книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

уравнения

Аи + ХТи = О,

(IV.l)

где X—вещественный

параметр.

Назовем

Х0 собственным

числом уравнения (IV.l),

а и0

Ф О,

u0£D0

соответствующим ему

собственным вектором,

если

Аи0

+ Х0Ти0 =

0.

Спектром Л уравнения (IV.l)

называем совокупность

всех соб­

ственных чисел этого

уравнения.

Непосредственно

проверяется

такая

лемма.

Лемма 1. Пусть

А

[а, Ь\ — множество собственных чисел

урав­

нения

{IV.l),

которым

соответствуют

собственные

векторы

и та­

кие, что

0 < о < | | и | | < Ь< + о о .

Тогда

А [а,

Ь] — замкнутое

множество.

Отсюда

следует

теорема.

Теорема

1. Спектр

уравнения

(IV.l)

представляет собой множе­

ство типа

Fa.

це

S некоторой

области G cz

X можем предполагать,

что

поле Аи

не

обращается

в нуль на S.

В противном случае на S

уже

имеется

Теорема 2.

Пусть

G а

X — ограниченная область,

содержащая

нуль

пространства

X,

и

пусть S — граница

области

G — содер­

жится в D0.

Предположим,

что вращение

поля

Аи

на S

отлично

от

нуля

и с

некоторой

положительной постоянной

С выполнено

неравенство

\\Ти\\*>С,

u£S.

(IV.2)

Тогда

уравнение

(IV.l)

имеет

на

S

собственный

вектор.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

vt

— некоторая

полная

система

пространства

X,

Fn

— линейная

оболочка

элементов

v l t ... ,

vn.

Определим на

Sn

= S [\ Fn

векторные

поля

Ф„(«) =

1

(Аи+

Ги,иг )уг ,

i =

l

Vn

л

(u) = V(Au.

vt)vt.

i=i

Из

§ 2 гл. Ill следует: если

поле

Аи + Ти

не

обращается

в нуль

на

S,

то

при

достаточно

больших

п

поля

Vn

(и)

и

Ф п (и)

не

обращаются в нуль на Sn

и вращение поля *РП

(и)

на

Sn

отлич­

но от нуля. При нечетном п вращения полей

Wn (и)

и —Wn (и)

на

5„

различны

[81],

так

что поле

Ф„ (и)

на

Sn

негомотопно

с

одним

из

полей:

¥п

(и),

— Wn

(и).

Следовательно,,

при

нечетном

п обращается

в

нуль на

Sn

при

некотором

t£(0,

1)

одно

из

по­

лей

/Ф„ (и) + (1 -

О ¥ п

(и),

/Ф„ (и) — (1 — О Ч'п

(и).

Отсюда получаем существование чисел Хп при

нечетных

п

та­

ких, что

(>4ып

+

Лп 7,

иП 1 о)

= 0 ,

un£Sn,

(IV.3)

при всех v£Fn.

Можем

считать,

что Тип

сходится

сильно к не­

которому h£X*.

Из (IV.2) следует, что )гф0.

Пусть а0 — про­

извольный элемент X, удовлетворяющий условию

(h,v0)

=

1, и

выберем последовательность vn£Fn,

сильно

сходящуюся

к

v0.

Подставляя vn

в

(IV.3) вместо v и оценивая,

устанавливаем

ог­

раниченность

последовательности

Х„. Выберем

из

Хп

подпосле­

довательность, сходящуюся

к

некоторому

Х0,

и

дальше

анало­

гично

§ 2 гл.

III

доказываем,

что

некоторая

подпоследователь­

ность

ип

сильно

сходится

к

собственному

вектору

уравнения

(IV. 1),

соответствующему

собственному

числу

Я0 .

Из негомотопности на 5 полей

Аи

и Аи 4- Ти

непосредствен­

но следует теорема.

Теорема 3.

Пусть

G с

X — ограниченная

область пространства

X с границей

S,

S c:D0

и

пусть

(Au,u)>0,

u£S.

(IV А)

Уравнение (IV. 1) имеет H a S по

крайней мере один собственный век­

тор при выполнении одного из

следующих условий:

a)

0 £ G

и вращение поля Аи + Ти

на S отлично

от

единицы;

в) 0 в G IJ 5 и

вращение поля

Аи

+

Ти на 5 отлично от нуля.

Будем говорить, что собственные векторы

уравнения

(IV. 1) об­

разуют в G a

D0

непрерывную ветвь,

проходящую через и0,

если

граница произвольной области G' такой, что

u0£G' cz

G имеет

с

множеством собственных

векторов

уравнения

(IV. 1) непустое

пере­

сечение.

Пусть

Х0

Ф

0 и и0 Ф

0 — изолированная

критиче­

Теорема

4.

ская точка поля А и +

Х0Ти

ненулевого

индекса

и пусть

{Аи,

и)

>

>

0.

Тогда

в

некоторой

области

G собственные векторы

уравне­

ния

(IV. 1) образуют непрерывную ветвь, проходящую через и0

иХ0

—

внутренняя

точка

спектра

уравнения

(IV.1).

Первое утверждение следует из выполнения условия в) теоремы

3, если в качестве G выбрать произвольную ограниченную область,

не содержащую нуля и отличных от

и0 критических точек поля

Аи + Х0Ти.

Второе утверждение получаем из гомотопности на гра­

нице G полей Аи +

Х0Ти

и Аи + ХТи при X, близких к Х0.

Аналогично

М.

А. Красносельскому

[81] можно получить для

Аи + ХКи =

О,

(IV.5)

соответствующий

собственному

числу

Ха Ф 0. Предположим,

что

с некоторыми г,

б > 0 имеет

место

неравенство

u,v£B

=

{u£X:\\u

— u0\\<

г}

и на S — границе

В — выполнено неравенство

(IV.4).

Тогда суще­

ствует

е > 0 такое, что (Х0—е, Х0+е)сг

Л и

каждому

Х£ (Х0—е,

Х0 + е)

соответствует

в В

только

один

собственный

вектор и%

уравнения (IV.о);

при

этом

и^

непрерывно зависит

от

X.

§

2. Точки бифуркации нелинейных

операторов

пространство, X* — его сопряженное и U — некоторая

окрестность

нуля

пространства

X.

Пусть

А :£/-»- X* — ограниченный

деми-

непрерывный оператор, удовлетворяющий условию а, Т : U

X*—

вполне

непрерывный оператор

и пусть АО = ТО — 0.

Определение. Число Х0

называем точкой бифуркации

уравнения

Аи +

ХТи =

0,

(IV. 6)

если

для произвольного

е > 0

существуют иЕ, Х& такие, что

Аие + ХеТие

= 0, | Я,е — Х01< е, 0 < || ые | | < е.

Вначале получим достаточные условия того,

чтобы

Х0

было

точкой

бифуркации

уравнения

(IV.6). Можем считать, что при

некотором б0 > 0 нуль — изолированная

точка

поля

Аи + ХТи

при

Х0

— б0 <

X < Х0 -\- б0 , так как в

противном

случае

Х0

уже

будет

точкой

бифуркации. Тогда определен при

Х0—60<Я<Х0-}-60

индекс

нуля

поля

Аи +

ХТи,

который

обозначим через

у (А), и

пусть

V* а о ) =

Пп7 7 (Я 0 ±б),

б->+0

у* (Х0) = И т у ( Я 0 ± б ) .

6->+0

Теорема 6. Если среди

чисел

Т~(*о).

Г ( Я о ) .

У (h),

Y +

( U У+ (Я0 )

есть хотя

бы два

различных,

то

XQ

является

точкой

бифуркации

уравнения

(IV.6).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть,

например,

различны

первые

два указанных числа. Тогда при сколь

угодно

малом

е >

0 мож­

но

указать

Xi}), Х^

такие, что

и

У Ю

Ф У (№),

Х0

-

е <

С

< х0

на сферах

56

= {и G X : || а Л =

б},

0 < б < е

при достаточно малом 6

вращения полей

Аи + Х[1)Ти,

Аи +

Х^Ти

различны. Эти поля негомотопны на

S& и,

следовательно, при не­

котором t £ (О, 1) обращается в

нуль

на

Se

поле

Аи + [Wt+

X(e2)(l

— t)]Tu.

Тогда

в некоторой окрестности

U0

нуля

собственные векторы

урав­

нения

(IV.5)

образуют непрерывную ветвь, проходящую через

нуль,

и собственные

числа

уравнения

(IV.6),

соответствующие

собствен­

ным

векторам

из U0,

полностью

заполняют

некоторый

интервал

(Х0 — е0, Х0), г0

> 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

у~(Х0)

= у~(Х0)

= у~(Х0)

и выбе­

рем Я 1 < Я 0

так, чтобы у(Х) = у ~ ( Я 0 )

при ^

<

Х< Х0.

В

качест­

ве U0 возьмем такой шар с центром

в

нуле,

чтобы

векторные

поля

Аи +

XJu,

Аи + Х0Ти

(IV.7)

Аи +

[XJ + Х0 (I — t)] Ти

обращается

в

нуль

на S,

т. е.

собственные векторы

уравнения

(IV.6)- образуют непрерывную ветвь, проходящую через нуль.

Выберем

е0

> 0

так, чтобы

поля

Аи -f- ХТи были

гомотопны

Аи + Х0Ти

на

границе

U0

при

Я.0 — е(1<Х<Х0.

Очевидно,

Я,г< Х0—е0.

При Х£(Х0—ги,

Х0)

поле

Аи +

^Тц имеет

в

U0

отлич­

ную от нуля

критическую

точку,

так

как

вращение

Аи + ХТи

на границе

U0

(равное у (Хп))

отлично

от

индекса

нуля

поля

Аи + ХТи (равного У~ (Х0)).

Это доказывает

второе

утверждение

теоремы.

вие

3)

§

4:

множества KczRx

3')

для

произвольного

компактного

при до­

статочно

малом

е >

0 слабое

замыкание

множества

аЕк

=

| р =

— у

: / (Аи +

ХТи) +

(1 -

/) (А'и + XT'и)

=

0,

0 < | | и | | < е , 0 < / < 1, Х£К)

не содержит

нуля.

Теорема

8. Пусть выполнено условие 3'). Для

того чтобы число Хи

было

точкой

бифуркации

уравнения

(IV.6),

необходимо,

чтобы

уравнение

А'и

+

Х0Т'и

== 0

(IV.8)

имело

ненулевое

решение.

Пусть Х0

Д о к а з а т е л ь с т в о .

— точка

бифуркации

и пусть

Хп,

ип таковы,

что

Аип

+ ХпТип

= 0, ]Хп-Х0\<±,

0 < | К | | < 4 - -

Из условия 3') следует, что

слабый

предел

v0

последовательно­

сти

vn

=

|| ип

\\~~^ип

отличен

от

нуля.

Переходя к

пределу в ра­

венстве

[Аип + ХпТип]

= 0,

получим,

что

v0 — решение

уравнения

(IV.8),

откуда

и

следует

утверждение

теоремы.

Ниже приводится пример, показывающий существенность усло­

вия

3').

1Р — линейное

Пусть

X =

пространство всех

числовых после­

довательностей

и =

{сп}, для

которых

конечна

норма

i_

р

I " I I =

J£<S

,

р > 2 ,

р — четное.

'п=1

Оператор

А определяется

равенством

оо

71 I

{Au,v)

= £

(oj-«

+

и

= {сп},

v =

{dj.

ф ) й п ,

п

где х„—некоторая,

сходящаяся

к

1 последовательность,

к„ < 1,

функция / определяется

формулой

(Щ.ЗО). Легко проверить, что

А — ограничен, деминепрерывен,

удовлетворяет условию а), Т —

вполне непрерывен,

А

Т

имеют

в нуле

производную

Фреше,

Т' — О и уравнение

А'и = 0 имеет

только

нулевое решение.

Оператор А -\-Т удовлетворяет условию

3) § 4 гл. III: если

t[Au + Tu] + (l — t)[A'u

+ Т'и] = 0,

t£[0, 1],

то

с!Ц =

fine

)

icp-i

-j

2к t

р—2

п

Р—1

или

= 2KJ[ (dn),

tdfT

+dn

dn

=

ncn.

Легко проверить, что последнее уравнение имеет только нуле­

вое решение.

В рассматриваемом примере

уравнение (IV.8) не имеет нену­

левых решений. В то же

время

1—точка

бифуркации

уравне­

ния (IV.6). В самом

деле,

уравнение

(IV.6)

при X — х^ 1

имеет

решение uk = (с^'}, где

=-^-8nk,

^6п Д ,—символ Кронекера.

d r ' + dn = 2 t a j ( d n ) -

(IV.9)

Как

легко

видеть, при X > 1 и

достаточно

большом

п урав­

нение

(IV.9) имеет решение dn (X),

0 < d n ( A . ) <

1. Тогда

собствен­

ные векторы

уравнения (IV.6) имеют вид

а)

{А'и, и)

>

0 при

и Ф О;

б)

оператор

F = — ( Л ' г ' т ' : Х - > X

определен

и вполне

непрерывен.

При выполнении условий а), б), 3') точками бифуркации урав­

нения (IV.6) могут быть по теореме 8 только

характеристические

числа оператора F. В то же время известно [81], что не всякое ха­

рактеристическое число оператора F является точкой бифуркации

уравнения

(IV.6).

Теорема 9.

Пусть

выполняются

условия

а),

б),

3'). Тогда

всякое

характеристическое

число

нечетной кратности

оператора F

явля­

ется

точкой

бифуркации

уравнения

{IV.6).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Х0—

характеристическое

число

нечетной

кратности

оператора

F

Для

поля

Аи

ХТи

при

X до­

статочно

близком к

Х0,

ХФХ0,

выполнены

все

предположения

теоремы 4 гл. III (при

Г = — XT')

Применяя

эту

теорему,

имеем

У~ (К) = Г

W

= -

Y + (К)

= -

Y +

(К) Ф О,

где у* {Х0), у* (Х0) те же,

что

и в

теореме

6.

Теперь

утвержде­

ние теоремы 9 непосредственно следует из теоремы 6.

Подобно § 4

гл. I I I в случае гильбертова

пространства можно

мулировкой

результата.

Пусть Я—вещественное сепарабельное гильбертово простран­

ство, U — некоторая

окрестность

нуля

пространства

Я,

А : 0

->- Я—ограниченный деминепрерывный

оператор,

удовлетворяю­

щий

условию

а),

Т

: U

Я — вполне

непрерывный

оператор,

ЛО =

ТО =

0.

Предполагаем,

что

Т

имеет производную

Фреше в

нуле— V',

оператор

Л в каждой

точке

u£U

имеет

производную

Гато, которую обозначим через А'{и),

и пусть

Л'

{и)

удовлетворяет

условию К) § 4 гл.

I I I . Пусть

еще в некоторой

окрестности нуля

U'

выполнено

неравенство

{A'

{v)h,h)>C\\h\\\

v£U'

с положительной постоянной С.

При этих предположениях имеет место теорема.

Теорема

10.

Для

того чтобы число Х0

было точкой

бифуркации

уравнения {IV.6),

необходимо,

чтобы оно было

характеристиче­

ским

числом

оператора

F0 =

-[A'{0)rlT'.

Всякое характеристическое

число

нечетной

кратности

оператора

F0

является

точкой бифуркации уравнения (IV.6).

Укажем применения к нелинейным эллиптическим уравнениям.

Ограничимся одним примером, хотя из § 1, 4 гл. I I I ясно, что можно

рассмотреть

и другие

случаи.

Пусть

Q — ограниченная

область на плоскости,

граница кото­

рой для

простоты

предполагается

класса

С°°, и пусть

операторы

А, Т : W™ (Q)

\ЧГВ

(Я)]*

определяются

равенствами

<Лы,о)=

£

(-

1)| а 1 ^А$(х,

и , . . . , Dmu)Davdx,

(IV.10)

|а|<ш

Q

(7-ы, о) =

£

( - 1)>а| j 4?' ( * , u , . . . , ZTu) D°Wx.

|aKm—1

Q

Предполагаем:

1) p>2

и для х £ Я, | =

{ 5 a : | a | < т } £ # Л 1

функции

А™ (х,1),

Ла' (х, |) непрерывны

по х, непрерывно

дифференцируемы по £ и

удовлетворяют

неравенству

(III.3),

2) для х£Я",

rig/?"

:

|o|,|P|<m

\|v|<m-J

' \

|v|=m

/

|a|=m

с

непрерывной

положительной

невозрастающей

функцией g.

Здесь

Аа$ (х, £) = —

.

Теорема

11. Пусть

выполнены

условия

1), 2). Тогда

операторы

А,

Т, определяемые

формулами (IV. 10),

удовлетворяют

всем пред­

положениям

теоремы 9, если р > 2 и теоремы

10, если р = 2.

£

Da{A^(x,0)D^u}

= K

£

Da{Aa\(x,

0) Dp u}

(IV. 11)

|a|,10|«m

.

|al«:m—1

является

точкой бифуркации уравнения

£ Da{A^(x,u,...,Dmu)

= K

£

DaA^(x,u,...,Dmu).

| a K m

|a|«m— 1

(IV. 12)

12—843

177

оналы F,

G

(F (0) = G (0) =

0),

удовлетворяющие

условиям:

1) функционал G слабо непрерывен и равномерно дифферен­

цируем в U; градиент G' функционала

G имеет в нуле производную

Фреше

G",

являющуюся

самосопряженным оператором

и G'

(0) =

=

0;

F непрерывно

в U;

2) функционал

дифференцируем

градиент

F'

функционала

F

удовлетворяет

условию а) § 2 гл.

I l l , F'(0)

=

О

и существует

положительная

постоянная

л>, такая,

что

для

u€U

<

F'u,

и

>

>

v || u||a . Здесь

< ,

> ,

|| • || — соответственно

ска­

лярное

произведение и норма в Н;

3) в

каждой

точке u£U

F' имеет

производную Гато

F"(и)

и

из

сходимости

последовательности

ип

к нулю

следует

сходи­

мость {F" («n)h)

к

F"(0)h

для произвольного элемента

h£H.

Проверяется,

что при

этих

предположениях

^"(О)

является

^"(О) будем писать F".

Изучается задача о точках бифуркации

уравнения

F'u = XG'u,

(IV. 13)

F (u) —

XG {и).

Нуль

назовем невырожденной стационарной

точкой функцио­

нала F (и) —

XG (и), если уравнение

Fnu — XG"u = 0

(IV. 14)

имеет только нулевое решение. В противном

случае

нуль

назы­

вается вырожденной стационарной точкой.

При выполнении для F, G предположений

1) —3)

полное реше­

ние задачи о точках бифуркации уравнения

(IV. 13) дает

такая

теорема.

Теорема 12. Для того чтобы Х0 было точкой

бифуркации

уравне­

ния (IV. 13),

необходимо

и достаточно, чтобы нуль

был вырожденной

стационарной

точкой

функционала

Д о к а з а т е л ь с т в о

н е о б х о д и м о с т и :

'Необходи­

мость проверяется непосредственно. Пусть Х0

— точка

бифуркации

уравнения (IV. 13) и последовательности

ип,

Хп

таковы, что

F'un — XnG'un, \Хп

— Хп \

, 0

<

II « п II <

4 " ' <•

0=j^j(F'un-%nG'un,h)

=

=

(F" (Qnun) vn

- XnG"vn,

ft) +

К (G"vn -

j ^ j G'un,

ft),

получаем, что v0

удовлетворяет

уравнению

(IV.14)

при

X=XQl

т. е.

нуль—вырожденная

стационарная

точка

функционала

F

(u)-X0G(u).

предложе­

Сейчас будет установлено ряд вспомогательных

ний к доказательству достаточности теоремы 12.

Пусть нуль — вырожденная стационарная

точка

функционала

F

(и) —

XQG (и). Из

условий

на F

следует, чтоЯ0 =£0. Можем

счи­

Обозначим

через Н0 пространство

решений уравнения

(IV. 14)

при X = Х0

и через Нг

замыкание линейной оболочки всех

решений

уравнений

(IV. 14)

при

0 <

X < Х0. Из неравенства

(F"h,h)<Xn(G"h,h),

(IV. 15)

справедливого

для ft € Нъ

следует,

что Нг — конечномерное под­

пространство

Н. Обозначим через Нг

подпространство Н,

образо--

ванное такими элементами ft £ Я,

что

(F"u,h)

=

0

для всех

u£Hv

Н разлагается в прямую сумму

Н = Нх-\-

Hi

и

пусть

Pv

Р2

соответственно

операторы ( проектирования на

Нг,

Я 2 .

12«

17»