3.1.3.2.Возвратное или симметричное уравнение

Уравнение вида ахⁿ+bx^n-1+cх^n-2+…+cx²+bx+a=0 (a0), у которого коэффициенты членов, равноотстоящих от начала и конца, равны называется возвратным или симметричным. Если n - четное (n=2k), решается делением всех членов на ; группировкой членов, равноотстоящих от начала и конца и введением новой переменной Если n – нечетное, уравнение имеет корень х = -1, делением его на х+1 получают уравнение четной

степени.

Пример 3.6. Решить уравнение 2х⁴-9х³+14х²-9х+2=0.

Разделим уравнение на х²(х0), получим

Сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами:

введем тогда или Получим 2(у²-2)-9у+14=0 или 2у²-9у+10=0.

Корни этого уравнения у₁=5/2, у₂=2, следовательно,

, , ,

, или , или

Ответ:

3.1.4. Нестандартные методы решения

Пример 3.7. Решить уравнение

Разделим числитель и знаменатель каждой дроби левой части уравнения на х0, получим

Обозначим , тогда относительно у получим уравнение или 2у²-13у+11=0, откуда у₁=1; у₂=11/2.

Если у₁=1, то или 2х²-х+3=0, уравнение не имеет действительных корней.

Если , то , 4х²-11х+6=0,

Ответ:

Пример 3.8. Решить уравнение 2(х²+х+1)²-7(х-1)²=13(х³-1).

Перепишем уравнение в виде 2(х²+х+1)²-7(х-1)²=13(х-1)(х²+х+1).

Это так называемое «однородное уравнение второй степени», решается делением обеих частей уравнения на (х-1)²0, получим

Обозначим тогда уравнение принимает вид 2t²-13t-7=0, т.е. t₁=7; t₂=-1/2.

Следовательно, при t₁=7 или т.е. х₁=2, х₂=4.

При имеем или т.е.

Ответ: х₁=2, х₂=4,

3.1.5. Уравнения с параметром (линейные, квадратные и приводимые к ним)

Решить уравнение с параметром а (f(х,а)=0), это значит для каждого действительного значения а найти множество действительных значений х, удовлетворяющих этому уравнению.

Пример 3.9. Решить уравнение 2а(а-2)х=а-2.

Рассмотрим, прежде всего, те значения параметра, которые обращают в нуль коэффициент при х.

Пусть а=0, тогда 0^.х=-2, отсюда хØ.

Пусть а=2, тогда 0^.х=0, отсюда хR.

При а0, а2, откуда

Ответ: если а=0, хØ; если а=2, хR; если а0, а2,

Пример 3.10. Решить уравнение (а-1)х²+2(2а+1)х+4а+3=0.

Выделим особо значение параметра а=1. дело в том, что при а=1 данное уравнение не является квадратным, а при а1 оно будет квадратным. Значит, решать его в каждом из этих случаев надо по-своему.

Если а=1, уравнение принимает вид 6х+7=0, откуда х=-7/6.

При а1 для квадратного уравнения выделим те значения параметра, при которых дискриминант уравнения обращается в нуль. Имеем D=5а+4, т.е. при а=-4/5 D.

Если а-4/5, D0, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если а-4/5 и а1, то D0 и

Ответ: если а=1, то если то хØ;

если и а1 то

3.2. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

При решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов

Пример 3.11. Решить уравнение