- •Часть 1
- •Введение
- •1. Программа по математике
- •1.1.Основные математические понятия и факты ·Арифметика, алгебра и начала анализа
- •·Геометрия
- •1.2.Основные формулы и теоремы
- •2.1. Задачи с целыми числами. Признаки делимости
- •2.2.Действительные числа
- •2.3.Процент числа. Основные задачи на проценты
- •2.4.Преобразование числовых и алгебраических выражений
- •2.4.1.Свойства степеней
- •2.4.2. Свойства арифметических корней
- •2.4.3. Формулы сокращенного умножения
- •2.4.4. Деление многочлена на многочлен
- •Пример.3.1. Решить уравнение
- •3.1.3.2.Возвратное или симметричное уравнение
- •3.1.5. Уравнения с параметром (линейные, квадратные и приводимые к ним)
- •3.2. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля
- •Согласно определению модуля имеем
- •3.3. Иррациональные уравнения
- •Основные методы решения иррациональных уравнений
- •3.3.2. Уравнения, в которых одно или несколько подкоренных выражений – точные квадраты
- •3.3.3. Уединение радикала и возведение в степень
- •3.3.4.Уравнения, содержащие кубические радикалы
- •3.3.5. Введение вспомогательной переменной
- •Пример 3.20. Решить уравнение
- •Задачи для самостоятельного решения Решить уравнения: вариант 1
- •4.1.4.Нестандартные методы решения
- •4.2. Рациональные неравенства
- •4.2.6. Иррациональные неравенства
- •5. Текстовые задачи
- •5.1. Задачи на движение
- •5.2. Задачи на работу и производительность труда.
- •5.4. Задачи на процентное содержание и концентрацию
- •5.5. Задачи на числа
- •6. Прогрессии
- •6. 1. Арифметическая прогрессия
- •6. 2. Геометрическая прогрессия
- •Задачи для самостоятельного решения вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •7. Тригонометрия
- •7.1. Тригонометрические выражения.
- •7.1.1. Основные понятия
- •7.1.2. Связь между функциями одного угла
- •7.1.3. Функции суммы и разности углов
- •7.1.4. Преобразования произведения функций в сумму
- •7.1.5. Преобразование суммы функций в произведение. Функции кратных углов
- •7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства
- •7.2.1. Замена неизвестной
- •7.2.2. Понижение степени
- •7.2.3.Введение вспомогательного угла
- •7.2.4. Ограниченность тригонометрических функций
- •7.2.5.Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции
- •7.3. Тригонометрические неравенства.
- •Задачи для самостоятельного решения вариант1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Приложение вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 1 2
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •4.Найти все пары чисел х и у, удовлетворяющие системе неравенств
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Вариант 31
- •Вариант 32
- •Вариант 33
- •Вариант 34
- •Вариант 35
- •Литература
- •Оглавление
- •Математика Пособие для подготовки к егэ в 2 частях
- •Часть 1
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
7.2.4. Ограниченность тригонометрических функций
При решении уравнений этого типа существенным является ограниченность функций синус и косинус.
Пример 7.15. Решить уравнение sin 2x – sin 6x + 2 = 0.
Очевидно, что в силу ограниченности функции синус такое уравнение имеет решение в случае одновременного выполнения равенств т.е или
Из этих решений необходимо выбрать общие, т.к именно при таких решениях система обращается в равенства. Нанесем на числовой оси решения и для нескольких значений n и k . Из рисунка видно, что общие решения совпадают с .
Итак : .
n = 0 n = 1 n = 2
k =-1 k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5
7.2.5.Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции
На экзаменах такие уранения встречаются значительно реже уравнений, рассмотренных выше. Их решение, как правило, основано на определении обратных тригонометрических функций и знании их свойств.
Пример 7.16.. Решить уравнение
Функция arcsinx определена при причем при значение arcsin . Следовательно, ОДЗ данного уравнения Введем новую неизвестную и получим рациональное уравнение: или
Корни уравнения и Оба корня входят в область значений функции
Вернемся к старой неизвестной x. Имеем уравнения.
а)
б)
Итак, уравнение имеет два корня
7.3. Тригонометрические неравенства.
Тригонометрические неравенства удобно решать, используя
т ригонометрический круг.
П
Н а тригонометрическом круге по оси ординат отложим значение
и построим соответствующие углы и .
Видно, что неравенству удоволетворяют значения
или где .
В случае сложного аргумента тригонометрической функции рекомендуется обозначить его новой переменной, решить для него неравенство, а затем вернуться к старой неизвестной.
П ример 60. Решить неравенство .
О
. Решим это неравенство. На тригонометрическом круге на
углы и . Тогда неравенству удовлетворяют
значения . Учтем периодичность функции и получим решения ,
где . Вернемся к старой неизвестной x и получим двойное линейное неравенство :
. Ко всем частям прибавим число . Все части неравенства разделим на положительное число 3. При этом знак неравенства сохраняется:
или
, где .
Если неравенство не является простейшим, то используя преобразования, аналогичные тем, которые применялись для уравнений, сводим неравенство к простейшему.
В
1
. Это неравенство имеет решение
.
Вернемся к старой неизвестной x и получим .
На тригонометрическом круге по оси тангенсов отложим значения 1 и ,
Построим соответствующие углы и . Тригонометрическому
неравенству удовлетворяют значения Учтем периодичность
функции тангенс и получим или , где .