5.2. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными.

Рассмотрим нелинейное уравнение

F(x, у, u, р, q) = 0,

где F — непрерывная функция, имеющая непрерывные частные производные первого порядка по всем пяти аргументам в рассматриваемой области и кроме того, F²_p + F²_q|≠0.

Выясним прежде всего геометрический смысл уравнения нашего . В любой фиксированной точке (х, у, u) уравнение A2) устанавливает зависимость между величинами р и q, определяющими направление касательной плоскости к интегральной поверхности. Таким образом, из связки плоскостей, проходящих через точку х, у, u, наше соотношение выделяет семейство плоскостей, зависящее от одного параметра. Огибающая этого семейства возможных касательных плоскостей есть некоторый конус; назовем его конусом Т или конусом Монжа,. Уравнение эквивалентно, таким образом, заданию в каждой точке (х, у, u) рассматриваемой области пространства конусаТ, а искомая интегральная поверхность уравнения должна обладать тем свойством, что в каждой ее точке касательная плоскость должна касаться конусаТ, соответствующего этой точке. Найдем уравнения образующих конуса Т в заданной точке (х, у, и). Пусть р и q—функции некоторого параметра α, удовлетворяющие нашему уравнению в фиксированной точке (x,у,u). Конус Т является огибающей семейства плоскостей

p(α)(X-x) + q(α)(Y-y)-(U-u) = 0.

Дифференцируя это уравнение по α, получим

p^/(α)(X-x)+q^/(α)(Y-y)=0

Дифференцируя соотношение F = 0 по α, будем иметь

Pp'(α) + Qq'(α) = 0,

где положено P = F_p, Q = F_q. Считая, что производные р^/ (а) и q^/(а) не равны нулю, одновременно мы из однородных уравнений получим (X—x)\P=(Y— у)\Q и уравнения образующих конуса Т:

(X-x)\P=(Y-y)\Q=(U-u)\(Pp+qQ).

В случае квазилинейного уравнения (1) в каждой точке имеется только одно направление (конус Т вырождается в прямую линию) и касательная плоскость к искомой интегральной поверхности содержит это направление. В случае нелинейного основного уравнения мы имеем в каждой точке вместо одного определенного направления конус Т и касательная плоскость к искомым интегральным поверхностям должна касаться этого конуса. Таким образом для нелинейного уравнения нельзя непосредственно строить характеристические кривые, как это мы делали для квазилинейного уравнения , так как вместо поля направлений мы имеем поле конусов. Но мы покажем, что если известна интегральная поверхность u= u(х, у) уравнения , то ее можно покрыть линиями, которые вполне аналогичные характеристическим линиям квазилинейного уравнения A). Действительно, в каждой точке интегральной поверхности касательная плоскость должна касаться конуса Т, соответствующего этой точке, и тем самым должна содержать одну из образующих этого конуса, вдоль которой она и касается конуса. Эти образующие конусов Т и создают на интегральной поверхности поле направлений и тем самым, интегрируя соответствующее этому полю направлений дифференциальное уравнение первого порядка, мы покрываем нашу интегральную поверхность семейством кривых С, зависящим от одного параметра. Направляющие косинусы упомянутого поля направлений пропорциональны знаменателям уравнений, где р и q определяются из уравнения рассматриваемой интегральной поверхности. Таким образом, вдоль линий С, покрывающих заданную интегральную поверхность, выполняются соотношения

или

Чтобы найти линии С на заданной интегральной поверхности, достаточно проинтегрировать уравнение первого порядка

где знаменатели написанных дробей содержат только переменные х и у поскольку функция г и ее частные производные р и q на заданной поверхности являются известными функциями х и у. Интегрируя последнее уравнение и пользуясь уравнением поверхности u=u(х, у), мы получим однопараметрическое семейство кривых С. Для заданной интегральной поверхности величины р и q есть известные функции х и у. Мы дополним систему уравнений еще двумя уравнениями, содержащими дифференциалы dp и dq, так, чтобы получилась система дифференциальных уравнений, независящая от выбора интегральной поверхности уравнения . Введем обозначения X = F_x, Y = F_y, U = F_u, r = u_xx, σ=u_xy, t=u_yy. Дифференцируя левую часть уравнения сначала по х, а затем по у, получим соотношения

X+Up+Pr+Qσ=0, Y+Uq+Pσ+Qt=0, которые являются тождествами на заданной интегральной поверхности.

Вдоль кривой С мы имеем, очевидно:

Определяя из равенств значения Pr+Qσ, Pσ+Qt получим два добавочных дифференциальных уравнения

Присоединив эти уравнения к уравнениям выше приведенной системы, получим систему пяти обыкновенных дифференциальных уравнений с пятью функциями вспомогательного параметра s:

Эту систему дифференциальных уравнений можно рассматривать независимо от интегральных поверхностей уравнения. Эта система называется характеристической системой уравнения . Нетрудно проверить, что система эта имеет первый интеграл

F(x, у, u, р, q) = C.

Действительно, дифференцируя по s левую часть этого равенства , получим

т. е. функция F вдоль каждого решения системы принимает постоянное значение. Из множества решений системы выделим те решения системы, вдоль которых функция F принимает значение, равное нулю, как того требует исходное дифференциальное уравнение. Назовем такие решения системы характеристическими полосами нашего уравнения,

т. е. характеристической полосой уравнения называется система функций x(s), y(s), u(s), p(s), q(s) удовлетворяющих соответствующей системе и уравнению F(x, у, u, р, q) = 0.

Пространственная кривая x(s), y(s) и u(s), несущая эту полосу, называется характеристической кривой. Функции F определяют не только пространственную кривую, но и плоскость, касающуюся ее в каждой точке. Для того чтобы решение системы было характеристической полосой, достаточно, проверить, что этому соотношению удовлетворяют начальные данные (х_0, у_0, u₀, p₀, q₀) решения, т. е. F(x₀, y₀, u₀, p₀, q₀)=0. Как и для квазилинейных уравнений, из самого вывода характеристической системы уравнений можно получить следующие теоремы.

I. На любой интегральной поверхности уравнения существует однопараметрическое семейство характеристических кривых и соответствующих характеристических полос. II. Если характеристическая полоса имеет общий элемент (т. е. значения х, у, u, p, q) с интегральной поверхностью, то эта полоса целиком принадлежит интегральной поверхности.

III. Если две интегральные поверхности касаются в некоторой точке, то они касаются вдоль всей характеристической полосы, имеющей начальным элементом точку касания плоскостей. Предположим теперь, что мы нашли всевозможные характеристические полосы. Покажем, каким образом можно из этих характеристических полос строить интегральные поверхности уравнения.

Пусть начальная полоса задана функциями x₀(t), y₀(t), u₀(t), p₀(t), q₀(t), причем эти функции должны удовлетворять соответствующему условию и иметь непрерывные производные. Через каждый элемент заданной начальной полосы проведем характеристическую полосу. Эта полоса получается как решение системы , которое при s=0 обращается в заданные элементы полосы x₀(t), y₀(t), u₀(t), p₀(t), q₀(t). Обозначим эту систему решений через x = x(s, t), y=y(s,t),. u = u(s, t),

p = p(s, t), q = q(s, t). Если определитель Δ=x_sy_t-y_sx_t=F_py_t-F_qx_t

отличен от нуля на начальной полосе, т. е. при s = 0, а следовательно, в силу непрерывности производных и в некоторой ее окрестности, то в качестве независимых переменных можно взять х и у в этой окрестности вместо параметров s и t. Это значит, что можно выразить величины u, p, q как функции от х и у и, в частности, получить явное уравнение поверхности u=u(х, у). Функция u(х, у) будет удовлетворять нашему уравнению , так как выражение F (х, у, u, р, q) обращается в нуль тождественно по s и t на нашей поверхности; следовательно, оно также обращается в нуль тождественно по х и у. Остается еще доказать, что функции р и q, определенные последними двумя уравнениями, совпадают соответственно с u_x и u_y. Для этого достаточно показать, что два выражения

тождественно обращаются в нуль на поверхности u=u(х, у), тогда из соотношений

следует, что поскольку Δ=x_sy_t-x_ty_s≠0 по предположению. Обращение в нуль величины Н непосредственно следует из первых трех уравнений системы.

Рассмотрим тождество

_.

Тогда можно получить

Далее, дифференцируя по t соотношение F = 0, получим

Вычитая это равенство из предыдущего, будем иметь

или откуда следует где L₀ есть значение L при s=0. Из последнего равенства видно, что для обращения L в нуль при всех значениях s необходимо и достаточно, чтобы L₀=0 и удовлетворяли соотношению

Таким образом, из предыдущих рассуждений следует, что если функции удовлетворяют двум соотношениям

и если определитель Δ=x_sy_t-x_ty_s≠0 при s=0, то первые три из уравнений системы в некоторой (s, t) окрестности определяют интегральную поверхность u=u(x,у) нашего уравнения , содержащую начальную полосу, причем u(х, у) имеет непрерывные производные второго порядка.

Задача Коши для нашего уравнения формулируется так же, как и в случае квазилинейного уравнения. Требуется найти интегральную поверхность уравнения , проходящую через заданную кривую l.

Пусть кривая l задана в параметрической форме:

x=x₀(t), y=y₀(t), u=u₀(t),

причем х²_t+y²_t≠0. Кривую l дополним до полосы С₁, определив p₀(t) и q₀(t) из уравнений . Функциональный определитель левых частей уравнений по р₀ и q₀ Δ₀=y^/₀(t)F_p0-x^/₀(t)F_qo

совпадает с определителем при s = 0. Будем считать, что определитель отличен от нуля вдоль l, и что система на l однозначно разрешима относительно р₀ (t) и q₀ (t).

Рассмотрим теперь случай, когда

Δ₀=x_sy_t-x_ty_s|_s=0=y^/₀(t)F_p0-x^/₀(t)F_q0=0

всюду вдоль заданной полосы С₁, удовлетворяющей двум соотношениям . Положим, что существует дважды непрерывно дифференцируемая интегральная поверхность u=u(х, у), проходящая через полосу C_1. Таким образом, в случае Δ0=0 интегральная поверхность уравнения может проходить через кривую l, если функции p₀(t) и q₀(t), определенные из соотношений, дополняют эту кривую до характеристической полосы.