3.3.3. Уединение радикала и возведение в степень

Пример 3.16. Решить уравнение

О.Д.З. этого уравнения или .

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение следствие т.е.

Возведем в квадрат обе части полученного уравнения:

8х²+16х-24=9х²-186х+961, или х²-202х+985=0, откуда х₁=5, х₂=197.

Проверкой убеждаемся, что х₁=5 является корнем заданного уравнения, т.к. При х=197 имеем Поэтому х₂=197 – посторонний корень.

Ответ: {5}.

Пример 3.17. Решить уравнение

Представим уравнение в виде

О.Д.З. этого уравнения

В озводим в шестую степень: (х+2)³=(3х+2)², т.е. х³+6х²+12х+8=9х²+12х+4, или х³-3х²+4=0; представим это выражение в виде х³-3х²+1+3=0, группируем: (х³+1)-3(х²-1)=0, (х+1)(х²-х+1)-3(х-1)(х+1)=0, или (х+1)(х²-х+1-3х+3)=0 или х+1=0, 

х₁=-1 х²-4х+4=0

х₂=х₃=2

Значение х₁=-1 не удовлетворяет О.Д.З. Ответ: х=2.

3.3.4.Уравнения, содержащие кубические радикалы

Основным методом решения таких уравнений является последовательное возведение в куб обеих частей уравнения, используя формулы

(а+b)³=a³+b³+3ab(a+b),

(а-b)³=a³-b³-3ab(a+b).

Пример 3.18. Решить уравнение

В озведя обе части данного уравнения в куб, получим уравнение учитывая, что выражение в скобках равно 1 (см. условие), получаем или

Возведем в куб: (х+34)(х-3)=1728 или х²+31х-102-1728=0, т.е. х²+31х-1830=0. Отсюда х₁=30; х₂=-61.

Проверкой убеждаемся, что это корни уравнения. При х=30, получаем 1=1; при х=-61, получаем 1=1.

Ответ: х₁=30; х₂=-61

3.3.5. Введение вспомогательной переменной

Пример 3.19. Решить уравнение

Обозначим тогда х=t²-2.

Уравнение относительно t принимает вид

Так как а

Решение будем рассматривать: 1) при t<1; 2) при 1t<5; 3) при t5.

О тсюда

или

Поскольку решениями уравнения относительно t являются 1t5, то или 1х+225, отсюда -1х23.

Ответ: х-1,23.

Пример 3.20. Решить уравнение

Умножим обе части уравнения на 2, получим или

Полагая получим 2х²-3х+2=у², тогда 2х²-3х=у²-2 и относительно у уравнение принимает вид у²-2у-8=0, откуда у₁=4, у₂= -2. Т.к. у= -2<0, то его отбрасываем.

Решая уравнение или 2х²-3х-14=0, находим х₁=7/2, х₂= -2.

Проверка: при х=7/2 т.е.

при х= -2 или 3=3.

Ответ: х₁=7/2, х₂= -2.

Пример 3.21. Решить уравнение

О.Д.З.: х-20 или х2.

Введем новые переменные: обозначим тогда 5+х=и³, а х-2=v², отсюда

Подставив во второе уравнение системы v=u-1, получим u³-(u-1)²-7=0 или u³-u²+2u-8=0.

Для решения этого кубического уравнения разложим его левую часть на множители. Последовательно получаем u³-u²+2u-8=u³-8-u(u-2)=(u-2)(u²+2u+4)-u(u-2)=(u-2)(u²+u+4)=0, отсюда решением этого уравнения будет u=2, т.к. u²+u+4=0 не имеет действительных корней. Следовательно, для определения х мы получили уравнение откуда х=3.

Подставив в исходное уравнение х=3, имеем т.е. 1=1.

Ответ: х = 3.