1.24. Задача Дирихле для одномерного и двумерного случаев.

А) Найти стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, если на концах стержня имеем , …. .

Решение.

Решим уравнение Лапласа - общее решение, .

Из краевых условий находим: .

Видим, решение - стационарное распределение температуры в данном стержне носит линейный характер.

Б) Будем решать задачу Дирихле для уравнения Лапласа, преобразованного заменой , в уравнение Лапласа в полярных координатах точки .

Пусть дан круг радиуса R с центром в полюсе 0 полярной системой координат, на окружности которого задана непрерывная - периодическая функция полярного угла . Будем искать функцию , гармоническую в круге и удовлетворяющую на его окружности граничному уравнению . Искомая функция должна удовлетворять в круге уравнению Лапласа .

Решение.

Согласно методу Фурье частное решение нашего уравнения ищется в виде произведения . Подставим это выражение в наше уравнение то, получим

Или

Разделяем переменные

Так как левая часть этого равенства не зависит от , а правая от , то обе они не зависят ни от , ни от , то есть равны постоянному числу.

Значит, тождество возможно лишь в том случае, когда общая величина отношения будет постоянной. Обозначим эту через . Приравнивая каждую часть полученного равенства постоянной , получаем обыкновенных дифференциальных линейных однородных уравнения

Параметр . Отсюда, если , то уравнения принимает вид

Их общее решение, соответственно, будут:

Если же , тогда общее решение уравнения будет вида

Решение уравнения Эйлера будем искать в виде . Подставляя его в соответствующее уравнение, получим Или т.е. . Итак, имеется два линейно независимых частных решения и ; их линейная комбинация с константами даст общее решение уравнения : Подставим общие решения и в соответствующие формулы. Получим функции при , которые будут частными решениями уравнения .

Заметим, что решение , как функция от , должно быть - периодической функцией, так как при одном и том же для углов мы должны иметь одно и то же значение решения, потому что рассматривается одна и та же точка круга. Поэтому, очевидно, , а число k может принимать одно из целочисленных значений: 1,2,3, …( ). Далее, ищется решение непрерывное и конечное в круге, в частности и при r=0. Значит, должно … и… (иначе функция и имели бы разрыв в точке r=0).

Итак, несколько изменив обозначения, мы получим множество частных решений уравнения Лапласа :

, ,

n=1,2,3, …,непрерывных в круге. Теперь решение задачи Дирихле мы можем искать в виде функции

которая вследствие линейности и однородности уравнения также является его решением:

Подберем произвольные постоянные так, чтобы выполнились граничные условия.

При r=R имеем , то есть Для выполнения равенства нужно, чтобы функция разлагалась в ряд Фурье на интервале ( ) и чтобы и были ее коэффициентами Фурье, то есть вычислялись по формулам

Таким образом, получим формулу решения задачи Дирихле

Используя формулу Эйлера и формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках:

Отсюда имеем решение задачи Дирихле для круга радиуса R ,

где интеграл, стоящий в правой части, называется интегралом Пуассона.

Вывод: Решение задачи Дирихле для круга находят в виде ряда, где коэффициенты вычисляются по формулам либо через интеграл Пуассона находится решение данной задачи.

Пример. Решить задачу Дирихле для уравнения в круге с граничным условием

Решение. Для данной задачи Дирихле решение ищем в виде ряда

Коэффициенты которого , , (n=1,2,3…) определяются по формулам

По условию дано: , радиус круга R=2.

Находим

Когда n=1, то

Когда n=3, то

Если n=1, то

Если n=3, то

Используя свойство нечетности подынтегральной функции , получаем сразу

Итак, получим следующие значения коэффициентов ряда ; все остальные коэффициенты ,

Таким образом, решение данной задачи Дирихле

Примечание. При взятии интегралов в примерах для самостоятельного решения удобно использовать следующие формулы:

Если функция f(t)- четная , то есть f(-t)= f(t) , то

Если функция f(t)- нечетная , то есть f(-t)= -f(t) , то

Замечание. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в конце ищется в виде

Коэффициенты определяются из граничных условий.

Задача Дирихле для прямоугольника , (рис.3). Найти функцию , удовлетворяющую уравнению Лапласа и граничным условиям