6.4. Метод сеток решения уравнения параболического типа на отрезке

Пусть отрезок ограничен на оси x точками Требуется найти непрерывную в области D функцию удовлетворяющую дифференциальному уравнению

со следующим начальным

и граничными условиями

Решение этой задачи по методу сеток заключается в следующем. В области D проводим прямые и строим сетку для нахождения сеточной функции .

Для получения разностного уравнения заменим частные производные разностными отношениями

После такой замены получаем следующую разностную схему

Для разностного оператора рассматриваемой задачи шаблон изображен на рис.6.4, из которого видно, что полученная схема является неявной.

Рис.6.4.

Запишем разностное уравнение следующим образом

и введем обозначение

Тогда разностная схема примет вид

где Нетрудно заметить что при каждом фиксированном значении k мы будем иметь систему из уравнения для определения неизвестного

Матрица такой системы имеет трехдиагональный вид, поэтому для ее решения удобно применять метод прогонки. Опишем процесс вычисления по этому методу. Правые части уравнений системы для кратности обозначим . Прямой ход метода прогонки (прямая прогонка) состоит в вычислении прогоночный коэффициентов и Преобразуем первое уравнение системы к виду

где

Поставим полученное для выражение во второе уравнение системы и преобразуем это выражение к виду

где

Полученное для выражение поставим в третье уравнение системы и т.д. На i-ом шаге этого процесса -e уравнение системы преобразуется к виду

где

На шаге подстановка выражения

в последнее уравнение дает

Отсюда можно определить коэффициент:

Обратный ход метода прогонки (обратная прогонка) дает значение неизвестных. Сначала полагают Затем значение остальных неизвестных вычисляют по формуле

где

В итоге последовательно проходя все слои начиная с нулевого слоя для которого известны значения находим сеточную функцию , значения которой в узлах сетки приближенно заменяют значения искомого решения исходного уравнения параболического типа. Использованная здесь неявная схема устройства при произвольном соотношении шагов по координате и времени. Для получения более точного решения следует проводить дробление шага.

Заключение

Данное пособие содержит четкое и краткое изложение теории, большое количество задач и разобранных примеров, существенно восполнит имеющиеся пробелы в учебной литературе по вышеуказанным разделам математики, особенно при использовании учебного пособия в качестве задачника.

Издание рекомендуется для работы на практических занятиях, при подготовке к контрольным работам, а также при выполнении типовых расчетов и при составлении комплексных заданий, аттестационных контрольных заданий по указанным темам. Считаем, что данное пособие поможет более глубокому и полному усвоению студентами учебного материала по данным в пособии разделам и будет соответствовать эффективной организации учебного процесса по курсу «Математика» для студентов очной формы обучения инженерно-технических специальностей.