1.14. Задача теплопроводности в бесконечном цилиндре

Пусть в бесконечном цилиндре

Задано начальное распределение температур, граничные точки цилиндра поддерживаются при нулевой температуре. Требуется найти температуру в любой точке цилиндра в любой момент времени . Мы рассмотрим частный случай этой задачи, когда начальное распределение температур не зависит от переменной z и не зависит от полярного угла . Это значит, что и решение этой задачи не зависит от z и . Следовательно, в цилиндрической системе координат задача заключается в следующем.

Найти решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию

и граничным условиям

Сначала найдем ненулевые решения нашего уравнения, удовлетворяющие только граничным условиям . Эти решения будем искать в виде где

Дифференцируя функцию по t и по r дважды и подставляя результаты дифференцирования в наше уравнение, получим

или

Отсюда следует, что

Как известно уравнение имеет ненулевые решения, удовлетворяющие граничным условиям только при где - положительные корни уравнения и этими решениями являются функции При уравнение принимает вид

Общим решением этого уравнения являются функции

где -произвольные постоянные.

Таким образом, ненулевыми решениями нашего уравнения , удовлетворяющими граничным условиям , являются функции

где Решение поставленной задачи будем искать в виде ряда

коэффициенты, которого подбираются так, чтобы выполнялось начальное условие . При t=0, получим

Отсюда следует, что

или

Таким образом, решение поставленной задачи находится по формуле (2.27), коэффициенты которой вычисляются по формуле (2.28).

Пример. Решить неоднородное уравнение параболического типа

0<x<1, t>0.

При начальных условиях и

однородных краевых условиях

Применяя метод Фурье разделения переменных, полагаем для решения соответствующего

однородного уравнения при наших краевых условиях .

Приходим к задаче Штурма-Лиувилля X’’(x)+λ²X(x)=0, X’’(0)=0, X(1)=0. Находим собственные значения λ_{k ,} k=0,1,2,…и соответствующие им собственные функции X_k(x)=cos λ_kx.

Решение задачи ищем в виде

, где .

Подставляя в основное уравнение, получим

Для нахождения функции разложим функцию 1-х в ряд Фурье по косинусам на интервале (0,1):

Так как то получаем

при условии .

Решая задачу Коши, находим ее решение

Подставляя функцию в формулу для u(x,t), находим искомое решение задачи :

, где λ_k

В данной задаче рассматривается ограниченный стержень длины l=1 и решается уравнение теплопроводности стержня, где - температура стержня в точке х в момент времени t.

Задача для самостоятельного решения.

Дана неограниченная пластина толщиной 2R при температуре . Пластина нагревается с обеих сторон одинаково постоянным тепловым потоком q.

Найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени t > 0.

Ответ:

где k—коэффициент внутренней теплопроводности.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

при условиях