т т,

т/1т г'

^ ,

(1.89)

< с г

^ ; , 5

( я ,

р — 4

где г г =

—g—,

т 2

=

2 (т + JV +

1).

части

j .

(х)

Дальнейшее

преобразование

левой

(1.89) вводит ^

под знак разностного оператора и проводится

на основании

нера­

венства

г+г,-Ц

К+т'

\lVy(x)]

+

*

Dawfi

(х)

<С{|А?m+m*llVv(x))

2

Dau] X

s

m+m,

r+r,

—(m+m,i

X^i.x)\

+ r(rK2-f+n"

S

V

(* +

ftM)*f

2

X

|V|=|a|=mft,,ftr=fO

m+mi—1 m+m,

m+m,

i(

/=12

fe,=0£

|A|(ft)Da «(x +

A36.A)|

'

+

+

Л т

+ т , У у ( х +

А,е .й)|.

a.90)

<

f+r,+l

W v ( * ) l

2

оценивается

по неравенству вида (1.88),

а А*{т|)2

(*)} представля­

ем

по формуле (1.15)

и затем

непосредственно

оцениваем.

Из

(1.89) и (1.90)

получаем

2

" " dh

m i V v + 2 + ( * ) D a ^ 2

(*)'

2 j ^ + r l A r +

|7|=-|a|=m £=1 0

Я

и,

следовательно, при любом 0 < k < 2m, 0 < -v < m

П

H

dh

f f ~l "r '"t "'

r+[m,+m—v)

2

2 J J ^ J A T H V ,

' ( * ) D * ^

d x «

=|a|=m

10

Я

(

(1.91)

рез У*s (Я, ^ 2 m + I ) ,

если

6

г +

г

+ 1

0

s

т. е.

у (Р + гх) =

*

. у ( а — 2S ] ) = у + щ + т,

Р = T [ r + r i ( 1 _

0 )

+

1 ] '

a = y [ s +

2si e+2(m1 + m)].

Получаем

/0 . , Й

<

С / ^ - Я - А ^ - / ; ,

(Я, г|)2 -+ 1 ).

И, окончательно,

из второго основного неравенства (1.76) следует

У; JH. ф) < С г 2 ^ + - я - 2 " / с | - 4

т + 4 ' " '

{/о (Я) Г

{У;_ s (Я, г!>2 -+ | )}V,

(1.92)

что

и доказывает

лемму.

Отметим,

что из

условия

(1.28)

сле­

дует

/ 0 (Я ) < + о о .

Из леммы 17 можно

получить ограниченность Jr,s

(Я, о|э) при

всех г, s, Я и соответствующем выборе

если известна

ограничен­

ность этой величины при некотором

г, удовлетворяющем условиям

г >

1,

г + -£ — 2 > 0 .

(1.93)

Это

легко увидеть

из

того, что р > г. В дальнейшем

этот

факт

будет проверен при специальном выборе

функций tyk(x).

Нужно доказать ограниченность У;,s

(Я, т|)) при некотором г,

удовлетворяющем

(1.93).

вается следующая

лемма.

Лемма 18. Пусть выполнены

все предположения

леммы 17, кроме

г > 1. Тогда при

\г\ <

С„, 4

m < s < С0 имеет

место

оценка

TQ а (Я. *) < С Я - 2 "

* ? - {/„ (Я)}? {У;. (Я, ^ + 1 ) } Т >

0-94)

г < 1 , 0 < г +

Р

1

— — 1 <

4m < s < С0 ,

Тогда

при 0 <

Я < 2

(т

+ т )

конечна

величина

j ' Q , а (Я, г|?) и име­

ет

место оценка

?; а

(И, ф) <

С / Г 2

" * |

{ у 0

(Н)}7 {7Г<,

(Я,

^ 2 - + 1 ) } 5 " )

(1.95)

где

р, о

определяются

так же, как

в лемме

17

Теперь

легко

установить

ограниченность У*s ( / / >

^

д л й

Про_

извольной функции

ф£С<Г(£22<0 Д л

я

г>

удовлетворяющего

усло­

виям (1.93). Легко видеть, что для произвольного числа

fe0

мож­

но

указать

К,

зависящее

только

ot_k0,

и

последовательность

ц>\к)(х),

k—

1,

.

.,

k0,

i

=

0,

. . .,

2т +

1, такую,

чтобы ср'*> (х) £

^Co'(Qd),

и для

произвольного г/£-R".

\у\ < 2c"~1mijL

выполня-

лись условия

К

f ^ f l r + ^ ^ w ,

Ф & * + 1 ) ( * ) * Ф < | + 1 < 4

Ф ^ М ^ Ф И .

а. 96)

0 <

Ф

[ й (х) <

1,

р а ф ! й )

(*)| <

С (*)'"'

при

|а| <

«.

где

С — абсолютная

константа.

Лемма 20. Пусть

и (х) — обобщенное

решение

уравнения

(1.27),

удовлетворяющее условию (1.28), и пусть выполнены условия

(1.29) —

(1.31).

Существуют

г,

удовлетворяющее

условиям

(1.93),

и

числа

К,

s, v, К, зависящие

только

от т,

п, р, такие, что для произволь­

ной

функции

ф€Со*(Й2й)

имеет место оценка

~d.

У ~ Г ( Я ,

v X C ^ I J

{IQ(H)t

•

(1.97)

при Я =

К

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Последовательность

ц>\к)(х)

выбираем

так, чтобы удовлетворялись условия (1.96),

число

k0

укажем ни­

же.

Выберем

вначале

г< 0 )

=

1

£• + gy=^">

s < 0 > =

При г = г( 0 ) ,

s = s<0),

i|) =

ф(п*°', Я = Я = ~

выполнены все предположения лем-

К

мы 19.

Ограниченность

У*(0) s(0) (Я, Ф^+i)

следует

из

условия

(1.28) и имеет

место оценка

j'riobm

(Я, Ф £ > + 1 ) <

С {/„ (Я)}**

(1.98)

Из леммы 19 получаем ограниченность

J'^

S ( D ( # ,

Фг^-+11)) при

г<"= 2 -1+ww

s < 1 > =71 1 + 2 9 5 1 + 2 <m*+ «и

и оценку

^ i ) . s<»

Ф^Т!') <

С (^J*

{/„ (tf)} x \

v, =

2л + т\

Х] =

q + Xf

г =

(1.99)

Значение

г(|>

удовлетворяет

второму условию

(1.93)

и

если

г*1* >

1, то

утверждение леммы

доказано,

так

как

легко

видеть,

что

У* s (Я,

<

У*s

(Я, ф)

при

г ^

1.

(1.100)

Если

r(1> <

1,

то

применим

лемму

18

при

г =

s = s<'>,

Н =

= я = 4,Ч>

=

Фо*° - \

/С

Получим

rAi)

s ( 2 , (я, Ф «^>) <

с (^)V '

{/0 ( я » ч

а. Ю1)

v

г

= V

l - f A

K=q+^,

r<2> = 2

— — +

9

i

\

f 1 +

—l — ),

I

T E

2

ч

-i e

2

80КЛ7

s(2) =

= | , s ( i ) + 2 ( 6 s 1 + m 1

+

m)].

Если r( 2 ) меньше единицы, продолжаем

дальнейшее

приме­

нение

леммы

18

и после /

шагов

придем

к

оценке

К<Л.4П Ш, ф Г ~ / + 1

) )

<

c f e P {/0 (Я)}*/.

(1.102)

где

V j =

V l

+ - b l ,

b j a q + J = L f

A1) — 9

£ 4- -L 4-

— 4-

I

1

i

1

~

2

+

e ^ e2

• • • + e'-1

+

e^yr'

e(/> =

I

[s<>-'> +

2 (0S l + щ

+

m)\.

Теперь достаточно выбрать k0 так, чтобы

И*"—1) <

1, r<*»> >

1 и

неравенства

(1.100) и (1.101)

при / = k0

закончат доказательство

леммы.

Основной

результат параграфа дает

такая

теорема.

Теорема

3. Пусть и (х) — обобщенное решение уравнения

(1-27),

удовлетворяющее

условию

(1.28). Предположим,

что функции

Аа(х,

%) непрерывно

дифференцируемы

по всем

своим

аргументам

до по­

рядка

[2-J + 1 при х £ Q,

I £ RM

и

удовлетворяют условиям

(1.29)—

(/.5/),

fa

(х) £ Вр2' (Rn), р0

>

I"

Тогда для произвольной

подобласти Q'

области

Q такой,

что Q' a

Q

vrai max \Dau(x)\,

\а\ = т

xiQ'

оценивается

постоянной,

зависящей

лишь от С0, Cv

С2 , п,

т, р,

Pv

11/а11в^(«п) • И"Фо|1 m+!L>

d'

— расстояния

Q'

до

границы

облас-

ти

Q. Здесь

<р0

(х) — произвольная

функция

класса

С~ (Q),

равная

единице

в Qd, d = — .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

g(f)

— произвольная

функция

класса

С"(R1),

равная

единице

при

1, нулю при

0 и пусть

0 < g ( 0 < 1- Определим

при & =

1, 2,

. . .

последовательности

3 * -

2

1 - е

0 ft

s

,

2§sx+ 2 (m! + m)

= ^ T

+

1 — 6

*

Afj

v

\8* - ^(1 — 6)M

где

2m+l

2m -2m+l

M x = 2 £

[(2m)' +

df t =

d [ l - 6 + 0fe],

M 2 =

i

—

|

,

числа r, s, К указаны

в лемме

20, 0 — в теореме

2

и

т\, т

определены в § 3 , 4,

x0£Q'.

Получим

рекуррентное

соотношение для

^ = У1"А(Я*.Ф*)'

( Ы

0

3 )

Здесь q то же, что и в теореме 2, М0 = 2п+

2т + nq,

С— по­

стоянная,

зависящая

только

от т, п, р, pv

CQ, d, Си

С2,

|| / а

\\ВР0.

Определим для

i

=

0, 1,..., 2т + 1

d

k , i - \ x

- 4 \

где

d w =

d | l - e

+

9

4

2

^

[(2m)'- +

7<] (1 -

9)

.

Проверим,

что для

Ф М

_ ,

(x) Ф М

- {x + у) =

ФЛ ,( _, (*).

(I-105)

В самом деле,

если

Тогда

qy( -_iM=5^0. то |JC — х0\

<dkft_x.

lx + i / - x 0 | < c i f e i . _ , + 2'--1m'- е

^ ( 1

- 9

)

<

1

« * *

i -

i

Qk~2d

(1 -

8) == d M

-

^

t#-*d

(1 - 9) .

Тогда Ф А , (х + г/) =

1 и отсюда следует

(1.105).

Отметим еще,

что

ЧУ О М

>

Фй W .

ФА.2Ш+1 (*)

=

Ф*_1

(*)•

о < Ф w

w < 1,

I D a y k l ( x ) i < ( ^ e - ^ - 1 ) 1

a i

при фиксированном k и £ = 0, 1,

27Й + 1

последователь­

ность ФА.ДХ) удовлетворяет условиям (1.66).

Предполагая L A _ , ограниченным,

видим, что

выполнены все

непосредственно следует из

(1.85). Отметим только, что

/ 0 ( Я А ) <

<Н-п{1й{Нх)).

Индукцией по k

из (1.104) устанавливается оценка

L f t < C ' - 9

{/0 (Я,)} ^

X

в~* + 1

fc4-1

*

Х б

( 1 - 9 > г

•

d~ye

{/„(Я,)}*6

. (1-Ю6)

где v, X те же,

что в

лемме

20.

При k =

1 оценка

(1.106) сле­

дует из (1.97).

k =

Из

(1.106)

получаем

при всех

1, 2 , . . .

откуда,

зная

выбор Lf t

и замечая, что все функции

ц>к(х)

равны

единице в Bd(t_g)(xg)—

шаре

радиуса

d ( l — 8) с центром

в х0,—

имеем

1 J

)]Vkdx\Qk

<C*,

| v | « m ,

(1.107)

tV*:

lBd(i-e)<V

где С* зависит

только

от С0 , С р

С2 , т , /г, р,

Утверждение

теоремы

следует

теперь

из

(1.107) и легко

прове­

ряемой

оценки

I

vraii max

I Dyu

(x) | <

lim I

i

Г

i v

[Vv {x)\k

dx\ 'Qk

u-e)«0>

^

K

I

vrai max | D«u (х) | < F J || и ф о U ^ j ,

( J ш 8 )

Пусть xQ — произвольная

точка Q, d0 — расстояние

от х0 до

границы Q и пусть d= min j - y - , l j . Согласно теореме

3 можем

считать выполненной

оценку

vrai

max

V | Dau (х) | < М*

(1.109)

*******

Ы=т