1.10. Решение задачи о радиальных колебаниях круглой мембраны
Задача
о свободных колебаниях однородной
круглой мембраны с закрепленной границей
заключается в следующем. Найти функцию
u(t,x,y),
удовлетворяющую в круге
дифференциальному
уравнению
Рис. 1.17.
начальным условиям
и граничному условию
(рис.1.17)
.
В
полярных координатах
эта задача формулируется следующим
образом. Найти функцию
удовлетворяющую в круге
дифференциальному
уравнению
начальным условиям
и
граничному условию
Рассмотрим
частный случай этой задачи, когда
начальные отклонения и начальные
скорости не зависят от переменной
.
Это означает, что точки, одинаково
удаленные от центра мембраны, в начальный
момент времени имеют одинаковые
отклонения и одинаковые скорости. В
этом случае и при t>0
отклонение точек мембраны не будет
зависеть от переменной
.
Таким образом, рассматривается следующая
задача. Найти функцию
удовлетворяющую
в круге
дифференциальному
уравнению
начальным условиям
и граничному условию
Для
решения этой задачи используем метод
разделения переменных, примененный
нами ранее для решения задачи о колебаниях
конечной струны. Найдем сначала ненулевые
решения
нашего уравнения , удовлетворяющие
только граничному условию . Эти решения
будем искать в виде
где
Дифференцируя
функцию
и
подставляя результаты дифференцирования
в наше уравнение, получим
или
Отсюда следует, что
(***)
Уравнение
можно записать в виде
Следовательно,
это уравнение является уравнением
Бесселя с n=0.
Поэтому на отрезке [0,R]
при n=0.
Сделаем в уравнении замену независимой
переменной
тогда
В
результате этой замены уравнение примет
вид
Таким образом, мы пришли к следующей задаче. Найти ненулевые решения дифференциального уравнения , удовлетворяющие на отрезке [0,1] граничным условиям
Ненулевые
решения , удовлетворяющие условию
,
существуют только при
где
положительные решения уравнения
и
эти решения имеют вид
Таким образом, наша задача имеет
ненулевые решения только при
и
эти решения имеют вид
Подставляя значения
в
уравнение (***) и решая полученное
уравнение, находим что
Таким образом, мы получили бесконечно много частных решений уравнения , удовлетворяющих граничному условию
Решение исходной задачи будем искать в виде
где
,
подбираются
таким образом, чтобы выполнялись
начальные условия . Имеем
Полагая
в этих равенствах t=0,
получим
Обозначим в этих формулах
Тогда
Отсюда следует, что
или,
если в интегралах сделать замену
переменной
то
1.11. Решение задачи о продольные колебания стержня методом Фурье
Рассмотрим задачу о продольных колебаниях однородного упругого стержня длины l, когда один его конец х = 0 закреплен, а другой х = l свободен. Было показано, что эта задача сводится к решению волнового уравнения
,
при
граничных условиях
и начальных условиях
Согласно методу Фурье, частные решения уравнения будем искать в виде
u(х, t) = X(x)T(t)
Подставив
u(х,
t)
в основное
уравнение , получим
откуда
получаем два уравнения
Х(х) + λ2Х(х) = 0, T(t) + a2λ2T(t) = 0
Чтобы функция Х(х), отличная от тождественного нуля, удовлетворяла граничным условиям, очевидно, нужно потребовать выполнения условий Х(0) = 0, Х(l) = 0. Таким образом, мы пришли к задаче о собственных числах для уравнения
Х(х) + λ2Х(х) = 0 при граничных условиях . Интегрируя уравнение , получим
.
И
имеем С1
=0,
.
Считая
С2≠0
(в противном случае имели бы Х(х)≡0),
находим
= 0, откуда
(k
— целое число).
Таким
образом, нетривиальные решения задачи
возможны лишь при значениях λk=
.
Собственным числам
соответствуют собственные функции
Xk(x)=sin
(k=0,1,2,…),
определенные с точностью до постоянного множителя, который мы положили равным единице (отрицательные целые значения k новых собственных функций не дадут). При λ = λk общее решение основного уравнения имеет вид
,
где аk и bk — произвольные постоянные.
Найдем
Составим ряд
Для выполнения начальных условий необходимо, чтобы
Предполагая,
что ряды сходятся равномерно, можно
определить коэффициенты ak
и bk,
умножив обе части равенств рядов на
и проинтегрировав по x
в пределах
от х = 0 до х = l Тогда, приняв во внимание, что
получим:
,
.
С помощью метода Фурье легко можно исследовать задачу о продольных колебаниях стержня. Напомним, что поставленная там задача приводится к решению основного уравнения при граничных и начальных условиях
rx,
,
где r—
постоянная.
Применяя формулы, полученные выше, найдем, что
,
bk=0
откуда вытекает, что относительное
перемещение сечения стержня с абсциссой
х выражается рядом
.
Пример 1. Решить неоднородное уравнение гиперболического типа
при однородных краевых условиях
и нулевых начальных условиях
Задача описывает вынужденные колебания однородной
струны,
закрепленной на концах, под действием
внешней возмущающей силы 
.
Применяя метод Фурье разделения
переменных, полагаем 
м
для решения соответствующего однородного
уравнения 
при начальных условиях. Подставив 
это уравнение, получаем равенство
Возможное
лишь в случае, если обе части его не
зависят ни от x,
ни от t,
т.е. представляет
собой одну и ту же постоянную. Обозначим
эту постоянную через с: 
Используем краевые условия:
Таким образом, приходим к задаче Штурма-Лиувилля: найти такие значения параметра с, при которых существуют нетривиальные (т.е. отмеченные от тождественного нуля) решения уравнения, удовлетворяющие краевым условиям
При
в
общем решение уравнения, согласно
краевым условиям, с1=0,
с2=0
и решение задачи (*) становятся 
– случаи не интересны. При с>0, с=-λ2:
общее решение вида: X(x)=c1
cosλx
+ c2
sinλx,
X(x)=-c1
λsinλx+c2λcosλx.
X(0)=c11+c20=c1=0,
X’(l)=c2λcosλl=0,
считаем.
Поэтому cosλl=0.
Находим ее собственные значения 
и
соответствующие им собственные функции
Xk(x)=iπλkx,
k=0,1,2,…,определяемые
с точностью до постоянного множителя,
который мы полагаем равным единице.
Следовательно, лишь при с=-λ2к, к=0,1,2,…, имеем нетривиальные решения задачи (*). Теперь решение задачи ищем в виде Фурье
,
где 
,
Подставляя в основное уравнение , получаем
Для
нахождения функций 
разложим функцию 1 в ряд Фурье по синусам
на интервале(0,1):
,
Так как 
то получаем уравнение
Общее решение которого, имеет вид
Значения
неопределенных коэффициентов: А=
,
В=0, 
.
Окончательно:
