книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

где

Л, Т определяются

формулой

(III.5), непрерывен, ограничен и

для

всякой

последовательности ип,

слабо

сходящейся

к

и0,

из

lim

( Аип,

ип — и0 ) <

0 следует

сильная

сходимость

и„

к

и0.

Определение 2. Оператор F,

определенный на множестве

DczX

со значениями в X*, называется хеминепрерывным, если для

u € D ,

и € Х , вещественного t, таких что и

+ tv £ £>, при t -*• О

F (и + Iv)

F

{и).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть ип

— произвольная

сходя­

щаяся к и0 последовательность.

Покажем,

что Аип ^> Аи0.

Пере­

риации

А

имеем

для

произвольного v £Х,

=

1,

0 < t < 1

с не­

которым R-.

(Аип

— А (и0

+ iv), ип

— и„ —

to) >

— С (R,

|| ип

— ы„ — го||')-

(111.15)

Переходя

к пределу

при

/г->оо,

получаем

< h — А (и0 +

tv), —

tv)>

— C(R,

\\(v\\').

Разделим

последнее

неравенство

на — /

и

перейдем к пределу

при

t

+

0.

Имеем

( к — Аиь, о ) <

0,

Пусть D — ограниченная область

в X с границей

S. Считаем,

что границей

пересечения D произвольным

конечномерным

подпро­

странством пространства X является полиэдром, хотя от этого пред­

положения

легко

избавиться [81] и дальнейшие

результаты

верны

без него.

А : S -> X*

Предположим,

что нелинейный

оператор

демине-

прерывен,

ограничен

АифО

при u£S

(III. 16)

и оператор

А удовлетворяет условию:

ип

£ S,

а) для произвольной

последовательности

слабо

схо­

дящейся

к и0,

из

Пш( Аип,ип

— и0 ) < О

п->ео

следует сильная сходимость иа

к

и0.

Условию а) удовлетворяют многие важные в приложениях опе­

раторы. Отметим, в частности, что этому условию

удовлетворяет

оператор

С + В + Т, где С—сильно

монотонный,

В — ортого­

нальный,

слабо непрерывный,

Т—вполне

непрерывный

[51, 72].

Определим

при

указанных

предположениях

вращение

поля

Аи на S. В дальнейшем наложенные условия будут ослабляться.

Пусть система vit

t =

1,2, . . . , образует

полную систему про­

странства

X. Можем считать ог линейно независимыми и через Fn

обозначим линейную оболочку элементов vly

, , . ,

vn.

Определим на

векторное

поле

(Da(u) = fi(Au,vt)vr

(Ш.17)

Лемма

4.

Существует

Nx

такое,

что при n^Nt

поле

Ф п (".'

не обращается в нуль на

Sn.

пусть

существует

последо­

Д о к а з ы в а е м

от

противного:

вательность

uh

такая, что

Можем

считать,

что

последовательность

uh

слабо

сходится к

некоторому элементу

и0, и покажем,

что эта

сходимость

силь­

ная. Выберем последовательность wh£Fnk

так,

что

wh->•«„.

Тогда

{Auh,

uh

— u0> = (Auk,

wk

— и„)

Из леммы следует, что при п >

Л'х определено вращение конечно­

мерного поля Ф„(ы) на Sn.

Понятие

вращения

конечномерного век­

торного поля рассмотрено в работе [81).

Лемма

5.

Существует

М

такое,

что при

п >

Л',,

вращение

векторного поля

Фп (и)

на

Sn

не

зависит

от

п.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

на

Sn

векторное

поле

Ф„ («) = ф „ _ , («) +

<Л„. u)vn,

п>

Ny

Здесь

hn

определяется

условием

(h,„ vh)

=

б*.

k<n.

Из

леммы Лере—Шаудера

[81] следует,

что

вращение

полей Ф п

на

Sn

и Ф„_,

на Sn_,

одинаковы.

Утверждение

леммы

5

будет

доказано,

если

проверим,

что

при

достаточно

больших п

поле

Нп

(и, 0 =

'Ф„

( и ) + ( 1 - / ) Ф п

( и )

не обращается в нуль при

u£Sn, t£[0,

1].

Предположим

про­

тивное: существуют последовательности

uk,

tk

такие,

что

Hnk(uk,tb)

=

0,

uh£Snk,

tk£\0,

I ] ,

nk-+oo.

Имеем

(Auh,v()

= 0,

l < / < / z f t — 1 ,

*fc ( Лик , on j k ) +

(1 - th)

(пщ,

M f t ) = 0 .

(III. 18)

Из

леммы

4

следует,

что 0 < th <

1. Можем

считать

после­

довательность

ик

слабо

сходящейся

к

некоторому

и0

и

пусть

Тогда

(Auh,

uh — ы0 ) =

( А П 4

, ы ь

) 2

- f (Au h , wh

— ы 0 ) ,

откуда в силу

условия

а) получим

сильную

сходимость

после­

довательности uh и аналогично лемме 4 противоречие

с

усло­

вием (III. 16).

wt — другая

Через Еп

Пусть

теперь

полная

система

X.

обо­

значим линейную

оболочку

элементов

wv

..

.,

wn

и

определим

на Sn

= SQ £ ' 7 l

векторное

поле

п

Чц(") ==

^(Au.w^Wy

Лемма

6.

Существует

N3

такое,

что при

я >

Ns

вращения

полей

Ф„ на

Sn

и

Wn

на

Sn

совпадают.

Я ' 1 ' (и, 0 = Ф„ (и) +

(1 - 1 ) ¥ («) +

/ £

(g\n>, и) W

p

Я<2> (и, t) = (1 - /) Ф„ (и) +

Y „ (и) +

/ £

</*">, и ) 0

(

не обращаются в нуль при

u£S[]{Fn

+ Enl

/GfO.l].

получаем

Hlnl(uk> fh) = °.

% д о ­

(Auk,

Vi) = Q,

l < t < n f e ,

( l - g ^ « f c

, ^ + / f e < g [ 4 « f e > = °-

Пусть

э-и0

и выберем

wh£Fnk

так, чтобы ш й - >и 0 . Тогда

"А

(Auk, uk-u0)

= - J

A

r V (£<»*>, uky

+ (Auk,

wk~u0).

к

Отсюда и из условия а) получим

сильную сходимость

последова­

тельности uk и дальнейшие рассуждения

те же, что и в лемме 4.

Из сказанного вытекает такое определение.

Определение

3. Вращением

поля Аи

на S назовем

вращение

векторного

поля G>N (и) на SN

при N >

N2.

из

" „ . ° „ e x .

К Н < 1 .

Il»„ll<i

l l « - + o J K 2

вытекает

\\ип — vn

||

0 и аналогично

для X*.

Рассмотрим дуальный

оператор J,

сопоставляющий

элементу

и£Х

функционал

Ju£X*

такой,

что

У

и П. =

|| и\\,

(Ju,u)

=

\\и\\*.

Дуальный

оператор

рассматривался

в

работах

ряда

авторов

(М. М. Вайнберга,

Ф. Браудера и др.). Однозначность и непрерыв­

ность этого оператора следует из работы [47]. Оператор

J—монотонен:

(Ju

— Jv,u — v)

= ||"||г + || и Л2 — (Ju, v) — (Jv,u)

> 0.

Проверим теперь условие а). Пусть

последовательность

и.

слабо

сходится к

и0

и

(Jut, ц ( _ и 0 ) - * 0 .

Можем

считать,

что

Juc

слабо

сходится к hQ, \\и.\\

сходится

к С0 .

Тогда

(Jut,ut)

=

{Jut,

и. — и0)

+

(Jut,u0)-+(h0,u0).

Отсюда следует,

что

|| uQ

|| = || hQ

|| =

С0 и сильная

сходимость

ut,

если иа = 0. Если и0

Ф 0,

то

сильная

сходимость

ыг следует из равномерной выпуклости

X.

Теперь

покажем,

что

понятие

вращения можно

определить

и

освободиться

от некоторых предположений на

пространство

X.

1. Пусть

X — действительное, рефлексивное

банахово

про­

творяет всем

сформулированным в

начале

параграфа

условиям.

Обозначим

через F (X)

множество

всех

конечномерных под­

пространств X. Множество

F(X)

упорядочено

по

включению.

Пусть

F£F(X)

и vl,...,vJi

— некоторый

базис

F.

Определим

на SF

= S[\F

векторное поле

к

Фр(и)

= У(Аи,

v.) v..

t'=i

Можно доказать существование F0£F(X)

такого,

что

при

FZDF0

поле ФР(и)

не обращается в нуль

на

SF

и в р а щ е н и е . ( и )

на Sp

не зависит от F. Это утверждение следует из леммы.

Лемма

7.

Существует

F0£F(X)

такое,

что при

Fz^F0

мно­

жество

пусто.

Z£o = {u£Sp:(Au,u)

< 0 ,

(Au,v)

= 0

при

v£F0}

F0£F(X)

Предположим

противное:

для

любого

существует

F1£F(X)

такое,

что

Z p ^ 0 .

Тогда

система

множеств

{G£J I ') }1

F£F(X),

где

и G^"0

— слабое

замыкание

GF,

центрирована

и

из

рефлексив­

ности

X

(см. [44])

следует

существование

такого

и0,

что

"об

П

^С "') -

( Ш Л 9 )

Покажем,

что u

0 £ S

и Лы0

=

О. Это

даст

противоречие с

имею­

щимися

предположениями.

Пусть

w — произвольный элемент

X и возьмем

F0£F(X)

так,

чтобы u0£F0,

w£F0.

Из

(III. 19) имеем

u0£GF"">

и,

следователь­

но,

существует

последовательность un£ZFFn,

Fn^>F0

такая,

что:

и

слабо

сходится

к

ип,

unfS„

и

( Л о , , ^ )

< 0 ,

(Лил ,ц0 )

= 0 ,

<Лип ,ш>

= 0 .

(111.20)

Последовательность

и п

сходится

сильно

к

и0.

Это

следует

из

условия

а) и

(Аип,ип

— и0)

< 0 .

Теперь

из

(III.20)

имеем

(Л«0 , до) =

0,

" n £ i .

и

в

силу

произ­

вольности

w,

получаем Аи0

= 0, что невозможно. Это

доказывает

лемму.

Лемма 7 позволяет называть вращением поля Аи

вращение поля

ФР

(и) при

F ^

F0 .

определено

и для

случая

не-

Таким образом, вращение поля Аи

сепарабельного пространства X.

Замечание.

Доказательство леммы 7 показывает,

что оператор Л

не

обязательно

предполагать

ограниченным.

2. Пространство X ранее предполагалось рефлексивным. Можно

определить понятие вращения и для поля Аи,

где Л — нелинейный

оператор

из X* в X, удовлетворяющий

аналогичным

сформулиро­

ванным

выше, условиям,

не

предполагая

X

рефлексивным.

Рас­

суждения

при этом аналогичны проведенным выше. Нужно

только

ловию а). Пусть D — ограниченная область в

X с границей S,

А : X ->- X* — хеминепрерывный

ограниченный

оператор с полуо­

граниченной вариацией, Т : S

X* — вполне

непрерывный опе­

ный оператор Аи

: S -> X*, удовлетворяющий условию а).

Если Og (А +

Т) S (черта

обозначает

сильное

замыкание), то

можем определить вращение

поля Аи +

Ти на 5

равным враще­

нию поля

также от выбора

А0.

случае,

когда

4. Рассмотрим теперь векторное поле Аи в том

оператор

А действует

из X в X и обладает свойствами, аналогич­

ными

накладываемым

выше.

Используется подход, основанный на применении

дуального

отображения J : X -> X*. Этот подход

применялся в

ряде

работ

[20,

30,

1191, где получены

некоторые

условия

разрешимости

уравнений с ./-монотонными операторами. При этом

предполагает­

ся, что банахово пространство

X рефлексивно

и допускает аппрок­

симацию

[30]: существует система ({Fn},

{Рп}),

где

Fn—конечномер­

ные подпространства X и Рп—

проекторы X на Fn

такие, что при

п >

1 dim Fn =

п,

п

Предполагается,

что

дуальное

отображение

/ слабо

непрерывно

Пусть D — ограниченная

область

в X с границей

5 и А: S-»-

-»-Х— ограниченный деминепрерывный

оператор,

удовлетворяю­

щий условию: а*)

для

произвольной

последовательности

ut 6 S

из ut— >-ы0 и \\m(J

(ut—и0),

Аих) <

0

следует ы г - >и 0 .

f->co

Предполагаем, что уравнение Аи =

0 не имеет

решения на 5.

Выберем некоторый

базис

иг,...

,vn

пространства

Fn.

Пусть

п

Pau~Y(ht,u)vlt

ft(eX*.

и рассмотрим

на

Sn

= S[)Fn

векторное

поле

л

Х „ ( " ) =

£

(hl,Au)vl.

i=l

Лемма 8. Существует N такое,

что при

n>N

поле

хп(и)

не

обращается

в

нуль

на

Sn

и

вращение поля

%п(и)

на

Sn

при

я > N не зависит

от

п.

Д о к а ж е м

сначала

первое

утверждение

леммы.

Предполо­

жим противное: пусть

существует

последовательность

uk

такая,

что

Ч

Ю

=

о,

ukesnk,

nk-*oo.

(ш.21)

Можем считать, что существует и0£Х

такое,

что

uh—^u0.

Пусть

еще wh такая последовательность, что

О У Й - > - И 0

, wh£Fnk.

Обо­

значим

через Р*„ сопряженный

к

Рп

оператор.

Легко проверить,

что Р„У« = / и

для

произвольного

u£.Fn.

Тогда

из

(III .21)

по­

лучим

(J(uk

— wh),

Auh)

=

0.

Отсюда

следует

(J (uk — и0), Auh) = (J (uk

— u0) — J (uk

— wh), Auh).

Так как правая часть стремится к

нулю

при

ft->-oo,

то

из

условия а*) получаем сильную сходимость

uh

к

и0.

Тогда

из

(111.21) получим Ли 0 =0,

и0

6 S,

что противоречит предположениям.

При

доказательстве

стабилизации вращений

полей

%п

анало­

гично лемме 5 проверяем, что при

больших п

поле

Нп{а,

0 = ^ > )

+

( 1 - 0 х > )

не

обращается

в

нуль

при « £ S „ ,

t 6 [0, 1]. Здесь

~

л—1

Х

> )

=

£

{ht,Au)vt

+

{hatu)va.

i=i

th

Предположим

противное: существуют

последовательности

uh,

такие, что

# л , К Л )

=

о. « * € s v

tkeio,

i ) ,

nk^oo.

Имеем

(h{, Auk) = 0,

l < f < n A — 1,

(Ш. 22)

uk — V

и,,

и выберем

последовательность

wh так, чтобы

п

Легко

проверить, что

для

произвольного

и 6 Fп, и = V c.v(, Ju оп-

ределяется

равенством

л

где sign cn

= sign dn. Тогда

из (III.22) получим

(J(uk

— wk), Auk)<

0.

получим сильную сходимость uh к u #

и придем к

противоречию.

Это заканчивает доказательство леммы

8.

Из леммы 8 следует, что естественным образом

можно

опреде­

лить вращение поля Аи на S, считая

его равным

вращению поля

Х„(и) на Sn

при п > N.

удовлетворяющим

условию

Одним из примеров оператора А,

а*) является оператор / — К — F, где / — единичный и F — вполне

непрерывный

операторы, а К — строго

сжимающий, т. е.

\\Ku-Kv\\<q\\u~v\\,

q<l.

где С—такая же функция, как

в (III.9.)

Пусть

Т :S

X вполне непрерывный

оператор и предположим,

что

0 £ ( Л + Т ) S.

В этом случае можем определить вращение поля Аи

+ Ти

на S

равным вращению поля ги + Аи

+ Ти HaS при достаточно

малом

положительном

е. Проверяется,

что при

достаточно

малом

е

это

вращение не зависит от 8.

6. Отметим в заключение, что развиваемые методы

можно

при­

менить и к рассматриваемым в

работе [121] классам

отображений

А : X

У, где X, Y — банаховы пространства.

В дальнейшем обозначаем X — сепарабельное рефлексивное ба­

нахово пространство,

D — произвольная

ограниченная

область

в

X

с границей

S.

Пусть [0,l] = { / g / ? I : 0 < < <

1}, Л: S х [0,1 ] -> X* — нелиней­

ный оператор.

Будем

говорить,

что А удовлетворяет

условию

а'),

если для произвольной

сходящейся

последовательности

tn,

^n€[0.1], для произвольной

последовательности ип, un£S,

слабо

сходящейся к «0 , из

lim

(А{ип,

tn),

ип — щ)

< 0

следует сильная сходимость ип к и0.

Определение

4. Пусть Ах,

Л 2

: S -> X* — ограниченные

деми-

гомотопными

на S,

если существует

ограниченный

оператор

Л : 5 х [ 0 , 1 ] - > Х *

такой,

что А

(и, Г) удовлетворяет условию а'), деминепрерывен,

А (и,

t) не обращается в нуль на S X [0, 1] и для

u£S:

А (и,

0) =

Лх и,

А {и, 1) = Л 2

и.

Аналогично доказательству леммы 4

устанавливается, что при

достаточно больших

п поле

п

£

(Л (и, t),

vt )

vt

i=\

не обращается в нуль на S

X [0, 1].

ности, справедлива такая

лемма.

Лемма 9. Если

Аг и,

Л 2

и — два поля, удовлетворяющие

усло­

виям определения

4, то их вращения на S

одинаковы, если для

u£S:

\\Ахи-А2и

l<\\

AlU\l,

где ||-|| —норма

в

X*.

9—843

129