книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

Ff =

\f(x)ei{xX)dx,

Операторы Л + , Л+1 — операторы

свертки с постоянным

сим­

волом

в R".

Их свойства

хорошо известны

[36].

о

Покажем,

что сужение v(x)

на

Q принадлежит WP(Q).

Нач­

нем с доказательства включения

v£W™(Rn).

Функция

u£W™(Rn),

так

как

и £ W™ (Q).

Тогда

и

Ап

(А) и (х) яр2"-1-1 (х) £ W% (Rn).

Функция

A+(An(h)u(x)ty2m+1

(x))£Lp(Rn)

и выполнена

оценка

|| Л+ (Д„ (А) и (х)

(х)) | | i p W n

) <

С || А п И ) 2 т + 1 | | и У > Л )

(II-10)

рить,

что

для f£Wp(Rn)

справедливо неравенство

|| F-1

(- Цп + (| £' | + 1)) ^ \\Lp{Rll)

<

С || /

| Ц ( Я Я ) .

Оно

следует

из

F - 1

( - / £ „ + | £ ' | + D ^

= a|-

+ /+2^-,

1 |I ^J-

n

*=i

h

и того,

что

j^T-j — мультипликатор

в Lp [164, 37]. Аналогично

проверяется,

что для

f£Lp(Rn)

имеет

место оценка

II F~l

( - Ип + | £' | + 1 Г ' ^

< С Н / 1 | , ( Л П ) .

Отсюда и

из

(11.10) следует,

что v£Wp(Rn)

и

I I w . I U ,*«, < с

II \

(ft) " W

W I U

(««)•

(П. 11)

р

р

Функция

Л + ' 0 ( х ) Л +

{Ап(А) «(х)^ 2 " 1 * 1 (х)}, а следовательно,

и о

равна нулю при хп < 0,

так

как

Ф (0 ^ F {Л+'б (х) Л+ (Дп

(А) и (х) я | Л + 1

(х))}

допускает

аналитическое

продолжение

по

£л в полуплоскость

Im tn

> 0

и

J | Ф (£',

+ it) \Ч1п < С, где С не зависит от т > 0.

о

рез

v(x),

принадлежит

Wp

(Q).

определяемую

формулой

Подставим в (II.3) функцию v(x),

(II.9), и

покажем, как

оценивать возникающие при этом слагае­

мые. Если

для

мультииндекса

а = (о^, . .. , а я )

выполнены

усло­

вия

| а | =

т

и

ап < т ,

то

представим

a = e i T o ' , с i < n

и, ин­

тегрируя

по частям,

получим

j

Л„ (*, и

, Dmu)

Davdx

=

— j -~

Аа

(х, ...,

Dmu) Da'vax

=

Л а Р (х,

... ,Dmu)De^-

+

Aat(x,

D m « ) l £ > a W

й

401

(11.12)

Для таких a, используя (11.11), получим

при

р =

2

- rjj"

Аа(х,и,...

,Dmu)Davdx

*l\TK(V(^)mu\Y2m+l)(x)dx

+

n—l

В +

(Я0 ) *=1 101="»

|a|<m

'

при

р >

2

|лв (дс,

«,

-

,Dmu)Davdx\<

Й

< С г { ( i + s i o " « w i p 5 ' s | D e ^ f +

В+(^о)

|a|<m

<=1 |0|=m

+

(

1 + 2

\Dau{x)\)P\dx,

V

|a|«m

/

'

где

e — произвольное

положительное

число.

т.

Аналогичная

(11.13)

оценка

имеет

место при

|а| <

Пусть

v — мультииндекс вида (0, . . . , 0, т) и покажем,

как оценивается

стоящий в левой части (11.13) интеграл при a =v.

Преобразуем vt:

vi

(*) = An (h) и (x) Tj5A J m + " (x) -

А Г

[1 — 6 (x)] A+

x

6—843

81

X (An

(h)u(x)tfm+* ( х ) ) ^ " + 1 (x) +

[ЛИ1 -

Л+1 ]

x

X (1 — Q(x)) A+(hn(h)u-tfm+i

(x)) \\>2m+]

(x),

(11.14)

где

л : 1 / = / г ~' [ - ' £ „ - i n

Второе слагаемое справа в (11.14) равно нулю в Q, так как преобра­

зование Фурье

выражения

ЛГ1 (1 - 9 (х)) Л+ (Д„ (h) и(х)

г|>2 т + 1 (х))

аналитически

продолжается по £п в полуплоскость

1 т £ л < 0 с

Третье слагаемое справа в (11.14) будем

преобразовывать, исполь­

зуя равенство

[ Л + 1

- AZ1) f = F - 1

{ [ - цп

+1 с | +

i ] - m - [ - кп

-

-

IС 1-1 Г " ) П

=

2 / 7 - 1

{(| V\

+

\)P

(О Ff)

=

Здесь

для

Р (£) справедлива

оценка

| Р ( £ ) | < С ( 1 + 1С I)-™"1.

Тогда

о2

(х) =

[AZ1

- Л+1 ] (1 -

Э (х)) Л +

(

A

^

+ L

(х)) г | Л + 1 (х)

=

п—1

= S - 4 " t e w

^ 2 m + 1 w

}

+ ё

о

{ x ) ^ l { x ) '

( I L 1 6 )

где

1=1

g, (x) =

-

2F~X l^^-F

{(1 -

Э (x)) Л+ (Kutfm+X

(x))},

g0 (x) =

-

2F~XP (t^F

{(I —8 (x)) Л+ (Д^ 2 " 1 " 1 " 1 (x))} у

-

и для gL(x),

i =

0,

— 1, справедлива

оценка

НгЛ*)1|<+ 1 (^, <

СII Д„(Л)"(х)я13 2 т + 1 (х)|к-{ Л «) .

(11.17)

Используя

(11.14) — (11.17),

найдем

j

4 , (*, и, . . .

, £>ти) (Д-^

и (х) dx =

а

=

j {Д„ (A) Av (x, и,...,

Dmu) (

g ^ X (А) и (x) ^2(2"'+,)

(x)\ +

я

n

n—1

Dmu) (a^-flJr I8t

+

£

К (Л) A, (x,u,...,

W * 2 m + ' ( * ) ]

+

+

ЛВ(А) 4 V

(л,а

Dmu) (з|-|тfe0(x)tf"(x)]} d*.

нивая,

пользуясь

формулами

(II.2), (II.6),

получим:

при р = 2

-р- f Д, (х,

£>т«) Dvt> (х) dx >

я

я

- с

I {2 Sl^r+O + S'^w1)'!^ ( п л 8 )

В + ( Л . ) 7=1 ip|=m

'

ia!«m

J

при р > 2

7Г j Л * (*, и, . . . , £>ты (х)) Dv y (*)

>

я

"Г j ТIА » W (a^f" W f(l + 2l Z>v" |)p-42(2m+1) (x) 4* -

- c

j {(1 +

2 1

в

- . »

д м 2

S K ^ +

(Л>)

lvl<"»

/=1 |3|=m

+

( l +

.

2

\Dyu(x)\Y\dx.

1 V 0'

••'

Лемма

2. Пусть р = 2

и

о

решение

и (х) £ W% (Q) — обобщенное

уравнения

(II. 1),

причем

функции

Аа

непрерывно

дифференцируемы

и

удовлетворяют

условиям

(II.2).

Тогда

и (х) £

(Q)

и

имеет

место

оценка

Ul+

£

\Dau(x)\\2dx

< С

J

/ 1

+

%\Dau(x)\ydx

(11.20)

£2 \

| a | « m + l

J

Q

\

la|«m

J

с постоянной С, зависящей

лишь

от MQ, Cv

С2, т, п, р, Q,

|| ga

2.

Лемма

3. Пусть и (х) £

о

(Q) — обобщенное

решение

уравне­

ния (И. 1).

Предположим,

что

функции

Аа

непрерывно

дифферен­

цируемы и

удовлетворяют

условиям

(II.2).

Тогда

при h > 0

имеет

место

оценка

/1 £ £

Sl^lY | A £ ( A ) Z ^ ( x ) | 2 d * ^

i = l |p|=m

ЙЬ \

|oKm

\"dx

(11.21)

Я

\

\a\<g.m

с

постоянной С,

зависящей

лишь

от М0,С{,С2,т,п,

p,Q,,\\ga\\U2.

Здесь

Q„ — подобласть

области

Q,

состоящая из

всех

точек

Q,

отстоящих от

границы

Q на

расстояние, большее

чем

h.

регулярность

обобщенного

решения

внутри плоской

области Q

(т. е. в предположении

п =

2).

'

•

Будем

изучать

дифференциальные свойства

обобщенного ре­

шения и (х) £ W™ (Q)

уравнения

£

(-

\)mDaAJx,u

Dmu)=

J

( -

l)^DaFJx)

. (11.22)

loc| <gm

|ccl<m

в случае

плоской

области Q, предполагая, что Fa£B%°(Q)

с не­

которым

Р 0 > 1 . функции

Аа(х,1)

при

x^QcuR2,

£ =

: | а | < / я } £ . / ?

дважды

непрерывно

дифференцируемы

по всем

аргументам и с некоторым р > 2 выполнены неравенства

2

4*(* . 9vb > c i n +

isi).', ~*hf\

О"!

|a|=|0l=m

(11.23)

Б

Б

< И,*? (*• 91 v 2 © + И в £

(*. Э I V ©

+

;,i=l

|o|,|Pl.|vKm

+

\АЫ1(х,

| ) | } < С 2

[7(g)]"-1 .

где Сг , С2

— положительные

постоянные, У(£) =

1 +

A

(xt)

d*Aa{X'l)

A

to Э

-

^

^

Замечание.

Второе

условие

в

(11.23)

может

быть

ослаблено.

•Например,

при | а | +

| Р | +

| у | < З т

можем

предполагать

с произвольным р{

< + оо (ср. условие

(1.30));

при ^ > 2

усло­

вие на Л а

(х, £)

может быть

изменено в соответствии

с

замеча­

нием § 1.

Теорема

2. Пусть и (х) £

(Q) — произвольное обобщенное

ре­

шение уравнения

(11.22).

Предположим, что Fa^B2°(Q,),

р 0 >

1,

функции Аа

(х, |)

дважды

непрерывно дифференцируемы

по всем

аргументам

при x £ Q , %£RM

и удовлетворяют условиям

(11.23).

Тогда

при некотором 10 > 0 и (х) £ С"'и (О).

решения

вблизи

гра­

При изучении

поведения

обобщенного

ницы

дО. области О. будет в

дополнение к условиям (11.23)

пред­

полагаться

Ла ( } (х,

I) = Л р а (х,

g) при x£dQ,

| 6 R M ,

(П.24)

|a| =

|Pl = m.

£

(-\)^Da{a^(x)D^v}

=

у

(-

ipD%,

(11.25)

|a|.|B|«m

|a]«m

т. е. для произвольной функции

<р (х) £

(Щ

$

2

а^х)

D*oD*<pdx = $

V

fJPydx.

Q |a|.iP|<m

a

\a\Km

Область

О, сейчас

можем считать

я-мерной.

Предположим,

что с положительными постоянными

kvk2,

&2

>

1, ограниченной

измеримой

функцией

а(х),

а ( х ) > 1 ,

и некоторым "к,

0 < А , < 1 , '

выполнены

неравенства при ц, £,£RN'-

|a|=|PI=m

S

I а«э (*)!<*«•

(11.2

у I S

|a|.|PI«m

KPW-«paWl^e

<kta(x)X\i\\\Z\

I lal.|PI=m

0

Лемма

4. Пусть

решение

уравне­

v (x) £ Wt* (^) — обобщенное

ния (11.25).

Предположим,

что коэффициенты

а^

(х) измеримы и

удовлетворяют условиям (11.26), 3 Q £ C ^

Тогда

при

некотором

q,

k

q =

2 -4- q

с положительным

qQ

и зависящим только

от X,

п,

т,

решение v (х)

принадлежит

(Q), если fa

£ L q

(Q), и

выполне­

на

оценка

M

L , < c A {

£

| | / а ц , ч

( й )

+ 1 | , L J

(и.27)

1

MaKm

>

с постоянной

С,

зависящей

только

от

X,

Q,

т.

Здесь

|| • ||

—

£

D a { 6 a p

D V } =

£ D*ga

(П.28)

|a|=|P|=m

|a|=m

при

£ a € C ~ ( Q ) , ^ = = ± ^ +

- L ,

0 < т < 1 .

выполняется оценка

1

1

{ S I I л С < Ц г

( т >

<

с о {

I !

У*IC«1rW

( I L 2 9 )

Ma|=m

J

l | a | = m

'

с

некоторой, зависящей

лишь

от

й, т

постоянной

С0 .

Здесь

б о

р

= 0 п р и а ^ р , б а Р = 1

при

а =

р.

Оценка

(11.29)

при

т = 0

получается

непосредственно

из

интегрального тождества,

если

подставить

ц> = w.

Оценка (11.29) в случае т =

1 следует из работы [1]. Отсю­

да

легко

получить

по

интерполяционной

теореме

М. Рисса

[82,

63]

оценку (11.29)

при любом

т:

0 <

т <

1. Покажем только,

к какому оператору следует применять теорему

Рисса. Набору

функций

{ga:\a\=m},

принадлежащих

L r

(Q),

ставим

в со-

V D a { 6 a p D ^ = £

D a £

K , - ^ \ D a v

+ Ta\, (П.ЗО)

1а|=|PI=">

|a|=m

|PI=mL

2 J

J

ia+Vl<2m

|V|<m

% (*)> %v W £ ^2"

Л ^ 2

(^) — решения соответственно

уравне-

Н И И

с- D" 2D4v - ^ w

(- Dm 2 o \ = ^ V

lct|=m

\a]=m

Из априорных Lp-оценок

решений линейных

эллиптических

уравнений [1] и теоремы

вложения

получим

I I I \

i m <cl\\v

i u > 2

+

2 1 / . k r . .

J

(И.31)

с постоянной С, зависящей лишь

от Q, /п.

Применим к

(11.30) неравенство

(11.29), замечая, что

1

f(t) I

Ma|=m

|PI=mL

2

J

= s " p j

S (2

KP—^V*+7ekw<i*<

° Й |a|=m MPI=mL

2

J

J

1

P . - 2

{S ft

с

r(x)

1 _

-A ( 1 - й , )

2p.

+

(T)

(Т ) (Й)

1

1

(T)

r(t)

(11.32)

la|=m

l |a|=m

Здесь sup

берется

по всем таким

ft \a\

= m,

что

V

II ft 1Г'(Т'

=

1

r' (x) =

л

( т

)

|a|=m

Оценка

(11.27)

следует

из

(11.29),

(11.31),

(11.32), если

q взять

равным г(т) при

таком значении

т,

что

. Р.—2

1 - £ ( 1 - Я ) ] ^ < , - М 1 г » .

Доказательство

леммы

закончено.

что п —•

Дальше

везде в настоящем

параграфе предполагается,

размерность области Я — равно

двум.

В силу

(11.24),

(11.23)

можно

выбрать

такую

подобласть Я'

области Я,

что Я ' с Я и для

х £ Я \ Я ' ,

%£RM,

2

\Аа^хЛ)-А^(х,1)\<^(1

\1\)р-\

(И.ЗЗ)

\а\=т=т

где Сг — та же постоянная, что и в (11.23). Выберем

произвольно

расширяющуюся последовательность подобластей Qt

области Я,

О < t <

1, так, чтобы

при 0 <

tx

<

t2 < 1

Я

ел Я, о Я ,

с : Я с=Я,

с=Я, т е з ( Я \ Я „ ) <

1,

dQtCzC00,

т е э ( Я \ Я г

) - ^ 0

при

t-*-l.

Здесь

Яг — замыкание

области

Я4 .

Через

ип (х) в дальнейшем

обозначаем

обобщенное

решение

о

уравнения

(11.22), принадлежащее

W% (Я).

Лемма

5. Существует

tr <

1, зависящее от С,, С2 , р,

||ы0 | | т р ,

|| Fa || в р,,,

такое, что задача

£ ( - l ) | a l D a { ^ ( x

D m t , ) - F J = £

( - l ) | a | D ^ a ,

^ « 0

+

^ ' ( Я 4 ) ,

(11.34)