- •Элементы уравнений математической физики
- •Введение
- •1. Основные уравнения математической физики
- •1.1. Уравнение колебаний струны.
- •1.2. Решение задач о колебаниях бесконечной и полуограниченной cтруны (метод Даламбера)
- •1.3. Продольные колебания стержня
- •1.4. Колебания стержня с одним закрепленным концом
- •1.5. Продольный удар груза по стержню
- •1.6. Метод Фурье решения задачи о колебаниях конечной струны с закрепленными концами
- •1.7. Вынужденные колебания струны с закрепленными концами
- •1.8. Общая схема метода разделения переменных (метода Фурье). Задача Штурма-Лиувилля
- •1.9. Уравнение колебаний мембраны.
- •1.10. Решение задачи о радиальных колебаниях круглой мембраны
- •1.11. Решение задачи о продольные колебания стержня методом Фурье
- •1.12. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле.
- •1.13. Решение задачи теплопроводности бесконечного и полуограниченного стержня
- •1.14. Задача теплопроводности в бесконечном цилиндре
- •1.15. Решение задачи теплопроводности в конечном стержне
- •1.16. Решение задачи теплопроводности в однородном шаре
- •1.17. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа
- •1.18. Общий вид уравнения эллиптического типа
- •1.19. Фундаментальные решения. Функция Грина
- •1.20. Условия разрешимости граничных задач
- •1.21. Понятие гармонической функции.
- •1. Случай пространственной области.
- •2. Случай плоской области.
- •1.22. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.
- •1.23. Решение задачи Дирихле в шаре для уравнения Лапласа ( метод Фурье)
- •1.24. Задача Дирихле для одномерного и двумерного случаев.
- •2. Классификация уравнений второго порядка
- •2. I. Типы уравнений второго порядка.
- •2.2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2.3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
- •3. Уравнения гиперболического типа с двумя независимыми переменными
- •3.1. Задача Коши
- •3.2. Задача Гурса
- •3.3. Метод Римана
- •Задачи электротехники
- •4.1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний
- •4.2. Телеграфное уравнение
- •4.3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана
- •5. Уравнения первого порядка
- •5.I. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
- •5.2. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными.
- •5.3. Нелинейные дифференциальные уравнения с п независимыми переменными.
- •6.2. Метод сеток решения задачи Дирихле на плоскости
- •6.3. Метод сеток решения уравнения гиперболического типа
- •6.4. Метод сеток решения уравнения параболического типа на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Библиографический список
1. Пискунов Н. С. Дифференциальные и интегральные
исчисления / Н. С. Пискунов. М.: Наука. 2001. Т.2.
2. Данко Л.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах/Л.Е. Данко, А.Т. Попов, Т.Я. Кожевникова. М.:Высш. шк. 1987. Т.2.
3. Смирнов В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. М.: Наука. 1974. Т.2.
4. Кошляков Н. С. Уравнения в частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. М.:Высш. шк. 1970.
5. Семенов М.П. Методы математической физики / М.П. Семенов. Пособие: ВГТУ. 2002.
6.Глушко А.В., Баев А.Д., Рябенко А.С. Уравнения математической физики.; Учеб. пособие / А. В. Глушко, А. Д. Баев, А. С. Баев. Воронеж: Изд.-полиграф. ценр ВГУ, 2011.
7.Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики / М. М. Смирнов. М.: Наука, 1975.
8.Вентцель Т.Д. Сборник задач по уравнениям с частными производными / Т. Д. Вентцель, А. Ю. Горацкий, Т. О. Капустина и др.; под ред. А. С. Шамаева. – 2-е изд., испр. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.
Оглавление
Введение…………………...…………………………..…………3
1. Основные уравнения математической физики………….…..3
1.1. Уравнение колебаний струны…………..………..…………3
1.2.Решение задач о колебаниях бесконечной и полуограниченной cтруны (метод Даламбера)……………………..………7
1.3. Продольные колебания стержня……...…………...………26
1.4.Колебания стержня с одним закрепленным концом….…..29
1.5.Продольный удар груза по стержню……………………….33
1.6. Метод Фурье решения задачи о колебаниях конечной струны с закрепленными концами……………………...……...38
1.7. Вынужденные колебания струны с закрепленными
концами……………………...………………...…………………43
1.8.Общая схема метода разделения переменных (метода Фурье). Задача Штурма-Лиувилля……………...…………………46
1.9.Уравнение колебаний мембраны………………………… 55
1.10. Решение задачи о радиальных колебаниях круглой мембраны……………………………………………………………..58
1.11. Решение задачи о продольные колебания стержня
методом Фурье…………………...……………………………...63
1.12. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле…...…………………………………………………….……68
1.13. Решение задачи теплопроводности бесконечного
и полуограниченного стержня…………………………………72
1.14.Задача теплопроводности в бесконечном
цилиндре…………………………………………………………79
1.15. Решение задачи теплопроводности в конечном
стержне…………………………………………………………..83
1.16. Решение задачи теплопроводности в однородном
шаре……..……………………………………………………….85
1.17.Задачи, приводящие к уравнению Лапласа……….…......88
1.18.Общий вид уравнения эллиптического типа………….…89
1.19.Фундаментальные решения. Функция Грина …….……..93
1.20.Условия разрешимости граничных задач ...……….……100
1.21.Понятие гармонической функции……………………….105
1.22.Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье…...118
1.23.Решение задачи Дирихле в шаре для уравнения
Лапласа ( метод Фурье)……………………………...………...121
1.24. Задача Дирихле для одномерного и двумерного
случаев…………...………………………………………….….126
2. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО
ПОРЯДКА……………………...……………………………...136
2.I. Типы уравнений второго порядка………………………..136
2.2. Приведение к каноническому виду уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами…………………..137
2.3. Приведение к каноническому виду уравнения второго
порядка с двумя независимыми переменными……….…….140
3. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ……..…148
3.1.Задача Коши…………………………………………….….148
3.2. Задача Гурса………………...……………………………..154
3.3. Метод Римана…………..…………………………………156
4.ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ……………………………..166
4.1. Дифференциальные уравнения свободных
электрических колебаний………………….…………………166
4.2. Телеграфное уравнение………..……………….………...168
4.3. Интегрирование телеграфного уравнения
по методу Римана………………………………...…………….169
5.УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА……………………...172
5.I. Квазилинейные дифференциальные уравнения
с двумя независимыми переменными………………...……..172
5.2. Нелинейные дифференциальные уравнения
с двумя независимыми переменными……………...………..176
5.3. Нелинейные дифференциальные уравнения с п
независимыми переменными…………………………………183
6. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ МЕТОДОМ СЕТОК…….186
6.1.Методы приближенного решения дифференциальных уравнений……...………………………………………………186
6.2. Метод сеток решения задачи Дирихле на плоскости….188
6.3. Метод сеток решения уравнения гиперболического
типа……...………………………………………………….....190
6.4. Метод сеток решения уравнения параболического типа на отрезке…………………………………………………………194
Заключение……..……………………………………..………198
Библиографический список…….……......……………..……198
Учебное издание
Катрахова Алла Анатольевна
Федотенко Галина Федоровна
Купцов Валерий Семенович
Купцов Андрей Валериевич
Элементы уравнений
математической физики
В авторской редакции
Компьютерный набор:
А.А. Катраховой, Г.Ф. Федотенко,
В.С. Купцова, А.В. Купцова
Подписано к изданию 04.10. 2012.
Объем данных 3,25 Mб
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет»