5.5. Задачи на числа

Пример 5.6. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 7. Если из суммы квадратов цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то в результате получится данное двузначное число. Найти это число.

Обозначим через a и b, соответственно, число десятков и число единиц искомого числа 10a+b. Отметим, что a и b − натуральные числа, не превосходящие 9, причем b может быть равно нулю. Составим по условиям задачи систему уравнений для определения a и b:

Второе решение системы следует отбросить, так как a и b − натуральные числа. Таким образом, искомое число есть 37.

6. Прогрессии

6. 1. Арифметическая прогрессия

     Арифметическая прогрессия - числовая последовательность определяемая условиями:

1)

2)

(d − разность арифметической прогрессии).

     Свойства арифметической прогрессии:

     Формула n-го члена:

     Формулы суммы n первых членов:

Пример 6.1. Купец имел 14 чарок серебряных, причём веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки?

,

d = 4,

,   , ,

.

Ответ: 462 лата

Пример 6.2. Лестница имеет 100 ступеней. На первой ступени сидит 1 голубь, на второй – 2, на третьей – 3, так на всех ступенях до сотой. Сколько всего голубей?

Ответ: 5050 голубей

6. 2. Геометрическая прогрессия

     Геометрическая прогрессия - числовая последовательность определяемая условиями:

n = 1, 2, ... (q - знаменатель геометрической прогрессии).

     Свойства геометрической прогрессии:

     Формула n-го члена:

     Формулы суммы n первых членов:

.

     Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

Пример 6.3. Составьте конечную геометрическую прогрессию из шести членов, зная, что сумма трех первых членов равна 14. а трех последних 112.

Решая полученную систему, находим, что b₁=2, q=2.

Имеем конечную геометрическую прогрессию 2, 4, 8, 16, 32, 64.

Ответ: 2, 4, 8, 16, 32, 64.

Задачи для самостоятельного решения вариант 1

1. Если двузначное число уменьшить на сумму его цифр, то получится 405. Если число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, умножить на сумму его цифр, то получится 486. Найдите это число.

2. Авиалинию, связывающую пункты А и В, обслуживают самолеты трех типов. Каждый самолет первого, второго и третьего типов может принять на борт соответственно 230, 110 и 40 пассажиров, а также 27, 12 и 5 контейнеров. Все самолеты, используемые на линии, могут принять на борт одновременно 760 пассажиров и 88 контейнеров. Найдите количество используемых на линии самолетов каждого типа, если их общее число не превосходит 8.

3. Первый член арифметической прогрессии равен 3, разность прогрессии равна 2. Найдите десятый член и сумму первых двенадцати первых членов прогрессии.

4. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч.

5. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

6. Между числами 1 и1/8  вставьте два положительных числа так, чтобы получились четыре последовательных члена геометрической прогрессии.

7. При сушке ромашки теряется 85% первоначального веса. Учащиеся собрали 105 кг цветов ромашки. Достаточно ли этого количества, чтобы выполнить взятое обязательство – сдать в аптеку 15 кг сухой ромашки?

8. . Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение золота к меди равно 1 : 2, а во втором 2 : 3. Если сплавить 1/3 первого слитка с 5/6 второго, то в получившемся слитке окажется столько золота, сколько было бы в первом меди, а если 2/3 первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?

9. В 400 г воды растворили 80 г соли. Какова концентрация полученного раствора?

10. Найдите сумму всех трехзначных чисел от 100 до 450, дающих при делении на 8 в остатке 5.

11. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

12. Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

13. Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

14. Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг?

15. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 80 км, выехал автобус. В середине пути он был задержан на 10 мин, но увеличив скорость на 20 км/ч, прибыл в пункт В вовремя. С какой скоростью автобус проехал первую половину пути?