2. Классификация уравнений второго порядка

2. I. Типы уравнений второго порядка.

Рассмотрим уравнение второго порядка

Коэффициенты a_ij- — заданные функции в области D пространства (x₁, ...x_n), причем а_ij = а_ji. Все функции и независимые переменные считаем вещественными

Дадим классификацию уравнений . Зафиксируем определенную точку (x⁰₁ ..., х_т) в области D и составим квадратичную форму

Уравнение принадлежит эллиптическому типу в точке (x⁰_1,…,x⁰_n) если в этой точке квадратичная форма положительно определенная или отрицательно определенная.

Уравнение принадлежит гиперболическому типу в точке(x⁰_1,…,x⁰_n) если в этой точке квадратичная форма при приведении ее к сумме квадратов имеет все коэффициенты, кроме одного, определенного знака, а оставшийся один коэффициент противоположного знака.

Уравнение принадлежит ультрагиперболическому типу в точке (x⁰_1,…,x⁰ _n),если в этой точке квадратичная форма при приведении ее к сумме квадратов имеет больше одного положительного коэффициента и больше одного отрицательного, причем все коэффициенты отличны от нуля. Уравнение принадлежит параболическому типу в точке (x⁰_1,…,x⁰ _n )если в этой точке квадратичная форма при приведении ее к сумме квадратов -имеет только один коэффициент, равный нулю, все же другие коэффициенты имеют одинаковые знаки.

Уравнение принадлежит эллиптическому типу соответственно гиперболическому типу и т. д. в области D, если во всех точках этой области оно принадлежит эллиптическому типу, соответственно гиперболическому типу и т. д. Если коэффициенты a_ij постоянные, то принадлежность уравнения к тому или иному типу не зависит от значений независимых переменных. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа; уравнением гиперболического типа является волновое уравнение и, наконец, уравнением параболического типа — уравнение теплопроводности.

2.2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пусть дано уравнение с постоянными коэффициентами

Введем вместо (x₁,…,x_n) новые независимые переменные (ξ₁,…,ξ_n) при помощи линейного преобразования

Мы предполагаем, что преобразование неособенное, т. е. что определитель |c_ki| не равен нулю. Производные по старым переменным выразятся через производные по новым переменным следующими формулами:

В новых координатах наше уравнение имеет вид:

где

Нетрудно проверить, что формулы преобразования коэффициентов при вторых производных от функции u при замене независимых переменных по формулам совпадают с формулами преобразования коэффициентов квадратичной формы

если в ней произвести линейное преобразование

приводящее ее к виду

В алгебре доказывается, что всегда можно подобрать коэффициенты c_ik так, чтобы квадратичная форма была вида

или, иначе говоря, a_kl = 0 при k≠l и a_kk= λ_k. Коэффициенты λ_k равны ±1 или нулю соответственно. Знаки коэффициентов λ_k и определяют тип уравнения. Преобразованное уравнение

принимает вид

Этот вид уравнения называется его каноническим видом. Положим, что все λ_k отличны от нуля, т. е. что уравнение не параболического типа, и покажем, что в этом случае при помощи преобразования функции u можно освободиться от производных первого порядка. С этой целью вместо и введем новую искомую функцию v по формуле

Подставив это в основное уравнение , получим, как нетрудно проверить, уравнение вида

Для уравнения эллиптического типа все λ_k = l или λ_k = —1, и, умножая, если надо, обе части уравнения на (—1), мы можем считать, что все λ_k = 1. Таким образом можно утверждать, что всякое линейное уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами может быть приведено к виду

В случае гиперболического типа будем считать, что имеется (n + 1) независимых переменных, и положим ξ_n+1=t. Тогда всякое линейное уравнение гиперболического типа с постоянными коэффициентами приводится к виду

В случае нашего уравнения с переменными коэффициентами для каждой точки (x⁰_1,…,x⁰_n) области D можно указать такое преобразование независимых переменных, которое приводит уравнение (3) к каноническому виду в этой точке. Для каждой точки (x⁰_1,…,x⁰_n). имеется, вообще говоря свое преобразование независимых переменных, приводящее уравнение к каноническому виду; в других точках это преобразование может не приводить уравнение к каноническому виду.